Lời giải đề 4: Đề thi thử THPTQG môn Toán năm 2018 trường THPT Chuyên ĐH Vinh- Nghệ An Lần 1- trang 1

Đáp án

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án B

Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $int{cos nxdx}=frac{1}{n}sin nx+C$

Cạch giải: Ta có: $int{fleft( x right)dx=int{ctext{os}2xdx=frac{1}{2}sin 2x+C}}$

Câu 2: Đáp án D

Phương pháp:

+ Cho phương trình đường thẳng $Delta :left{ begin{array}{l}
x = {x_0} + at\
y = {y_0} + bt\
z = {z_0} + ct
end{array} right..$ Khi đó ta biết đường thẳng $Delta $đi qua điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$và có vVTCP $overrightarrow{u}=left( a;b;c right)$.

+ Chú ý: Véc tơ là một VTCP của $Delta $thì $koverrightarrow{u}left( kin mathbb{Z} right)$ cũng là một VTCP của $Delta $.

Cách giải:

Ta có VTCP của $Delta $là: $overrightarrow{u}=left( 2;1;0 right)$$Rightarrow overrightarrow{n}=left( -2;-1;0 right)$ cũng là một VTCP của $Delta $

Câu 3: Đáp án B

Phương pháp:

+ Số phức $z=a+bileft( a,bin mathbb{Z} right)$được biểu diễn bởi điểm $Mleft( a;b right)$trên mặt phẳng xOy.

+ Tọa độ trung điểm I của AB là: $left{ begin{array}{l}
{x_1} = frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\
{x_2} = frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}
end{array} right.$ 

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy: $Aleft( -2;1 right),Bleft( 1;3 right)Rightarrow Mleft( -frac{1}{2};2 right)Rightarrow z=-frac{1}{2}+2i$ 

Câu 4: Đáp án D

Phương pháp:

+ Giải phương trình tích: $fleft( x right)gleft( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
fleft( x right) = 0\
gleft( x right) = 0
end{array} right.$ 

+ Giải phương trình logarit: ${log _a}fleft( x right) = b Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
fleft( x right) > 0\
fleft( x right) = {a^b}
end{array} right.$ 

Cách giải:

Điều kiện: ${x^2} – 2018 > 0 Leftrightarrow {x^2} > 2018 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > sqrt {2018} \
x <  – sqrt {2018} 
end{array} right.$ 

Ta có: $ln left( {{x^2} + 1} right)ln left( {{x^2} – 2018} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
ln left( {{x^2} + 1} right) = 0\
ln left( {{x^2} – 2018} right) = 0
end{array} right.$ 

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 1 = 1\
{x^2} – 2018 = 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} = 0left( l right)\
{x^2} = 2019left( {tm} right)
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = sqrt {2019} \
x =  – sqrt {2019} 
end{array} right.$ nên phương trình có 2 nghiệm.

Câu 5: Đáp ánC

Phương pháp: Điểm $Mleft( a;b;c right)$có hình chiếu trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: ${{M}_{1}}left( a;0;0 right),{{M}_{2}}left( 0;b;0 right)$và ${{M}_{3}}left( 0;0;c right)$.

Cách giải: Hình chiếu của M lên trục Oy là $Qleft( 0;2;0 right)$

Câu 6: Đáp án C

Phương pháp:

+ Dựa vào bảng biến thiên để nhận xét.

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số $y=fleft( x right)$ là nghiệm của phương trình $y’=0$.

+ Điểm $x={{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số nếu qua điểm đó hàm số đổi dấu từ dương sang âm.

+ Điểm $x={{x}_{0}}$là điểm cực tiểu của hàm số nếu qua điểm đó hàm số đổi âm từ dương sang dương.

Cách giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số đạt cực đại tại $x=0$, đạt cực tiểu tại $x=1$.

Câu 7: Đáp án  B

Phương pháp: Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=fleft( x right);y=gleft( x right)$và các đườn thẳng $x=a;x=bleft( a<b right)$ quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: $V=pi intlimits_{a}^{b}{left| {{f}^{2}}left( x right)-{{g}^{2}}left( x right) right|dx}$ 

Cách giải: Ta có $V=pi intlimits_{0}^{1}{{{left( sqrt{2x+1} right)}^{2}}dx=}pi intlimits_{0}^{1}{left( 2x+1 right)dx=}$

Câu 8: Đáp án A

Phương pháp:

+ Dựa vào đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét và chọn hàm số hợp lý.

Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, có 3 cực trị và nhận trục tung làm trục đối xứng nên đồ thị của hàm số là đồ thị của hàm trùng phương.

Câu 9: Đáp án C

Phương pháp:

+ Sử dụng các công thức cơ bản của hàm logarit.

Cách giải:

Ta có: $log {{left( 10ab right)}^{2}}=2log left( 10ab right)=2left( 1+log a+log b right)Rightarrow $đáp án A đúng.

$log {{left( 10ab right)}^{2}}=2left( log 10+log left( ab right) right)=2+2log left( ab right)Rightarrow $đáp án B đúng.

$log {{left( 10ab right)}^{2}}=2left( log 10+log a+log b right)=2left( 1+log a+log b right)Rightarrow $đáp án C sai.

Câu 10: Đáp án B

Phương pháp:

Cho hai mặt phẳng: $left{ begin{array}{l}
left( alpha  right):{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\
left( beta  right):{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0
end{array} right..$ Khi đó $left( alpha  right)//left( beta  right)Leftrightarrow frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}ne frac{{{d}_{1}}}{{{d}_{2}}}$

Cách giải:

Để $left( alpha  right)//left( beta  right)$thì $frac{2}{1} = frac{4}{2} = frac{{ – m}}{{ – 1}} ne frac{{ – 2}}{{ – 1}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m = 2\
m ne 2
end{array} right. Rightarrow m in emptyset $

Câu 11: Đáp án D

Phương pháp:

+ Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật là: $V={{S}_{d}}.h$

Cách giải:

Ta có: ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=2SRightarrow {{V}_{ABCD.A’B’C’D’}}=2Sh$

Câu 12: Đáp án B

Phương pháp:

Dựa vào tính chất liên tục của hàm số.

Cách giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}$. Đồ thị hàm số $y=frac{x}{x+1}$không liên tục tại điểm $x=-1$.

Câu 13: Đáp án C

Phương pháp:

+ Công thức diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ là:

${{S}_{xq}}=2pi Rl;{{S}_{tp}}=2pi Rl+2pi {{R}^{2}}$

Cách giải:

Ta có: ${{S}_{tp}}=2{{S}_{xq}}Leftrightarrow 2pi Rh+2pi {{R}^{2}}=4pi RhLeftrightarrow R=h$

Câu 14: Đáp án B

Phương pháp:

+ Công thức chỉnh hợp: $A_{n}^{k}=frac{n!}{left( n-k right)!}left( nge 1;0le kle n;nin mathbb{Z} right)$

+ Công thức tổ hợp: $C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}left( nge 1;0le kle n;nin mathbb{Z} right)$

Cách giải:

Ta có: $A_{n}^{k}=k!.C_{n}^{k}$ nên đáp án B sai.

Câu 15: Đáp án C

Phương pháp:

+) Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét những đặc điểm của đồ thì và chọn kết luận đúng.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số đồng biến trên $left( -1;0 right)text{ }vgrave{a}text{ }left( 2;+infty  right),$nghịch biến trên $left( -infty ;-1 right)$ và$left( 0;2 right)$

Câu 16: Đáp án D

Phương pháp:

+) Đường thẳng $x=a$được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$nếu: $underset{xto a}{mathop{lim }},fleft( x right)=pm infty $

+) Đường thẳng $y=b$được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$nếu: $underset{xto pm infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=b$

Cách giải:

TXĐ: $D=left( -infty ;-1 right)cup left( 1;+infty  right)$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$.

Ta có $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{1+frac{1}{x}}{sqrt{1-frac{1}{{{x}^{2}}}}}=frac{1}{sqrt{1}}=1Rightarrow $ tiệm cận ngang $y=1$.

Lại có $underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{1+frac{1}{x}}{-sqrt{1-frac{1}{{{x}^{2}}}}}=frac{1}{-sqrt{1}}=-1Rightarrow $ tiệm cận ngang $y=-1$.

Đồ thị hàm số $y=frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ có tất cả 3 cận đứng và tiệm cận ngang.

Câu 17: Đáp án D

Phương pháp:

+) Phương trình $text{a}{{text{x}}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta >0$

Cách giải:

Phương trình ${{text{x}}^{2}}+bx+2=0$có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta ={{b}^{2}}-8>0$

Vì b là số chấm của con súc sắc nên $1le ble 6,bin {{mathbb{N}}^{*}}Rightarrow bin left{ 3;4;5;6 right}$

Vậy xác suất cần tìm là $frac{4}{6}=frac{2}{3}$

Câu 18: Đáp án C

Phương pháp:

+) Phương trình đường thẳng đi điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ và có VTPT $overrightarrow{n}=left( a;b;c right)$có phương trình:

$aleft( x-{{x}_{0}} right)+bleft( y-{{y}_{0}} right)+cleft( z-{{z}_{0}} right)=0.$

+) Hai vecto $overrightarrow{u};overrightarrow{v}$cùng thuộc một mặt phẳng thì mặt phẳng đó có VTPT là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]$

Cách giải:

Mặt phẳng $left( alpha  right)$chưa điểm M và trục Ox nên nhận $overrightarrow{{{n}_{alpha }}}=left[ overrightarrow{OM};overrightarrow{{{u}_{O,x}}} right]$là một VTPT.

Mà $left{ begin{array}{l}
overrightarrow {OM}  = left( {1;0; – 1} right)\
overrightarrow {{u_{O,x}}}  = left( {1;0;0} right)
end{array} right. Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }}  = left[ {overrightarrow {OM} ;overrightarrow {{u_{O,x}}} } right] = left( {left| {{}_0^0,,,_0^{ – 1}} right|;left| {{}_0^{ – 1},,,,_1^1} right|;left| {{}_1^1,,,,_0^0} right|} right) = left( {0; – 1;0} right)$ 

Kết hợp với $left( alpha  right)$đi qua điểm $Mleft( 1;0;-1 right)Rightarrow left( alpha  right):-y-left( y-0 right)=0Leftrightarrow y=0$

Câu 19: Đáp án B

Phương pháp:

+) Xác định góc giữa đường thẳng BC’ và mặt phẳng $left( ABB’A’ right)$sau đó dựa vào các tam giác vuông để tìm tan của góc đó.

Cách giải:

Ta có: $left{ begin{array}{l}
C’A’ bot A’B’\
C’A’ bot ,A’A
end{array} right. Rightarrow C’A’ bot left( {ABB’A’} right) Rightarrow left( {BC”left( {ABB’A’} right)} right) = C’BA’$ 

$Rightarrow tan left( BC’;left( ABB’A’ right) right)=tan C’BA’=frac{A’C’}{A’B}=frac{a}{sqrt{A’B{{‘}^{2}}+BB{{‘}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=frac{sqrt{2}}{2}$

Câu 20: Đáp án A

+) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số: $left( {{log }_{a}}fleft( x right) right)’=frac{f’left( x right)}{fleft( x right).ln a}.$

Cách giải:

Ta có $f’left( x right)=frac{left( 2x+1 right)’}{left( 2x+1 right)ln 3}=frac{2}{left( 2x+1 right)ln 3}Rightarrow f’left( 0 right)=frac{2}{ln 3}$

Câu 21: Đáp án A

Phương pháp:

+) Tính khoảng cách từ O đến $left( SCD right)$sau đó sử dụng các công thức tính nhanh để tính.

Cách giải:

Xét tứ diện SOCD ta có: $SO,,OC,,OD$đôi một vuông góc với nhau

$Rightarrow frac{1}{{{d}^{2}}}=frac{1}{S{{O}^{2}}}+frac{1}{O{{C}^{2}}}+frac{1}{O{{D}^{2}}}$với $dleft( O;left( SCD right) right)$.

Có $BD=sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=sqrt{2.4{{a}^{2}}}=2asqrt{2}$

Cạnh $OC=OD=frac{BD}{2}=asqrt{2}Rightarrow frac{1}{{{d}^{2}}}=frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{2{{a}^{2}}}+frac{1}{2{{a}^{2}}}Rightarrow d=frac{asqrt{2}}{2}.$

Câu 22: Đáp án B

Phương pháp:

+) Đổi biến và đổi cận để đơn giản biểu thức cần tính tích phân.

+) Sử dụng công thức tính tích phân của các hàm cơ bản để tính.

Cách giải:

Đặt $sqrt{3x+1}=tRightarrow {{t}^{2}}=3x+1Rightarrow 2tdt=3dx$

Đổi cận: $left{ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow t = 1\
x = 1 Rightarrow t = 2
end{array} right. Rightarrow intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{sqrt {3x + 1} }} = intlimits_1^2 {frac{1}{t}.frac{{2t}}{3}dtintlimits_1^2 {frac{2}{3}dt = left. {frac{2}{3}t} right|} } } _1^2 = frac{2}{3}$ 

Câu 23: Đáp án A

Phương pháp:

+) Hàm số $y=fleft( x right)$đồng biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow y’ge 0$với mọi $xin mathbb{R}$

Cách giải:

Ta có: $y’=-2f’left( x right)>0Leftrightarrow f’left( x right)<0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x<0Leftrightarrow 0<x<2$

Câu 24: Đáp án C

Phương pháp:

+) Giải phương trình $y’=0$ để tìm các nghiệm $x={{x}_{i}}$

+) Ta tính các giá trị $yleft( a right);yleft( {{x}_{i}} right);yleft( b right)$ và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $left[ a;b right]$

Cách giải:

Hàm số đã xác định và liên tục trên $left[ -3;-1 right].$

Ta có: $y’ = 1 – frac{4}{{{x^2}}} Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow {x^2} = 4 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x =  – 2,,left( { in left[ { – 3; – 1} right]} right)\
x = 2,,left( { notin left[ { – 3; – 1} right]} right)
end{array} right.$ 

Tính $yleft( -3 right)=-frac{10}{3}lyleft( -1 right)=-4;yleft( -2 right)=-3Rightarrow underset{left[ -3;-1 right]}{mathop{min }},y=-4$

Câu 25: Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình bậc hai ẩn z trên tập số phức.

+) Cho số phức $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)Rightarrow left| z right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Cách giải:

Ta có ${{z}^{2}}-8z+25=0Leftrightarrow {{left( z-4 right)}^{2}}=-9=9{{i}^{2}}$

$ Leftrightarrow left| {z – 4} right| = 3i Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{z_1} = 4 + 3i\
{z_2} = 4 – 3i
end{array} right. Rightarrow left| {{z_1} – {z_2}} right| = left| {6i} right| = 6$ 

Câu 26: Đáp án A

Phương pháp:

Gọi đường thẳng cần tìm là d’

Gọi $A=dcap left( alpha  right)Rightarrow Ain d’.$ Tìm tọa độ điểm A.

$overrightarrow{{{n}_{d’}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{d}}};overrightarrow{{{n}_{left( alpha  right)}}} right]$ là 1 VTCP của đường phẳng d’

Cách giải:

Gọi d’ là đường thẳng cần tìm, gọi $A=dcap left( alpha  right)Rightarrow Ain d’$

Ta có $d:left{ begin{array}{l}
x = 1 + t\
y = 2 + 2t\
z = 3 + t
end{array} right.left( {t in R} right) Rightarrow Aleft( {t + 1;2t + 2;t + 3} right)$ 

Mà $Ain left( alpha  right)Rightarrow left( t+1 right)+left( 2t+2 right)-left( t+3 right)-2=0Rightarrow Aleft( 2;4;4 right)$

Lại có $left{ begin{array}{l}
overrightarrow {{u_d}}  = left( {1;2;1} right)\
overrightarrow {{n_{left( alpha  right)}}}  = left( {1;1; – 1} right)
end{array} right. Rightarrow left[ {overrightarrow {{u_d}} ;overrightarrow {{n_{left( alpha  right)}}} } right] = left( { – 3;2; – 1} right)$ là một VTCP của d’

Kết hợp với d’ qua $Aleft( 2;4;4 right)Rightarrow d:frac{x-2}{-3}=frac{y-4}{2}=frac{z-4}{-1}Leftrightarrow frac{x-5}{3}=frac{y-2}{-2}=frac{z-5}{1}$

Câu 27: Đáp án C

Phương pháp:

Gọi $z=x+yi,$thay vào giải thiết và so sánh hai số phức $a + bi = a’ + bi’ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = a’\
b = b’
end{array} right.$

Cách giải:

Giả sử $z=x+yileft( x,yin mathbb{R} right)Rightarrow {{left( x+yi right)}^{2}}=left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)+left( x-yi right)$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = {x^2} + {y^2} + x – yi Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2xy =  – y\
{x^2} – {y^2} = {x^2} + {y^2} + x
end{array} right.\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
y = 0\
x =  – frac{1}{2}
end{array} right.\
2{y^2} + x = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
y = 0\
x = 0
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x =  – frac{1}{2}\
2{y^2} – frac{1}{2} = 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = y = 0\
left{ begin{array}{l}
x =  – frac{1}{2}\
y =  pm frac{1}{2}
end{array} right.
end{array} right.
end{array}$ 

Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.

Câu 28: Đáp án C

Phương pháp:

Để hàm số đồng biến trên $left( 1;+infty  right)Rightarrow y’ge 0forall xin left( 1;+infty  right)$và $y’=0$tại hữu hạn điểm thuộc $left( 1;+infty  right)$

Cách giải:

Ta có $y’=4{{m}^{2}}{{x}^{3}}-4left( 4m-1 right)x=4xleft( {{m}^{2}}{{x}^{2}}-4m+1 right)$

Để hàm số đồng biến trên $left( 1;+infty  right)Leftrightarrow y’ge 0,forall xin left( 1;+infty  right)Leftrightarrow {{m}^{2}}{{x}^{2}}-4m+1ge 0,forall xin left( 1;+infty  right),,,,,,,,,,,,left( 1 right)$

Rõ ràng $m=0$thỏa mãn (1).

Với $mne 0$thì

$left( 1 right) Leftrightarrow {x^2} ge frac{{4m – 1}}{{{m^2}}}forall x in left( {1; + infty } right) Leftrightarrow frac{{4m – 1}}{{{m^2}}} le 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ne 0\
{m^2} – 4m + 1 ge 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ne 0\
left[ begin{array}{l}
m ge 2 + sqrt 3 \
m le 2 – sqrt 3 
end{array} right.
end{array} right.$

Kết hợp với $left{ begin{array}{l}
m in left( { – 10;10} right)\
m in Z
end{array} right. Rightarrow m in left{ {4;5;6;7;8;9; – 9; – 8; – 7; – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1} right}.$ 

Vậy có 16 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 29: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton ${{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}$

Hệ số ${{a}_{15}}$là hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}$. Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}$.

Cách giải:

Ta có: ${{left( 3-2x+{{x}^{2}} right)}^{9}}=sumlimits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{.3}^{9-k}}.{{left( {{x}^{2}}-2x right)}^{k}}}$

Hệ số ${{a}_{15}}$thuộc số hạng ${{a}_{15}}{{x}^{3}}$nên với $kge 4$thì sẽ không thỏa mãn.

Với $k=2Rightarrow C_{9}^{k}{{.3}^{9-k}}.{{left( {{x}^{2}}-2x right)}^{k}}=78732{{left( {{x}^{2}}-2x right)}^{2}}=78732left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}} right)$

Với $k=3Rightarrow C_{9}^{k}{{.3}^{9-k}}.{{left( {{x}^{2}}-2k right)}^{k}}=61236{{left( {{x}^{2}}-2x right)}^{3}}=61236left( {{x}^{6}}-3{{x}^{4}}.2x+3{{x}^{2}}.{{left( 2x right)}^{2}}-8{{x}^{3}} right)$

Do đó ${{a}_{15}}=78732.left( -4 right)+61236.left( -8 right)=-804816$