Lời giải đề thi tuyển sinh vào 10 THPT Học Mãi năm 2017-2018
Bài 1:
1) $A = dfrac{{2{rm{x}} + 2}}{{sqrt x }} + dfrac{{xsqrt x – 1}}{{x – sqrt x }} – dfrac{{xsqrt x + 1}}{{x + sqrt x }},,,,,,left( {x > 0,x ne 1} right).$
$ = dfrac{{2{rm{x}} + 2}}{{sqrt x }} + dfrac{{left( {sqrt x – 1} right)left( {x + sqrt x + 1} right)}}{{sqrt x left( {sqrt x – 1} right)}} – dfrac{{left( {sqrt x + 1} right)left( {x – sqrt x + 1} right)}}{{sqrt x left( {sqrt x + 1} right)}},$
$ = dfrac{{2{rm{x}} + 2}}{{sqrt x }} + dfrac{{x + sqrt x + 1}}{{sqrt x }} – dfrac{{x – sqrt x + 1}}{{sqrt x }}$
$ = dfrac{{2x + 2sqrt x + 2}}{{sqrt x }}$
2) Ta có: $x=6-2sqrt{5}={{left( sqrt{5}-1 right)}^{2}}$ (So ĐKXĐ thỏa)
$ Rightarrow sqrt x = left| {sqrt 5 – 1} right| = sqrt 5 – 1$
Thay vào biểu thức
$A = dfrac{{2left( {6 – 2sqrt 5 } right) + 2left( {sqrt 5 – 1} right) + 2}}{{sqrt 5 – 1}} = dfrac{{12 – 2sqrt 5 }}{{sqrt 5 – 1}}$
$A = dfrac{{left( {12 – 2sqrt 5 } right)left( {sqrt 5 + 1} right)}}{{left( {sqrt 5 – 1} right)left( {sqrt 5 + 1} right)}} = dfrac{{2 + 10sqrt 5 }}{4} = dfrac{{5sqrt 5 + 1}}{2}$
Đưa được $dfrac{7}{A} = dfrac{{7sqrt x }}{{2{rm{x}} + 2 + 2sqrt x }}$
Đánh giá $2{rm{x}} + 2 + 2sqrt x = 2left( {x + 1} right) + 2sqrt x > 2 cdot 2sqrt x + 2sqrt x = 6sqrt x ,,,,,left( {x > 0,x ne 1} right)$
Suy ra $0 < dfrac{{7sqrt x }}{{2{rm{x}} + 2 + 2sqrt x }} < dfrac{7}{6}$
3) $dfrac{7}{A}$ nhận giá trị nguyên là $1$ khi
$7sqrt x = 2{rm{x}} + 2 + 2sqrt x Leftrightarrow 2{rm{x – 5}}sqrt x + 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sqrt x = 2\
sqrt x = dfrac{1}{2}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 4\
x = dfrac{1}{4}
end{array} right.$(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy $xin left{ 4;dfrac{1}{4} right}$
Bài 2:
a) Có $Delta ={{left[ -left( 3m+1 right) right]}^{2}}-4cdot 1cdot left( 2{{m}^{2}}+m-1 right)={{m}^{2}}+2m+5={{left( m+1 right)}^{2}}+4>0forall m$
Vậy phương trình $left( 1 right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $left( 1 right)$
Theo định lí Vi-et, ta có:$left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 3m + 1\
{x_1}{x_2} = 2{m^2} + m – 1
end{array} right.$
$B={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-4{{text{x}}_{1}}{{x}_{2}}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-6{{text{x}}_{1}}{{x}_{2}}={{left( 3m+1 right)}^{2}}-6left( 2{{m}^{2}}+m-1 right)$
$=-3{{m}^{2}}+7$
$B=-3{{m}^{2}}+7le 7.$ Dấu $”=”$ xảy ra $Leftrightarrow m=0.$
Vậy ${{B}_{text{max}}}=7,,khi,,m=0.$
Điều kiện : $yge -1.$
$left{ begin{array}{l}
2{left( {x – 1} right)^2} + sqrt {y + 1} = 2\
3{{rm{x}}^2} – 6{rm{x}} – 2sqrt {y + 1} = – 7
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2left( {{x^2} – 2{rm{x}}} right) + sqrt {y + 1} = 0\
3left( {{x^2} – 2{rm{x}}} right) – 2sqrt {y + 1} = – 7
end{array} right.$
Đặt $a = {x^2} – 2{rm{x}};b = sqrt {y + 1} ,,,left( {b ge 0} right).$ Hệ phương trình trở thành $left{ begin{array}{l}
2{rm{a}} + b = 0\
3{rm{a}} – 2b = – 7
end{array} right.$
Giải hệ phương trình, ta được : $left{ begin{array}{l}
a = – 1\
b = 2,,(TM,,b ge 0)
end{array} right.$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2} – 2{rm{x}} = – 1\
sqrt {y + 1} = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2} – 2{rm{x + }}1 = 0\
y + 1 = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {x – 1} right)^2} = 0\
y = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 1\
y = 3
end{array} right.$ (TMĐKXĐ)
Vậy hệ phương trình có nghiệm $left( x,y right)=left( 1,3 right).$
Bài 3:
Gọi vận tốc dự định của xe máy là $xleft( {km/h} right)$ (ĐK : $x>6$ ).
Khi đó thời gian xe máy dự định đi hết quãng đường AB là $dfrac{40}{x}left( h right).$
Thời gian thực tế xe máy đi nửa quãng đường đầu là $dfrac{20}{x-6}left( h right).$
Thời gian thực tế xe máy đi nửa quãng đường còn lại là $dfrac{20}{x+12}(h).$
Theo bài ra ta có phương trình: $dfrac{20}{x-6}+dfrac{20}{x+12}=dfrac{40}{x}.$
PT $ Leftrightarrow dfrac{{xleft( {x + 12} right)}}{{xleft( {x + 12} right)left( {x – 6} right)}} + dfrac{{xleft( {x – 6} right)}}{{xleft( {x + 12} right)left( {x – 6} right)}} = dfrac{{2xleft( {x + 12} right)left( {x – 6} right)}}{{xleft( {x + 12} right)left( {x – 6} right)}}$
$begin{array}{l}
Rightarrow {x^2} + 12x + {x^2} – 6x – left( {2{x^2} + 12x – 144} right) = 0\
Leftrightarrow 6x – 144 = 0 Leftrightarrow x = 24(TM).
end{array}$
Vậy vận tốc dự định của xe máy là $24(kmtext{/}h).$
Bài 4:
1) Ta có: $widehat{CND}={{90}^{o}}$ ( Vì $N$ thuộc đường tròn $(O)$ )
$widehat{COA}={{90}^{o}}$ ( gt )
Do đó bốn điểm $O,text{ }M,text{ }N,text{ }C$ thuộc đường tròn $(O)$ )
2) Chứng minh $Delta DOMbacksim Delta DNC(g.g)$ vì:
$widehat{MDC}$ chung
$widehat{DOM}=widehat{DNC}={{90}^{o}}$
Suy ra $dfrac{DO}{DN}=dfrac{DM}{DC}Rightarrow DM.DN=DO.DC=2{{R}^{2}}.$
3) Do $MO$ là trung trực của $CD$ nên $MC=MD.$ Suy ra $D$ thuộc đường tròn $(M,MC)$
Suy ra tứ giác $CFDE$ nội tiếp.
$widehat {AED} = widehat {BFD}{rm{ }}( + widehat {CFD} = {180^o})$ (do tứ giác $CFDE$ nội tiếp)
$begin{array}{l}
Rightarrow widehat {ADE} = widehat {BDF}\
Rightarrow Delta ADE = Delta BDF(g.c.g)
end{array}$
Do tứ giác $CFDE$ nội tiếp $Rightarrow widehat{EDF}+widehat{ACF}text{ }={{180}^{o}}Rightarrow widehat{EDF}={{90}^{o}}$
Suy ra $EF$ là đường kính của đường tròn $(M,MC)$ hay $E,M,F$ thẳng hàng.
$Delta ADE=Delta BDF(g.c.g)Rightarrow AE=BF.$
Do đó: $CE+CF=CA+AE+CB-BF=2CA.$
Mà $CA=sqrt{O{{A}^{2}}+O{{C}^{2}}}=Rsqrt{2}Rightarrow CE+CF=2Rsqrt{2}.$
Vậy tổng $CE+CF$ không đổi khi $M$ di động trên $OA.$
4) Ta có $Delta DOMbacksim Delta DNC(g.g)$$Rightarrow dfrac{DO}{DN}=dfrac{OM}{NC}Rightarrow OM=dfrac{DO.NC}{DN}$
Có $Delta AMDbacksim Delta NAD(g.g)$ vì: $widehat{ADN}$ chung, $widehat{DAM}=widehat{DNA}={{45}^{o}}$
$Rightarrow dfrac{AM}{AN}=dfrac{AD}{DN}Rightarrow AM=dfrac{AD.AN}{DN}$
Do đó $dfrac{OM}{AM}=dfrac{DO.NC}{AD.AN}=dfrac{R.NC}{Rsqrt{2}.AN}=dfrac{NC}{sqrt{2}AN}(1)$
Tương tự ta có $Delta OBPbacksim Delta NBA(g.g)$$Rightarrow dfrac{OP}{NA}=dfrac{OB}{NB}Rightarrow OP=dfrac{OB.NA}{NB}$
Có $Delta CPBbacksim Delta NCB(g.g)$ $Rightarrow dfrac{CP}{NC}=dfrac{CB}{NB}Rightarrow CP=dfrac{NC.CB}{NB}$
Do đó $dfrac{OP}{CP}=dfrac{OB.NA}{NC.CB}=dfrac{NA}{sqrt{2}NC}(2)$
Từ (1) và (2) ta có: $dfrac{{OM}}{{AM}}.dfrac{{OP}}{{CP}} = dfrac{{NC}}{{sqrt 2 AN}}.dfrac{{NA}}{{sqrt 2 NC}} = dfrac{1}{2}$
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:
$dfrac{OM}{AM}+dfrac{OP}{CP}ge 2sqrt{dfrac{OM}{AM}cdot dfrac{OP}{CP}}=sqrt{2}$
$dfrac{OM}{AM}+dfrac{OP}{CP}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng$sqrt{2}$khi
$dfrac{{OM}}{{AM}} = dfrac{{OP}}{{CP}} = dfrac{1}{{sqrt 2 }} Rightarrow dfrac{{OA}}{{AM}} = dfrac{{sqrt 2 + 1}}{{sqrt 2 }} Rightarrow AM = dfrac{{sqrt 2 }}{{sqrt 2 + 1}}OA = dfrac{{sqrt 2 }}{{sqrt 2 + 1}}R.$
Vậy để $dfrac{OM}{AM}+dfrac{OP}{CP}$ đạt GTNN thì điểm M thuộc OA thỏa mãn$AM=dfrac{sqrt{2}}{sqrt{2}+1}R.$
Bài 5:
Ta có:$begin{array}{l}
ab + 3c = ab + c(a + b + c) = {c^2} + cleft( {a + b} right) + ab ge {c^2} + 2csqrt {ab} + ab = {left( {c + sqrt {ab} } right)^2}\
sqrt {2left( {{a^2} + {b^2}} right)} ge sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab} = sqrt {{{left( {a + b} right)}^2}} = ab{rm{ }}left( {{rm{v times : }}a + b > 0} right).
end{array}$
Do đó $A ge dfrac{{c + sqrt {ab} + a + b}}{{3 + sqrt {ab} }} = dfrac{{3 + sqrt {ab} }}{{3 + sqrt {ab} }} = 1.$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi với $a=b.$
Vậy ${{A}_{min }}=1$ với $a=b.$
