|
|
Giải chi tiết đề CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH LẦN 1-2018-2019 ———– Bản quyền thuộc về tập thể các thầy cô STRONG TEAM TOÁN VD-VDC |
Câu 1.Chọn A
$log left| {{x}^{2}}-3 right|=0$$Leftrightarrow left| {{x}^{2}}-3 right|=1$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} – 3 = 1\
{x^2} – 3 = – 1
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} = 4\
{x^2} = 2
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x = – 2\
x = sqrt 2 \
x = – sqrt 2
end{array} right.$
Vậy số nghiệm âm của phương trình là $2$.
Câu 2.Chọn C
Chiều cao của khối chóp là $SD=2a$ và đáy là hình chữ nhật với $AB=3a$, $BC=a$ nên ta có $V=frac{1}{3}.SD.AB.BC=frac{1}{3}.2a.3a.a=2{{a}^{3}}$.
Câu 3.Chọn D
Ta có: $ctext{os}left( overrightarrow{a},;,,overrightarrow{b} right)=frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{left| overrightarrow{a} right|.left| ,overrightarrow{b} right|}=frac{-3.5+4.0+0.12}{sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{0}^{2}}}.sqrt{{{5}^{2}}+{{0}^{2}}+{{12}^{2}}}}=frac{-3}{13}$.
Câu 4.CHọn D
Với các số thực dương $a$, $b$, ta có $ln frac{a}{{{b}^{2}}}=ln a-ln {{b}^{2}}=ln a-2ln b$.
Câu 5.Chọn B
Ta có: $overrightarrow{EF}=(3;1;-7)$.
Đường thẳng $EF$ đi qua điểm $E(-1;0;2)$ và có VTCP $overrightarrow{u}=overrightarrow{EF}=(3;1;-7)$ có phương trình chính tắc là: $frac{x+1}{3}=frac{y}{1}=frac{z-2}{-7}$
Câu 6.Chọn D
Ta có: ${{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}=frac{1}{3}Leftrightarrow {{q}^{3}}=frac{1}{3.{{u}_{1}}}=frac{1}{-27}Leftrightarrow q=-frac{1}{3}$.
Vậy cấp số nhân $left( {{u}_{n}} right)$ có công bội $q=-frac{1}{3}$.
Câu 7.Chọn B
Căn cứ vào đồ thị ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=1$ nên loại phương án A, C, D.
Vậy chọn B.
Câu 8. Chọn C
Mặt phẳng $left( P right)$ nhận vectơ $overrightarrow{a}left( 1; -1; 2 right)$làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $Mleft( 3; -1; 4 right)$nên có phương trình là $1left( x-3 right)-1left( y+1 right)+2left( z-4 right)=0Leftrightarrow x-y+2z-12=0.$
Câu 9.Chọn B
Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm đã cho ta thấy $f’left( 0 right)=0$ và đạo hàm không đổi dấu khi $x$ qua ${{x}_{0}}=0$ nên hàm số đã cho không đạt cực tiểu tại $x=0$.
Câu 10.Chọn B
Dựa vào tính chất của tích phân, với $fleft( x right)$ là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng $left( alpha ;beta right)$ và $a$,$b$,$c$,$b+cin left( alpha ;beta right)$ ta luôn có:
$intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)text{d}x}=intlimits_{a}^{c}{fleft( x right)text{d}x}+intlimits_{c}^{b}{fleft( x right)text{d}x}=intlimits_{a}^{c}{fleft( x right)text{d}x}-intlimits_{b}^{c}{fleft( x right)text{d}x}$
$intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)text{d}x}=intlimits_{a}^{b+c}{fleft( x right)text{d}x}+intlimits_{b+c}^{b}{fleft( x right)text{d}x}$. Vậy mệnh đề sai là $intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)text{d}x}=intlimits_{a}^{b+c}{fleft( x right)text{d}x}-intlimits_{a}^{c}{fleft( x right)text{d}x}$.
Câu 11 .Chọn D
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $left( 0;1 right).$
Câu 13.Chọn D
Ta có $log left( x+1 right)=2Leftrightarrow x+1={{10}^{2}}Leftrightarrow x=99$.
Câu 12.Chọn A
Ta có $int{f(x)dx}=int{{{3}^{-x}}dx}=-int{{{3}^{-x}}d(-x)}=-frac{{{3}^{-x}}}{ln 3}+C$
Câu 14.Chọn B
Ta có $A_{n}^{k}=frac{n!}{left( n-k right)!}$ nên A sai và C sai.
Vì $A_{n}^{k}=frac{n!}{left( n-k right)!}=k!frac{n!}{k!left( n-k right)!}=k!.C_{n}^{k}$ nên D sai và B đúng.
Chú ý: Khi làm trắc nghiệm ta có thể thay số cụ thể để kiểm tra các đáp án.
Câu 15.Chọn B
Ta có $z+text{w}=left( -1+2i right)+left( 2-i right)=1+i$.
Vậy điểm biểu diễn số phức $z+text{w}$là điểm $Pleft( 1;1 right)$.
Câu 16.Chọn A
$left( P right)$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left( 1;-3;2 right)$, $left( Q right)$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{{{n}_{Q}}}=left( 1;0;-1 right)$.
Vì mặt phẳng $left( alpha right)$ vuông góc với cả $left( P right)$ và $left( Q right)$ nên $left( alpha right)$ có một vectơ pháp tuyến là $left[ overrightarrow{{{n}_{P}}};overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]=left( 3;3;3 right)=3left( 1;1;1 right)$.
Vì mặt phẳng $left( alpha right)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3 nên $left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( 3;0;0 right)$.
Vậy $left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( 3;0;0 right)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{{{n}_{alpha }}}=left( 1;1;1 right)$ nên $left( alpha right)$ có phương trình:
$x+y+z-3=0$. Chọn A.
Câu 17 .Chọn A
CÁCH 1
Ta có $z=frac{4-3i}{{{left( 1-sqrt{3}i right)}^{2}}}=frac{-4+3sqrt{3}}{8}+frac{3+4sqrt{3}}{8}i$.
Suy ra $left| z right|=left| frac{-4+3sqrt{3}}{8}+frac{3+4sqrt{3}}{8}i right|=sqrt{{{left( frac{-4+3sqrt{3}}{8} right)}^{2}}+{{left( frac{3+4sqrt{3}}{8} right)}^{2}}}=frac{5}{4}$.
CÁCH 2.
Ta có $z=frac{4-3i}{{{left( 1-sqrt{3}i right)}^{2}}}$.
$left| z right|=frac{left| 4-3i right|}{left| {{left( 1-sqrt{3}i right)}^{2}} right|}=frac{left| 4-3i right|}{left| -2-2sqrt{3}i right|}=frac{5}{4}$.
Câu 18.Chọn D
Gọi bán kính đáy của hình trụ là $R$ suy ra $h=l=2R$.
Theo đề bài ta có thể tích khối trụ là: $V=pi {{R}^{2}}.h=pi {{R}^{2}}.2R=2pi {{R}^{3}}=16pi Rightarrow R=2$.
Do đó $h=l=4$.
Diện tích toàn phần của khối trụ là: $S=2pi Rl+2pi {{R}^{2}}=2pi .2.4+2pi {{.2}^{2}}=24pi $.
Câu 19.Chọn A
Cách 1:
Điều kiện: $x>0$.
$log _2^2x – 7{log _2}x + 9 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{log _2}x = frac{{7 – sqrt {13} }}{2}\
{log _2}x = frac{{7 + sqrt {13} }}{2}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = {2^{frac{{7 – sqrt {13} }}{2}}}\
x = {2^{frac{{7 + sqrt {13} }}{2}}}
end{array} right.$
Vậy ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{2}^{frac{7-sqrt{13}}{2}}}{{.2}^{frac{7+sqrt{13}}{2}}}=128$.
Cách 2:
Điều kiện: $x>0$.
$log _{2}^{2}x-7{{log }_{2}}x+9=0$ là phương trình bậc 2 theo ${{log }_{2}}x$ có $Delta ={{left( -7 right)}^{2}}-4.1.9=13>0$.
Theo định lý Vi-et ta có: $lo{{g}_{2}}{{x}_{1}}+lo{{g}_{2}}{{x}_{2}}=7Leftrightarrow lo{{g}_{2}}left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} right)=7Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{2}^{7}}=128$.
Câu 20.Chọn C
${f}'(x)=frac{{{left( {{3}^{x}}-1 right)}^{prime }}left( {{3}^{x}}+1 right)-left( {{3}^{x}}-1 right){{left( {{3}^{x}}+1 right)}^{prime }}}{{{left( {{3}^{x}}+1 right)}^{2}}}=frac{{{3}^{x}}ln 3left( {{3}^{x}}+1 right)-left( {{3}^{x}}-1 right){{3}^{x}}ln 3}{{{left( {{3}^{x}}+1 right)}^{2}}}$
$=frac{{{3}^{x}}ln 3left( {{3}^{x}}+1-{{3}^{x}}+1 right)}{{{left( {{3}^{x}}+1 right)}^{2}}}=frac{2}{{{left( {{3}^{x}}+1 right)}^{2}}}{{.3}^{x}}ln 3$.
Câu 21.Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $fleft( x right)={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4$và trục hoành:
${x^4} – 5{x^2} + 4 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} = 1\
{x^2} = 4
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = pm 1\
x = pm 2
end{array} right.$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=intlimits_{-2}^{2}{left| fleft( x right) right|text{d}x}left( 1 right)$
$,,,,=2intlimits_{0}^{2}{left| fleft( x right) right|text{d}x}left( 2 right)$ (do $fleft( x right)$ là hàm số chẵn)
$,,,,,,=2intlimits_{0}^{1}{left| fleft( x right) right|text{d}x}+2intlimits_{1}^{2}{left| fleft( x right) right|text{d}x},$
$,,,,,=2left| intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)text{d}x} right|+2left| intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)text{d}x} right|left( 3 right)$(do trong các khoảng $left( 0;1 right),left( 1;2 right)$ phương trình $fleft( x right)=0$ vô nghiệm)
Từ $left( 1 right)$, $left( 2 right)$, $left( 3 right)$ suy ra các đáp án A, B, C là đúng, đáp án D là sai.
Máy tính: Bấm máy tính kiểm tra, ba kết quả đầu bằng nhau nên đáp án sai là đáp án D.
Câu 22.Chọn C
Xét hàm số $y=gleft( x right)=2fleft( -x right)$
Ta có $g’left( x right)=-2{f}’left( -x right)$=$-2{{left( -x right)}^{2}}.left[ {{left( -x right)}^{2}}-1 right]=-2{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-1 right)$.
$g’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} = 0\
{x^2} – 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = pm 1
end{array} right.$
.
Kết luận hàm số $gleft( x right)$ đồng biến trên khoảng $left( -1;1 right)$. Chọn C.
Câu 23.Chọn D
* TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ -1,;,2 right}$.
* Ta có: $underset{xto pm infty }{mathop{lim }},y=underset{xto pm infty }{mathop{lim }},frac{{{x}^{3}}-4x}{{{x}^{3}}-3x-2}=1$.
$Rightarrow $ Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
* Ta có: $underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},y=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},frac{{{x}^{3}}-4x}{{{x}^{3}}-3x-2}=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},frac{xleft( x-2 right)left( x+2 right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}left( x-2 right)}=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},frac{xleft( x+2 right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}=frac{8}{9}$.$underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},y=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{{{x}^{3}}-4x}{{{x}^{3}}-3x-2}=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{xleft( x-2 right)left( x+2 right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}left( x-2 right)}=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{xleft( x+2 right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}=frac{8}{9}$.
$underset{xto {{left( -1 right)}^{+}}}{mathop{lim }},y=underset{xto {{left( -1 right)}^{+}}}{mathop{lim }},frac{{{x}^{3}}-4x}{{{x}^{3}}-3x-2}=underset{xto {{left( -1 right)}^{+}}}{mathop{lim }},frac{xleft( x-2 right)left( x+2 right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}left( x-2 right)}=underset{xto {{left( -1 right)}^{+}}}{mathop{lim }},frac{xleft( x+2 right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}=-infty $.
$Rightarrow $ Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 24.Chọn D
Ta có: ${{2}^{beta }}left( {{2}^{alpha }}+{{2}^{beta }} right)=8left( {{2}^{-alpha }}+{{2}^{-beta }} right)$$Leftrightarrow $${{2}^{beta }}left( {{2}^{alpha }}+{{2}^{beta }} right)=8frac{{{2}^{alpha }}+{{2}^{beta }}}{{{2}^{alpha +beta }}}$
$Leftrightarrow left( {{2}^{alpha }}+{{2}^{beta }} right)left( {{2}^{alpha }}-frac{8}{{{2}^{alpha +beta }}} right)=0$
$Leftrightarrow {{2}^{beta }}-frac{8}{{{2}^{alpha +beta }}}=0$
$Leftrightarrow $${{2}^{alpha +2beta }}=8Leftrightarrow alpha +2beta =3$.
Vậy $alpha +2beta =3$.
Câu 25.Chọn A
Theo tính chất hình lăng trụ tam giác đều thì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng, có đáy là tam giác $ABC$ đều, cạnh $AB=a$. Do đó ${{S}_{Delta ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}$.
Góc giữa $A’C$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $widehat{A’CA}={{45}^{0}}$.
$AA’=AC.tan {{45}^{0}}=AB.tan {{45}^{0}}=a$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ là: ${{V}_{ABC.A’B’C’}}text{ }=text{ }AA’.{{S}_{Delta ABC}}=a.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{4}$.
Câu 26.Chọn C
Vì bài toán trên đúng cho mọi hàm số có bảng biến thiên như trên nên ta xét trường hợp hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm trên $mathbb{R}$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=fleft( x right)$ ta suy ra bảng xét dấu ${f}’left( x right)$ như sau
Xét hàm số $y=fleft( 2x right)$, ta có ${y}’=2.{f}’left( 2x right)$.
Ta có ${y}’=0$ $Leftrightarrow 2.{f}’left( 2x right)=0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x = – 1\
2x = 0\
2x = 2
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – frac{1}{2}\
x = 0\
x = 1
end{array} right.$
.
Bảng xét dấu ${y}’$
Từ bảng xét dấu ${y}’$, ta thấy hàm số $y=fleft( 2x right)$ đạt cực đại tại $x=-frac{1}{2}$ và $x=1$.
Câu 27. Chọn D
Gọi $S$, $O$ lần lượt là đỉnh và tâm của đáy của hình nón. Lấy $A$ là một đỉểm nằm trên đường tròn đáy. Gọi góc ở đỉnh của hình nón là $2beta $ suy ra $beta =widehat{OSA}$.
Mặt khác, ${{S}_{xq}}=pi rlLeftrightarrow l=frac{{{S}_{xq}}}{pi r}=frac{6sqrt{3}pi }{3pi }=2sqrt{3}$.
Xét $Delta SOA$ vuông tại $O$, ta có: $sin widehat{OSA}=frac{OA}{SA}=frac{3}{2sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{2}Rightarrow widehat{OSA}=60{}^circ $.
Vậy $2beta =2widehat{OSA}=120{}^circ $.
Câu 28.Chọn A
${z^2} + 4z + 7 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{z = – 2 + sqrt 3 i}\
{z = – 2 – sqrt 3 i}
end{array}} right.$
${{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=left( -2+sqrt{3}i right)left( -2+sqrt{3}i right)+left( -2-sqrt{3}i right)left( -2-sqrt{3}i right)=2$.
Vậy ${{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=2.$
Cách 2: Phương trình bậc hai ${{z}^{2}}+4z+7=0$ có ${{Delta }^{‘}}=-3$ là số nguyên âm nên phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},,{{z}_{2}}$và $overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}$, $overline{{{z}_{2}}}={{z}_{1}}$.
Áp dụng định lý Viét, ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1} + {z_2} = – 4}\
{{z_1}.{z_2} = 7}
end{array}} right.$
Ta có: ${{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}={{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}={{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=16-14=2.$
Câu 29.Chọn B
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $left[ 1,;,4 right]$.
Ta có: ${y}’={{left( x+frac{9}{x} right)}^{prime }}=1-frac{9}{{{x}^{2}}}$.
$ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 1 – frac{9}{{{x^2}}} = 0 Leftrightarrow {x^2} – 9 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 in left( {1,;,4} right)}\
{x = – 3 notin left( {1,;,4} right)}
end{array}} right.$.
Có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{fleft( 1 right) = 10}\
{fleft( 3 right) = 6}\
{fleft( 4 right) = frac{{25}}{4}}
end{array}} right. Rightarrow mathop {min }limits_{left[ {1,;;4} right]} y = 6 = m$ và $mathop {max }limits_{left[ {1,;;4} right]} y = 10 = M$
Vậy $m+M=16$.
Câu 30 . Chọn B
Gọi $K$ là trung điểm của $AB$ vì $ABCD$ là hình vuông nên $KI//AC$, suy ra góc giữa $AC$ và
$IJ$ bằng góc giữa $KI$ và $IJ$.
Ta có $IK=frac{1}{2}AC,;,IJ=frac{1}{2}{B}’C,;,KJ=frac{1}{2}A{B}’$ vì $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ là hình lập phương nên $AC={B}’C=A{B}’$ suy ra $KI=IJ=JK$ suy ra tam giác $IJK$ là tam giác đều, suy ra $widehat{KIJ}=60{}^circ $.
Vậy góc giữa $AC$ và $IJ$ bằng $60{}^circ $ .
