Câu 30: Chọn D.
Hàm số $y=frac{1}{1-ln x}$ xác định $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 0\
ln x ne 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 0\
x ne {rm{e}}
end{array} right. Rightarrow D = left( {0; + infty } right)backslash left{ {rm{e}} right}$
Câu 31: Chọn D.
Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có $SHbot left( ABC right)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $BCbot left( SAM right)$.
Do đó, ta có góc giữa mặt phẳng $left( SBC right)$ và mặt đáy bằng $widehat{SMH}=60{}^circ $.
Đặt $AB=xRightarrow HM=frac{xsqrt{3}}{6}$ ; $SH=HMtan 60{}^circ =frac{x}{2}$. Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $V=frac{1}{3}frac{{{x}^{2}}sqrt{3}}{4}cdot frac{x}{2}=frac{{{x}^{3}}sqrt{3}}{24}Rightarrow frac{{{x}^{3}}sqrt{3}}{24}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{24}Rightarrow x=a$.
Kẻ $AIbot SM$ $left( Iin SM right)Rightarrow AIbot left( SBC right)Rightarrow AI=dleft( A,left( SBC right) right)$; $SM=sqrt{frac{{{a}^{2}}}{12}+frac{{{a}^{2}}}{4}}=frac{sqrt{3}a}{3}$.
$AI=frac{SH.AH}{SM}=frac{3a}{4}$.
Câu 32: Chọn B.
Dựng $HMbot BCleft( Min BC right)$; $SHbot BCRightarrow left( SHM right)bot left( SBC right)$; $left( SHM right)cap left( SBC right)=SM$.
Trong mặt phẳng $left( SHM right)$, dựng $HKbot SM,,left( Kin SM right)Rightarrow HKbot left( SBC right)Rightarrow HK=dleft( H,left( SBC right) right)$.
Ta có: $dleft( A,left( SBC right) right)=2dleft( H,left( SBC right) right)$.
$HM=BHsin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{4}$; $frac{1}{H{{K}^{2}}}=frac{1}{S{{H}^{2}}}+frac{1}{H{{M}^{2}}}=frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{16}{3{{a}^{2}}}=frac{19}{3{{a}^{2}}}Rightarrow HK=frac{sqrt{57}a}{19}$.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $left( SBC right)$ bằng $2HK=frac{asqrt{57}a}{19}$.
Câu 33: Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm${x^5} = {x^3} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = – 1\
x = 1
end{array} right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={{x}^{5}}$ và $y={{x}^{3}}$ bằng
$S=intlimits_{-1}^{1}{left| {{x}^{5}}-{{x}^{3}} right|text{d}x}=intlimits_{-1}^{0}{left( {{x}^{5}}-{{x}^{3}} right)text{d}x}-intlimits_{0}^{1}{left( {{x}^{5}}-{{x}^{3}} right)text{d}x}=frac{1}{6}$.
Câu 34: Chọn D.
Gọi $left( C right)$ là đồ thị hàm số $y=frac{3x+1}{x-1}$; $left( C right)$ có tiệm cận đứng $x=1$.
$Min left( C right)Rightarrow Mleft( m;frac{3m+1}{m-1} right)$, $mne 1$.
Khoảng cách từ $M$ tới đường tiệm cận đứng bằng $d = left| {m – 1} right| Leftrightarrow left| {m – 1} right| = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 2\
m = 0
end{array} right.$.
Vậy $Mleft( 0;-1 right)$ hoặc $Mleft( 2;7 right)$.
Câu 35: Chọn A.
Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ có TXĐ: $mathbb{R}$; ${y}’=3{{x}^{2}}-6x$; $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.$
Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $Aleft( 0;1 right)$, $Bleft( 2;-3 right)Rightarrow overrightarrow{AB}=left( 2;-4 right)$.
Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A$, $B$ có phương trình: $frac{x}{2}=frac{y-1}{-4}Leftrightarrow y=-2x+1$.
Đường thẳng $y=left( 2m-1 right)x+m+3$ song song với đường thẳng $d Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2m – 1 = – 2\
m + 3 ne 1
end{array} right. Leftrightarrow m = – frac{1}{2}$.
Câu 36: Chọn C.
Gọi $d$ là đường thẳng qua $Aleft( m;,-10 right)$ có hệ số góc $k$.
Suy ra $d:y=kleft( x-m right)-10$.
$d$ là tiếp tuyến của $left( C right)$khi hệ phương trình sau có nghiệm
$left{ begin{array}{l}
{x^3} – 3{x^2} – 9x + 10 = kleft( {x – m} right) – 10,,,left( 1 right)\
3{x^2} – 6x – 9 = k
end{array} right.,,$
Thế $k$ vào (1), ta được $2{{x}^{3}}-left( 3m+3 right){{x}^{2}}+6mx+9m-20=0$ (*).
Để có đúng $2$ tiếp tuyến của $left( C right)$ qua $A$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm.
Suy ra đồ thị hàm số $fleft( x right)=2{{x}^{3}}-left( 3m+3 right){{x}^{2}}+6mx+9m-20$ có 2 cực trị, trong đó có 1 cực trị thuộc trục hoành.
Ta có ${f}’left( x right)=6{{x}^{2}}-2left( 3m+3 right)x+6m$.
$f’left( x right) = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1 Rightarrow fleft( 1 right) = 12m – 21\
x = m Rightarrow fleft( m right) = – {m^3} + 3{m^2} + 9m – 20
end{array} right.$
Khi đó $left[ begin{array}{l}
12m – 21 = 0\
– {m^3} + 3{m^2} + 9m – 20 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = frac{7}{4}\
m = 4\
m = frac{{ – 1 pm sqrt {21} }}{2}
end{array} right.$
Vậy $S=left{ frac{7}{4};,4;,frac{-1pm sqrt{21}}{2}, right}$. Suy ra $T=frac{7}{4}+,4+,frac{-1+sqrt{21}}{2}+frac{-1-sqrt{21}}{2}$$=frac{19}{4}$.
Câu 37: Chọn B.
Ta có $dleft( I,left( P right) right)=frac{left| 1.1+1.1+0.1+1 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=sqrt{3}$.
Khi đó bán kính mặt cầu $R=sqrt{{{d}^{2}}left( I,left( P right) right)+{{r}^{2}}}=2$.
Vậy $left( S right):,,{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$.
Câu 38: Chọn B.
+ Xét $intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)text{d}x}=2$.
Đặt $u=2xRightarrow text{d}u=2text{d}x$; $x=0Rightarrow u=0$; $x=1Rightarrow u=2$.
Nên $2=intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)text{d}x}$$=frac{1}{2}intlimits_{0}^{2}{fleft( u right)text{d}u}$$Rightarrow intlimits_{0}^{2}{fleft( u right)text{d}u}=4$.
+ Xét $intlimits_{0}^{2}{fleft( 6x right)text{d}x}=14$.
Đặt $v=6xRightarrow text{d}v=6text{d}x$; $x=0Rightarrow v=0$; $x=2Rightarrow v=12$.
Nên $14=intlimits_{0}^{2}{fleft( 6x right)text{d}x}$$=frac{1}{6}intlimits_{0}^{12}{fleft( v right)text{d}v}$$Rightarrow intlimits_{0}^{12}{fleft( v right)text{d}v}=84$.
+ Xét $intlimits_{-2}^{2}{fleft( 5left| x right|+2 right)text{d}x}$$=intlimits_{-2}^{0}{fleft( 5left| x right|+2 right)text{d}x}+intlimits_{0}^{2}{fleft( 5left| x right|+2 right)text{d}x}$.
Tính ${{I}_{1}}=intlimits_{-2}^{0}{fleft( 5left| x right|+2 right)text{d}x}$.
Đặt $t=5left| x right|+2$.
Khi $-2<x<0$, $t=-5x+2$$Rightarrow text{d}t=-5text{d}x$; $x=-2Rightarrow t=12$; $x=0Rightarrow t=2$.
${{I}_{1}}=frac{-1}{5}intlimits_{12}^{2}{fleft( t right)text{d}t}$$=frac{1}{5}left[ intlimits_{0}^{12}{fleft( t right)text{d}t}-intlimits_{0}^{2}{fleft( t right)text{d}t} right]$$=frac{1}{5}left( 84-4 right)=16$.
Tính ${{I}_{1}}=intlimits_{0}^{2}{fleft( 5left| x right|+2 right)text{d}x}$.
Đặt $t=5left| x right|+2$.
Khi $0<x<2$, $t=5x+2$$Rightarrow text{d}t=5text{d}x$; $x=2Rightarrow t=12$; $x=0Rightarrow t=2$.
${{I}_{2}}=frac{1}{5}intlimits_{2}^{12}{fleft( t right)text{d}t}$$=frac{1}{5}left[ intlimits_{0}^{12}{fleft( t right)text{d}t}-intlimits_{0}^{2}{fleft( t right)text{d}t} right]$$=frac{1}{5}left( 84-4 right)=16$.
Vậy $intlimits_{-2}^{2}{fleft( 5left| x right|+2 right)text{d}x}=32$.
Câu 39: Chọn C.
+ Xét $left( {{d}_{1}} right):y=7x-9$.
$left( {{d}_{1}} right)$ là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm
$left{ begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} – 2x – 4 = 7x – 9\
3{x^2} + 6x – 2 = 7
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} – 9x + 5 = 0\
3{x^2} + 6x – 9 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = – 5
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = – 3
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow x = 1$
Vậy $left( {{d}_{1}} right)$ là tiếp tuyến của đồ thị.
+ Xét $left( {{d}_{2}} right):y=5x+29$.
$left( {{d}_{2}} right)$ là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm
$left{ begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} – 2x – 4 = 5x + 29\
3{x^2} + 6x – 2 = 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} – 7x – 33 = 0\
3{x^2} + 6x – 7 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 3\
left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – 3 + sqrt {30} }}{3}\
x = frac{{ – 3 – sqrt {30} }}{3}
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow x in emptyset $
Vậy $left( {{d}_{2}} right)$ không là tiếp tuyến của đồ thị.
+ Xét $left( {{d}_{3}} right):y=-5x-5$.
$left( {{d}_{3}} right)$ là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm
$left{ begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} – 2x – 4 = – 5x – 5\
3{x^2} + 6x – 2 = – 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\
3{x^2} + 6x + 3 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = – 1\
x = – 1
end{array} right. Leftrightarrow x = – 1$
Vậy $left( {{d}_{3}} right)$ là tiếp tuyến của đồ thị.
Câu 40: Chọn A.
Đặt $t=fleft( x right)+1$$Rightarrow t={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-6x+1$.
Khi đó $sqrt{fleft( fleft( x right)+1 right)+1}=fleft( x right)+2$ trở thành:
$begin{array}{l}
sqrt {fleft( t right) + 1} = t + 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t ge – 1\
fleft( t right) + 1 = {t^2} + 2t + 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t ge – 1\
{t^3} – 4{t^2} – 8t + 1 = 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t ge – 1\
left[ begin{array}{l}
t = {t_1} in left( { – 2; – 1} right)\
t = {t_2} in left( { – 1;,1} right)\
t = {t_3} in left( {1;,6} right)
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = {t_2} in left( { – 1;,1} right)\
t = {t_3} in left( {5;,6} right)
end{array} right.
end{array}$
Vì $gleft( t right)={{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-8t+1$; $gleft( -2 right)=-7$; $gleft( -1 right)=4$; $gleft( 1 right)=-10$; $gleft( 5 right)=-14$; $gleft( 6 right)=25$.
Xét phương trình $t={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-6x+1$là pt hoành độ giao điểm của ...
Ta có
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
+ Với $t={{t}_{2}}in left( -1;,1 right)$, ta có d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình có 3 nghiệm.
+ Với $t={{t}_{3}}in left( 5;,6 right)$, ta có d cắt (C) tại 1 điểm, nên phương trình có 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 41: Chọn D.
Đặt $z=x+yi$ với $x$, $yin mathbb{R}$ theo giả thiết $left| {bar{z}} right|=left| z+2text{i} right|$$Leftrightarrow y=-1$. $left( d right)$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $left( d right)$.
Gọi $Aleft( 0;,1 right)$, $Bleft( 4;,0 right)$ suy ra $left| z-i right|+left| z-4 right|=P$ là tổng khoảng cách từ điểm $Mleft( x;,-1 right)$ đến hai điểm $A$, $B$.
Thấy ngay $Aleft( 0;,1 right)$ và $Bleft( 4;,0 right)$ nằm cùng phía với $left( d right)$. Lấy điểm đối xứng với $Aleft( 0;,1 right)$ qua đường thẳng $left( d right)$ ta được điểm ${A}’left( 0;,-3 right)$.
Do đó khoảng cách ngắn nhất là ${A}’B=sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$.
Câu 42: Chọn C.
Ta có $dleft( A,,left( P right) right)=frac{left| 2+6+1 right|}{sqrt{4+9+1}}=frac{9}{sqrt{14}}$.
Câu 43: Chọn B.
$Delta $ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}=left( 2;,5;,-3 right)$ và đi qua $Aleft( 1;,1;,-2 right)$ nên có phương trình:
$Delta :frac{x-1}{2}=frac{y-1}{5}=frac{z+2}{-3}$.
Câu 44: Chọn B.
Thấy ngay hai vectơ chỉ phương của $Delta $ và ${Delta }’$ cùng phương do đó $Delta $ và ${Delta }’$ song song hoặc trùng nhau.
Lại có hệ phương trình
$left{ begin{array}{l}
1 + 2t = 3 + 2t’\
2 – t = 1 – t’
end{array} right.$
vô số nghiệm suy ra $Delta equiv {Delta }’$.
Câu 45: Chọn D.
Đặt
$left{ begin{array}{l}
u = fleft( x right)\
{rm{d}}v = cos frac{{pi x}}{2}{rm{d}}x
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{rm{d}}u = f’left( x right){rm{d}}x\
v = frac{2}{pi }sin frac{{pi x}}{2}
end{array} right.$
Do đó $intlimits_{0}^{1}{text{cos}left( frac{pi }{2}x right)fleft( x right)text{d}x}=frac{1}{2}$
$Leftrightarrow left. frac{2}{pi }sin frac{pi x}{2}fleft( x right) right|_{0}^{1}-frac{2}{pi }intlimits_{0}^{1}{text{sin}left( frac{pi }{2}x right){f}’left( x right)text{d}x}=frac{1}{2}$$Leftrightarrow intlimits_{0}^{1}{text{sin}left( frac{pi }{2}x right){f}’left( x right)text{d}x}=-frac{pi }{4}$.
Lại có: $intlimits_{0}^{1}{text{si}{{text{n}}^{2}}left( frac{pi }{2}x right)text{d}x}=frac{1}{2}$
$Rightarrow I=intlimits_{0}^{1}{{{left( -frac{2}{pi }.{f}’left( x right) right)}^{2}}text{d}x}-2left( -frac{2}{pi } right)intlimits_{0}^{1}{text{sin}left( frac{pi }{2}x right){f}’left( x right)text{d}x}+intlimits_{0}^{1}{text{si}{{text{n}}^{2}}left( frac{pi }{2}x right)text{d}x}$
$=intlimits_{0}^{1}{{{left( -frac{2}{pi }{f}’left( x right)-text{sin}left( frac{pi }{2}x right) right)}^{2}}text{d}x}=frac{4}{{{pi }^{2}}}frac{{{pi }^{2}}}{8}-frac{2}{pi }.frac{pi }{2}+frac{1}{2}=0$
Vì ${{left( -frac{2}{pi }{f}’left( x right)-text{sin}left( frac{pi }{2}x right) right)}^{2}}ge 0$ trên đoạn $left[ 0;,1 right]$ nên
$intlimits_{0}^{1}{{{left( -frac{2}{pi }{f}’left( x right)-text{sin}left( frac{pi }{2}x right) right)}^{2}}text{d}x}=0$$Leftrightarrow -frac{2}{pi }{f}’left( x right)text{=sin}left( frac{pi }{2}x right)$$Leftrightarrow {f}’left( x right)text{=}-frac{pi }{2}text{sin}left( frac{pi }{2}x right)$.
Suy ra $fleft( x right)text{=cos}left( frac{pi }{2}x right)+C$ mà $fleft( 1 right)=0$ do đó $fleft( x right)text{=cos}left( frac{pi }{2}x right)$.
Vậy $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)text{d}x}=intlimits_{0}^{1}{text{cos}left( frac{pi }{2}x right)text{d}x}=frac{2}{pi }$.
Câu 46: Chọn A.
Mặt phẳng $left( P right)$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left( 2;2;-1 right)$, Mặt phẳng $left( Q right)$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{{{n}_{Q}}}=left( 1;1;m right)$. Hai mặt phẳng $left( P right)$ và $left( Q right)$ cắt nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không cùng phương $Leftrightarrow mne frac{-1}{2}$.
Câu 47: Chọn C.
Ta có $intlimits_{3}^{5}{{f}’left( x right)text{d}x}=fleft( 5 right)-fleft( 3 right)>0$, do đó $fleft( 5 right)>fleft( 3 right)$.
$intlimits_{0}^{3}{{f}’left( x right)text{d}x}=fleft( 3 right)-fleft( 0 right)<0$, do đó $fleft( 3 right)<fleft( 0 right)$
$intlimits_{0}^{5}{{f}’left( x right)text{d}x}=fleft( 5 right)-fleft( 0 right)<0$, do đó $fleft( 5 right)<fleft( 0 right)$
Câu 48:Chọn B.
Vì $left( 1+2.1+1-2 right)left( -1+2.left( -1 right)+3-2 right)<0$ nên $A$ và $B$ nằm về hai phía so với $left( P right)$. Do đó $MA+MBge AB$ nên $MA+MB$ nhỏ nhất bằng $AB$ khi $M=ABcap left( P right)$.
Phương trình đường thẳng $AB$:
$left{ begin{array}{l}
x = 1 – t\
y = 1 – t\
z = 1 + t
end{array} right.$
, tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình
$left{ begin{array}{l}
x = 1 – t\
y = 1 – t\
z = 1 + t\
x + 2y + z – 2 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 1 – t\
y = 1 – t\
z = 1 + t\
1 – t + 2left( {1 – t} right) + 1 + t – 2 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 0\
y = 0\
z = 2\
t = 1
end{array} right.$
. Vậy $Mleft( 0;0;2 right)$.
Câu 49: Chọn B.
Giả sử $I=intlimits_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}{fleft( x right)text{d}x}$.
Đặt $t=-x$ $Rightarrow text{d}t=-text{d}x$, đổi cận $x=-frac{pi }{2}to t=frac{pi }{2}$$x=frac{pi }{2}to t=-frac{pi }{2}$.
Khi đó $I=-intlimits_{frac{pi }{2}}^{-frac{pi }{2}}{fleft( t right)text{d}t}=intlimits_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}{fleft( t right)text{d}t}$.
Suy ra $2I=intlimits_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}{left[ fleft( x right)+fleft( -x right) right]text{d}x}$$=intlimits_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}{2sin xtext{d}x}=0$$Rightarrow 2I=0$$Rightarrow I=0$
Câu 50: Chọn C.
Viết lại
$Delta :left{ begin{array}{l}
x = 1 + t\
y = 2 – t\
z = 1 + 2t
end{array} right.,t in R$
Do đó $Aleft( 1+t;2-t;1+2t right)$. Vì $Ain left( P right)$ nên $1+t+2left( 2-t right)+1+2t-5=0$ $Leftrightarrow t=-1$.
Do đó $Aleft( 0;3;-1 right)$.
