Câu 30. Chọn A.
Ta có $BCbot left( AHD right)$.
Hàm số đã cho nghịch biến trên $mathbb{R}$
$Leftrightarrow {y}’le 0$, $forall xin mathbb{R}$
$Leftrightarrow 2m-1+left( 3m+2 right)sin xle 0$, $forall xin mathbb{R}$ (*)
Nếu $m=-frac{2}{3}$ thì (*) không thỏa.
Nếu $m>-frac{2}{3}$ thì (*)$Leftrightarrow sin xle frac{1-2m}{3m+2}$, $forall xin mathbb{R}$$Leftrightarrow frac{1-2m}{3m+2}ge 1$$Leftrightarrow -frac{2}{3}<mle -frac{1}{5}$.
Nếu $m<-frac{2}{3}$ thì (*)$Leftrightarrow sin xge frac{1-2m}{3m+2}$, $forall xin mathbb{R}$$Leftrightarrow frac{1-2m}{3m+2}le -1$$Leftrightarrow -3le m<-frac{2}{3}$.
Ta có $X=left{ -3;-2;-1 right}$.
Vậy $-3-1=-4$.
Câu 31. Chọn B.
Trên cạnh $SB$, $SC$ lần lượt lấy ${B}’$, ${C}’$ sao cho $S{B}’=S{C}’=SA=2$. Suy ra $S.A{B}'{C}’$ là tứ diện đều cạnh bằng $2$. Suy ra ${{V}_{S.A{B}'{C}’}}=frac{{{2}^{3}}sqrt{2}}{12}=frac{8sqrt{2}}{12}=frac{2sqrt{2}}{3}$.
Mặt khác: $frac{{{V}_{S.A{B}'{C}’}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{SA}{SA}.frac{S{B}’}{SB}.frac{S{C}’}{SC}=frac{2}{3}.frac{2}{6}=frac{2}{9}Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=frac{2sqrt{2}}{3}:frac{2}{9}=3sqrt{2}$.
Câu 32. Chọn B.
Ta có ${x^2} = 3x – 2 Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 2
end{array} right.$.
Suy ra ${{x}^{2}}-3x+2$ âm trên khoảng $left( 0,1 right)$; dương trên $left( 1,2 right)$.
Vậy $underset{[0,1]}{mathop{min }},left{ {{x}^{2}},3x-2 right}=3x-2$, $underset{[1,2]}{mathop{min }},left{ {{x}^{2}},3x-2 right}={{x}^{2}}$
Vậy $intlimits_{0}^{2}{min left{ {{x}^{2}},3x-2 right}}dx=intlimits_{0}^{1}{left( 3x-2 right)text{d}x}+intlimits_{1}^{2}{{{x}^{2}}text{d}x}=-frac{1}{2}+frac{7}{3}=frac{11}{6}$.
Câu 33. Chọn A.
Gọi phương trình mặt phẳng là: $left( P right):Ax+By+Cz+D=0left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}ne 0 right)$.
Theo đề bài, mặt phẳng qua $A,B$ nên ta có:
$left{ begin{array}{l}
A + D = 0\
2C + D = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
A = 2C\
D = – 2C
end{array} right.$. Vậy mặt phẳng $left( P right)$ có dạng: $2Cx+By+Cz-2C=0$.
$left( S right)$ có tâm $Ileft( 1,1,0 right)$ và $R=1$.
Vì $left( P right)$ tiếp xúc với $left( S right)$ nên ${{d}_{left( I,left( P right) right)}}=RLeftrightarrow frac{2C+B-2C}{sqrt{5{{C}^{2}}+{{B}^{2}}}}=1Leftrightarrow {{B}^{2}}=5{{C}^{2}}+{{B}^{2}}Leftrightarrow C=0$.
Suy ra $A=D=0$.
Vậy phương trình mặt phẳng $left( P right):y=0$.
Câu 34. Chọn C.
Gọi $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)$. Suy ra $overline{z}=a-bi$.
Ta có $frac{iz-left( 3i+1 right)overline{z}}{1+i}={{left| z right|}^{2}}Leftrightarrow frac{ileft( a+bi right)-left( 3i+1 right)left( a-bi right)}{1+i}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$
$Leftrightarrow ai-b-3ai-3b-a+bi={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}i+{{b}^{2}}i$
$Leftrightarrow left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-b right)i+left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4b+a right)=0$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + 2a – b = 0\
{a^2} + {b^2} + a + 4b = 0
end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
26{b^2} + 9b = 0\
a = 5b
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
b = 0,a = 0\
b = frac{{ – 9}}{{26}},a = frac{{ – 45}}{{26}}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z = 0\
z = frac{{ – 45}}{{26}}i – frac{9}{{26}}
end{array} right.$$Rightarrow z=frac{-45}{26}i-frac{9}{26}$ (Vì $zne 0$).
Với $z=frac{-45}{26}i-frac{9}{26}Rightarrow text{w}=frac{15}{2}-frac{3}{2}iRightarrow left| text{w} right|=frac{3sqrt{26}}{2}$ .
Câu 35. Chọn A.
Gọi $d$ là phương trình tiếp tuyến của hàm số $y=sqrt{x}$ tại $Mleft( 4,2 right)$$Rightarrow d:y=frac{1}{4}x+1$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=sqrt{x}$, $d$ và trục $Ox$ là
$S=intlimits_{-4}^{0}{left( frac{1}{4}x+1 right)text{d}x}+intlimits_{0}^{4}{left( frac{1}{4}x+1-sqrt{x} right)text{d}x=frac{8}{3}}$.
Câu 36. Chọn D.
$P=frac{1}{3}{{log }^{3}}_{frac{1}{3}}a+{{log }^{2}}_{frac{1}{3}}a-3{{log }_{frac{1}{3}}}a+1$
Đặt ${{log }_{frac{1}{3}}}a=t$, $tin left[ -1;3 right]$
$P=frac{1}{3}{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-3t+1$, ${P}’={{t}^{2}}+2t-3$ với $tin left[ -1;3 right]$
Bảng biến thiên
Ta thấy $m=underset{left[ -1;3 right]}{mathop{min P}},=-frac{2}{3}$,$M=underset{left[ -1;3 right]}{mathop{max P}},=10$
Suy ra $S=3m+4M$$=3.left( -frac{2}{3} right)+4.10=38$.
Câu 37. Chọn B.
+ Xét $I=intlimits_{1}^{16}{frac{fleft( sqrt{x} right)}{sqrt{x}}text{d}x}=6$, đặt $sqrt{x}=tRightarrow frac{dx}{2sqrt{x}}=dt$
Đổi cận:
$I=2intlimits_{1}^{4}{fleft( t right)dt}=6$ $Rightarrow intlimits_{1}^{4}{fleft( t right)dt}=frac{6}{2}=3$ .
+ $J=intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{fleft( sin x right)cos xtext{d}x}=3$, đặt $sin x=uRightarrow cos xdx=du$
Đổi cận:
$J=intlimits_{0}^{1}{fleft( u right)du}=3$
$I=intlimits_{0}^{4}{fleft( x right)text{d}x}=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)text{d}x}+intlimits_{1}^{4}{fleft( x right)text{d}x}=3+3=6$.
Câu 38. Chọn C.
Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$ và $R$ bán kính đường tròn đi qua ba điểm $A$, $B$, C
$S=sqrt{12left( 12-6 right)left( 12-8 right)left( 12-10 right)}=24$
$R=frac{6.8.10}{4.24}=5$
Khi đó bán kính mặt cầu $r=sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}=sqrt{34}$
Diện tích của mặt cầu $left( S right)$ bằng: $S=4pi {{r}^{2}}=4.pi .{{left( sqrt{34} right)}^{2}}=136pi c{{m}^{2}}$.
Câu 39. Chọn D.
Lấy bất kì $Aleft( a,0 right)$. Đường thẳng đi qua $A$ có hệ số góc $k$ có phương trình $y=kleft( x-a right)$ tiếp xúc với $left( C right)$
$Leftrightarrow kleft( x-a right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1$$Leftrightarrow left( 3{{x}^{2}}-6x+3 right)left( x-a right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1$
$Leftrightarrow $${{x}^{3}}-3left( 1+a right){{x}^{2}}+6ax-3a+1=0$$Leftrightarrow left( x-1 right)left( 2{{x}^{2}}-left( 1-a right)x+3a-1 right)=0$có nghiệm kép.
$Leftrightarrow left( x-1 right)gleft( x right)=0$ có nghiệm kép
Để qua $A$ kẻ đươc đúng một tiếp tuyến đến $left( C right)$ thì$left{ begin{array}{l}
Delta = 0\
gleft( 1 right) = 0
end{array} right. Leftrightarrow a = 1$
Vậy điểm $Aleft( 1;0 right)$ thuộc đường thẳng $x=1$.
Câu 40. Chọn A.
Ta có $2.2+{{3.2}^{2}}+{{4.2}^{3}}+…+{{2018.2}^{2017}}=left( n-1 right){{.2}^{n}}$
Với $n=2018$: $1+2.2+{{3.2}^{2}}+{{4.2}^{3}}+…+{{2018.2}^{2017}}={{2017.2}^{2018}}+1$
Suy ra $left{ begin{array}{l}
a = 2017\
b = 1
end{array} right.$. Vậy $P=2017.1=2017$.
Câu 41. Chọn C.
Trong tam giác $ABC$ kẻ đường cao $AK$ và $CF$ và $AKcap CF=left{ E right}$ nên $E$ là trực tâm tam giác $ABC$.
$left{ begin{array}{l}
SC bot SA\
SC bot SB
end{array} right.$ $Rightarrow SCbot left( SAB right)$ hay $SCbot AB$
Mà $CFbot AB$ nên $ABbot left( SCF right)$$Rightarrow ABbot SE$. Chứng minh tương tự ta được $BCbot left( SAK right)$$Rightarrow BCbot SE$. Vậy $SEbot left( ABC right)$.
Ta có $CE$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $left( ABC right)$.
$left( SC,left( ABC right) right)$$=left( SC,CE right)$$=widehat{SCE}$
Ta có tam giác $SCF$ vuông tại $S$ nên $frac{1}{S{{E}^{2}}}=frac{1}{S{{C}^{2}}}+frac{1}{S{{F}^{2}}}$. Mặt khác tam giác $SAB$ vuông tại $S$ nên $frac{1}{S{{F}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{S{{B}^{2}}}$. Suy ra $frac{1}{S{{E}^{2}}}=frac{1}{S{{C}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{S{{B}^{2}}}$$Leftrightarrow frac{1}{S{{E}^{2}}}=frac{3}{{{a}^{2}}}$$Leftrightarrow SE=frac{a}{sqrt{3}}$.
$sin widehat{SCE}=frac{SE}{SC}$$=frac{a}{sqrt{3}}:a$$=frac{1}{sqrt{3}}$.
Câu 42. Chọn B.
${y}’=3{{x}^{2}}-3$. Theo đề bài ta có ${y}’left( {{x}_{A}} right)={y}’left( {{x}_{B}} right)$$Leftrightarrow 3x_{A}^{2}-3=3x_{B}^{2}-3$$Leftrightarrow x_{A}^{2}=x_{B}^{2}$$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_A} = {x_B}\
{x_A} = – {x_B}
end{array} right.$$Leftrightarrow {{x}_{A}}=-{{x}_{B}}$ ( do $A$, $B$ phân biệt)
$AB=4sqrt{2}$$Leftrightarrow A{{B}^{2}}=32$$Leftrightarrow {{left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)}^{2}}=32$
$Leftrightarrow 4x_{B}^{2}+{{left( x_{B}^{3}-3{{x}_{B}}+1-x_{A}^{3}+3{{x}_{A}}-1 right)}^{2}}=32$$Leftrightarrow 4x_{B}^{2}+{{left( x_{B}^{3}-3{{x}_{B}}+1-x_{A}^{3}+3{{x}_{A}}-1 right)}^{2}}=32$$Leftrightarrow 4x_{B}^{2}+{{left( 2x_{B}^{3}-6{{x}_{B}} right)}^{2}}=32$$Leftrightarrow 4x_{B}^{2}+4x_{B}^{6}-24x_{B}^{4}+36x_{B}^{2}=32$$Leftrightarrow 4x_{B}^{6}-24x_{B}^{4}+40x_{B}^{2}-32=0$
$Leftrightarrow x_{B}^{2}=4$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_B} = 2,{x_A} = – 2\
{x_B} = – 2,{x_A} = 2
end{array} right.$. Vậy ${{x}_{B}}=2,{{x}_{A}}=-2$ nên $S=3{{x}_{A}}-5{{x}_{B}}$$=-16$.
Câu 43. Chọn B.
${y}’={{x}^{3}}-2mx$$=xleft( {{x}^{2}}-2m right)$.
Để hàm số có ba cực trị thì $ab<0$$Leftrightarrow -frac{m}{4}<0$$Leftrightarrow m>0$.
$y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0,{rm{ }}y = {m^2}\
x = sqrt {2m} ,{rm{ }}y = 0\
x = – sqrt {2m} ,{rm{ }}y = 0
end{array} right.$
Gọi parabol đi qua điểm $Aleft( 0; {{m}^{2}} right)$, $Bleft( sqrt{2m}; 0 right)$, $Cleft( -sqrt{2m}; 0 right)$ có dạng: $y=a{{x}^{2}}+bx+c$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
2ma + sqrt {2m} b + c = 0\
2ma – sqrt {2m} b + c = 0\
c = {m^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – frac{m}{2}\
b = 0\
c = {m^2}
end{array} right.$ hay $y=-frac{m}{2}{{x}^{2}}+{{m}^{2}}$
Theo yêu cầu bài toán parabol đi qua $Bleft( sqrt{2}; 2 right)$ nên: $2=-frac{{{m}_{a}}}{2}{{left( sqrt{2} right)}^{2}}+m_{a}^{2}$$Leftrightarrow m_{a}^{2}-{{m}_{a}}-2=0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{m_a} = – 1\
{m_a} = 2
end{array} right.$. Vậy ${{m}_{a}}=2$.
Câu 44: Chọn B.
Trong mặt phẳng $left( SAC right)$ từ $C$ kẻ $CIbot SA$, $Iin SA$. Trong mặt phẳng $left( SAB right)$ từ $I$ kẻ $IHbot SA$ cắt $SB$ tại $H$.
Ta có: $ABbot SC$, $ABbot BC$$Rightarrow ABbot left( SBC right)$ $Rightarrow ABbot CH$mà $CHbot SB$$Rightarrow CHbot left( SAB right)$
$Rightarrow CHbot SA$ mà $CIbot SA$$Rightarrow SAbot left( CIH right)$. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $left( SAB right)$, $left( SAC right)$ là $widehat{CIH}$. Vì $CHbot left( SAB right)$$Rightarrow CHbot IH$ hay tam giác $CHI$ vuông tại $H$.
Xét tam giác vuông $SAC$ có: $CI=frac{SC.CA}{sqrt{S{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}}}$$=frac{2asqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác vuông $SBC$ có: $CH=frac{SC.CB}{sqrt{S{{C}^{2}}+C{{B}^{2}}}}$$=frac{SC.sqrt{C{{A}^{2}}-A{{B}^{2}}}}{sqrt{S{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}-A{{B}^{2}}}}$$=frac{2asqrt{78}}{13}$.
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $left( SAB right)$, $left( SAC right)$ là $widehat{CIH}$ nên $sin widehat{CIH}=frac{CH}{CI}$$=frac{3}{sqrt{13}}$.
Câu 45: Chọn D.
Ta có $R=SI=3$.
Tam giác $SAH$ và tam giác$SIE$ đồng dạng có: $frac{SA}{SI}=frac{SH}{SE}$$Rightarrow SH=frac{SA.SE}{SI}$$=frac{sqrt{6}.frac{sqrt{6}}{2}}{3}$$=1$.
Câu 46: Chọn B.
Ta có: ${{left( 7-3sqrt{5} right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{left( 7+3sqrt{5} right)}^{{{x}^{2}}}}={{2}^{{{x}^{2}}-1}}$$Leftrightarrow {{left( frac{7-3sqrt{5}}{2} right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{left( frac{7+3sqrt{5}}{2} right)}^{{{x}^{2}}}}=frac{1}{2}$.
Vì ${{left( frac{7-3sqrt{5}}{2} right)}^{{{x}^{2}}}}.{{left( frac{7+3sqrt{5}}{2} right)}^{{{x}^{2}}}}=1$nên đặt $t={{left( frac{7-3sqrt{5}}{2} right)}^{{{x}^{2}}}}$, $0<tle 1$ phương trình trở thành:
$t+frac{m}{t}=frac{1}{2}$$Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t+2m=0$ $Leftrightarrow 2m=-2{{t}^{2}}+tleft( * right)$.
Xét hàm số $fleft( t right)=-2{{t}^{2}}+t$, $0<tle 1$.
$Rightarrow {f}’left( t right)=-4t+1$, ${f}’left( t right)=0Leftrightarrow t=frac{1}{4}$ ta có bảng biến thiên:
Để phương trình đã cho có đúng bốn nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $0<t<1$. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $0<2m<frac{1}{8}$ $Leftrightarrow 0<m<frac{1}{16}$$Rightarrow M=0+frac{1}{16}$ $=frac{1}{16}$.
Câu 47:Chọn B.
Ta có $xin left( 0,;,frac{3pi }{4} right)Rightarrow frac{pi }{4}<x+frac{pi }{4}<pi Rightarrow 0<sin left( x+frac{pi }{4} right)le 1Rightarrow 0<sqrt[{}]{2}sin left( x+frac{pi }{4} right)le sqrt[{}]{2}$.
Mặt khác $sqrt[{}]{2}sin left( x+frac{pi }{4} right)=sin x+cos x$.
Đặt $sin x+cos x=t$ với $tin left( 0,;,sqrt[{}]{2} right]$$Rightarrow {{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x+2sin x.cos x={{t}^{2}}$ $Rightarrow sin 2x={{t}^{2}}-1$.
Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-1+t-2=mLeftrightarrow {{t}^{2}}+t-3=m$$left( * right)$ .
Xét $fleft( t right)={{t}^{2}}+t-3$ với $tin left( 0,;,sqrt[{}]{2} right]$.
Ta có ${f}’left( t right)=2t+1$. Do đó ${f}’left( t right)=0Leftrightarrow t=-frac{1}{2}$ (loại).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình $left( * right)$ có nhiều nhất một nghiệm $t$ . Do đó để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực $x$ thuộc khoảng $left( 0,;,frac{3pi }{4} right)$ thì $left[ begin{array}{l}
t = sqrt 2 \
0 < t le 1
end{array} right.$
Với $t=sqrt[{}]{2}$ thay vào phương trình $left( * right)$: $2+sqrt[{}]{2}-3=m$$Leftrightarrow m=sqrt[{}]{2}-1notin mathbb{Z}$.
Với $0<tle 1$ ta có bảng biến thiên
Vậy $-3<mle -1$$Rightarrow $ có $2$giá trị nguyên của $m$ là $-2$ và $-1$ .
Câu 48: Chọn B.
Ta có ${{w}^{2}}+4$$={{left( x+yi right)}^{2}}+4$$={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi+4$$Rightarrow left| {{w}^{2}}+4 right|=sqrt[{}]{{{left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+4 right)}^{2}}+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}}$.
Do đó $left| {{w}^{2}}+4 right|=2left| w right|$$Leftrightarrow sqrt[{}]{{{left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+4 right)}^{2}}+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}}=2sqrt[{}]{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$$Leftrightarrow {{left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+4 right)}^{2}}+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}=4left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)$$Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{y}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+8left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)+16+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}=4left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)$
$Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)+4+8left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)+12=0$$Leftrightarrow {{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)}^{2}}-4left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)+4+8left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)+12=0$$Leftrightarrow {{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2 right)}^{2}}+8left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)+12=0$
$Leftrightarrow 8left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)+12=-{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2 right)}^{2}}$$Leftrightarrow P=-{{left( {{left| w right|}^{2}}-2 right)}^{2}}$.
Câu 49: Chọn D.
Số cách chọn 3 điểm trong $2n$ điểm phân biệt đã cho là: $C_{2n}^3$.
Số cách chọn $3$ điểm trong $n$ điểm cùng nằm trên một mặt phẳng là: $C_{n}^{3}$.
Số mặt phẳng được tạo ra từ $2n$ điểm đã cho là: $C_{2n}^{3}-C_{n}^{3}+1$.
Như vậy:
$C_{2n}^{3}-C_{n}^{3}+1=201$$Leftrightarrow frac{2nleft( 2n-1 right)left( 2n-2 right)}{6}-frac{nleft( n-1 right)left( n-2 right)}{6}=200$
$Leftrightarrow frac{2nleft( 2n-1 right)left( 2n-2 right)}{6}-frac{nleft( n-1 right)left( n-2 right)}{6}=200$
$Leftrightarrow 7{{n}^{3}}-9{{n}^{2}}+2n-1200=0$$Leftrightarrow left( n-6 right)left( 7{{n}^{2}}+33n+200 right)=0$
$Leftrightarrow n=6$
Vậy $n=6$.
Câu 50: Chọn A.
Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm $BC$, $AD$.
Vì $AB=AC=BD=CD=1$ nên $AHbot BC$ và $DHbot BC$, suy ra $BCbot left( AHD right)$$Rightarrow BCbot HK$.
Mặt khác $Delta ABC=Delta DBC$nên $AH=DH$, suy ra $HKbot AD$.
Như vậy, $HK$ là đường vuông góc chung của đường thẳng $AD$ và $BC$. Bởi vậy $dleft( AD;BC right)=HK$.
Đặt $BC=2x$, $AD=2y$, với $0<x<1$ và $0<y<1$.
Ta có $AH=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=sqrt{1-{{x}^{2}}}$, $HK=sqrt{A{{H}^{2}}-A{{K}^{2}}}=sqrt{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$, với ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}<1$.
Thể tích của khối tứ diện $ABCD$là
$V={{V}_{B.AHD}}+{{V}_{C.AHD}}$$=frac{1}{3}{{S}_{AHD}}.left( BH+CH right)$
$=frac{1}{3}.frac{1}{2}.AD.HK.BC$$=frac{1}{6}.2y.2x.sqrt{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$
$=frac{2}{3}sqrt{{{x}^{2}}{{y}^{2}}left( 1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)}$.
Mặt khác ${{x}^{2}}{{y}^{2}}left( 1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)le {{left( frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+left( 1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)}{3} right)}^{3}}=frac{1}{27}$.
Nên $V=frac{2}{3}sqrt{{{x}^{2}}{{y}^{2}}left( 1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)}$$le frac{2}{3}sqrt{frac{1}{27}}=frac{2sqrt{3}}{27}$.
Do đó, thể tích khối tứ diện $ABCD$ lớn nhất là bằng $frac{2sqrt{3}}{27}$ khi và chỉ khi:
${{x}^{2}}={{y}^{2}}=1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}$.$Rightarrow x=y=frac{1}{sqrt{3}}$.
Khi đó $HK=sqrt{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=frac{1}{sqrt{3}}$ và $dleft( AD;BC right)=frac{1}{sqrt{3}}$.
