1a) Cho các biểu thức $Pleft( x right)=dfrac{5x-12sqrt{x}-32}{x-16}$ và $Qleft( x right)=x+sqrt{x}+3.$
Tìm số nguyên ${{x}_{0}}$ sao cho $Pleft( {{x}_{0}} right)$ và $Qleft( {{x}_{0}} right)$ là các số nguyên, đồng thời $Pleft( {{x}_{0}} right)$ là ước của $Qleft( {{x}_{0}} right).$
Giải:
Ta có $Pleft( x right)=dfrac{5x-12sqrt{x}-32}{x-16}=dfrac{left( 5sqrt{x}+8 right)left( sqrt{x}-4 right)}{x-16}=dfrac{5sqrt{x}+8}{sqrt{x}+4}=5-dfrac{12}{sqrt{x}+4}.$
Suy ra $Pleft( {{x}_{0}} right)$ nguyên $Leftrightarrow sqrt{{{x}_{0}}}+4$ là các ước nguyên dương của 12
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sqrt {{x_0}} + 4 = 4\
sqrt {{x_0}} + 4 = 6\
sqrt {{x_0}} + 4 = 12
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 0\
{x_0} = 4\
{x_0} = 64
end{array} right..$
Ta có $left{ begin{array}{l}
Pleft( 0 right) = 2\
Qleft( 0 right) = 3
end{array} right.;{mkern 1mu} left{ begin{array}{l}
Pleft( 4 right) = 3\
Qleft( 4 right) = 9
end{array} right.;left{ begin{array}{l}
Pleft( {64} right) = 4\
Qleft( {64} right) = 75
end{array} right..$
Vậy ${{x}_{0}}=4.$
1b) Cho $t=dfrac{x}{{{x}^{2}}-x+1}.$ Tính giá trị biểu thức $A=dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}$ theo $t.$
Giải:
Lời giải 1:
1) Nếu $x=0$ thì $t=0$ và $A=0.$
2) Nếu $xne 0$ thì $left( x+dfrac{1}{x}-1 right)t=1Rightarrow x+dfrac{1}{x}=dfrac{1}{t}+1Rightarrow {{left( x+dfrac{1}{x} right)}^{2}}={{left( 1+dfrac{1}{t} right)}^{2}}$
$Rightarrow {{x}^{2}}+dfrac{1}{{{x}^{2}}}=dfrac{1}{{{t}^{2}}}+dfrac{2}{t}-1.$
Khi đó: $A=dfrac{1}{{{x}^{2}}+dfrac{1}{{{x}^{2}}}+1}=dfrac{1}{dfrac{1}{{{t}^{2}}}+dfrac{2}{t}}=dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$
Từ hai trường hợp trên suy ra $A=dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$
Lời giải 2:
Ta có $A=dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}=dfrac{{{x}^{2}}}{{{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{2}}-{{x}^{2}}}=dfrac{{{x}^{2}}}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)left( {{x}^{2}}-x+1 right)}$
$={{left( dfrac{x}{{{x}^{2}}-x+1} right)}^{2}}:dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}-x+1}={{t}^{2}}:dfrac{left( {{x}^{2}}-x+1 right)+2x}{{{x}^{2}}-x+1}=dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$
2a) Cho parabol $left( P right):y=dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $d:y=dfrac{11}{8}x-dfrac{3}{2}.$ Gọi $A,B$ là các giao điểm của $left( P right)$ và $d.$ Tìm tọa độ điểm $C$ trên trục tung sao cho $CA+CB$ có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Hoành độ của $A$ và $B$ là nghiệm của phương trình: $dfrac{1}{4}{{x}^{2}}=dfrac{11}{8}x-dfrac{3}{2}.$
Phương trình này có hai nghiệm: $x=4$ và $x=dfrac{3}{2}.$
Suy ra $Aleft( 4;4 right),Bleft( dfrac{3}{2};dfrac{9}{16} right).$
Dễ thấy hai điểm $A,B$ cùng nằm về một phía so với trục tung. Lấy điểm $A’left( -4;4 right)$ đối xứng với $A$ qua trục tung. Khi đó $CA+CB=CA’+CBge A’B$, nên $CA+CB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $A’,C,B$ thẳng hàng, tức là khi $C$ là giao điểm của đường thẳng $A’B$ với trục tung.
Phương trình đường thẳng $d’$ đi qua $A’$ và $B$ có dạng $y=ax+b.$
Ta có hệ $left{ begin{array}{l}
4 = – 4a + b\
frac{9}{{16}} = frac{3}{2}a + b
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – frac{5}{8}\
b = frac{3}{2}
end{array} right..$
Suy ra $d’:y = – frac{5}{8}x + frac{3}{2}.$
Vậy $Cleft( 0;dfrac{3}{2} right).$
2b) Giải hệ phương trình (left{ begin{align} & 2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0 \ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y-4=0 \ end{align} right.)
Giải:
Ta có: $2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0Leftrightarrow {{y}^{2}}-left( x+1 right)y-2{{x}^{2}}+5x-2=0$
$Leftrightarrow {{left[ y-dfrac{x+1}{2} right]}^{2}}-left[ dfrac{{{left( x+1 right)}^{2}}}{4}+2{{x}^{2}}-5x+2 right]=0$
$Leftrightarrow {{left[ y-dfrac{x+1}{2} right]}^{2}}-dfrac{9{{x}^{2}}-18x+9}{4}=0Leftrightarrow {{left[ y-dfrac{x+1}{2} right]}^{2}}-{{left( dfrac{3x-3}{2} right)}^{2}}=0$
$Leftrightarrow left( y-dfrac{x+1}{2}-dfrac{3x-3}{2} right)left( y-dfrac{x+1}{2}+dfrac{3x-3}{2} right)=0$
$ Leftrightarrow left( {y – 2x + 1} right)left( {y + x – 2} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y – 2x + 1 = 0\
y + x – 2 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = 2x – 1\
y = 2 – x
end{array} right..$
@ Trường hợp $y=2x-1,$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:({{x}^{2}}+{{left( 2x-1 right)}^{2}}+x+2x-1-4=0Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-x-4=0Leftrightarrow left[ begin{align} & x=1 \ & x=-dfrac{4}{5} \ end{align} right.)
Trường hợp này hệ đã cho có hai nghiệm: $left( x;y right)=left( 1;1 right),left( x;y right)=left( -dfrac{4}{5};-dfrac{13}{5} right).$
@ Trường hợp $y=2-x,$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
${{x}^{2}}+{{left( 2-x right)}^{2}}+x+2-x-4=0Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+2=0Leftrightarrow x=1.$
Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm: $left( x;y right)=left( 1;1 right).$
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: $left( x;y right)=left( 1;1 right),left( x;y right)=left( -dfrac{4}{5};-dfrac{13}{5} right).$
3a) Xác định các giá trị của $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$ ($x$ là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=dfrac{1}{3}.$
Giải:
Điều kiện để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$ ($x$ là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt là:
$Delta ‘={{m}^{2}}+6m+9>0Leftrightarrow {{left( m+3 right)}^{2}}>0Leftrightarrow mne -3.$
Khi đó ${x^2} – 2mx – 6m – 9 = 0 Leftrightarrow {left( {x – m} right)^2} = {left( {m + 3} right)^2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – m = m + 3\
x – m = 3 – m
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2m + 3\
x = 3
end{array} right..$
Trường hợp 1: ${{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=2m+3,$ ta có:
$dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{3}+dfrac{1}{2left( 2m+3 right)}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{2left( 2m+3 right)}=0$, vô nghiệm.
Trường hợp 2: ${{x}_{1}}=2m+3,{{x}_{2}}=3,$ ta có:
$dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{2m+3}+dfrac{1}{6}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{2m+3}=dfrac{1}{6}Leftrightarrow m=dfrac{3}{2}.$
Vậy $m=dfrac{3}{2}.$
3b) Giải phương trình $sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}-sqrt[3]{6x-3}=sqrt[3]{2}.$
Giải:
Ta có $sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}-sqrt[3]{6x-3}=sqrt[3]{2}$
$Leftrightarrow sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-sqrt[3]{6x-3}=sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}+sqrt[3]{2}$
Đặt $a=sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1},b=sqrt[3]{6x-3},c=sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2},d=sqrt[3]{2}.$
Phương trình đã cho trở thành: $a-b=c+dLeftrightarrow {{left( a-b right)}^{3}}={{left( c+d right)}^{3}}$
$Leftrightarrow {{a}^{3}}-{{b}^{3}}-3ableft( a-b right)={{c}^{3}}+{{d}^{3}}+3ableft( c+d right)$ (2)
Mà ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}={{c}^{3}}+{{d}^{3}}=3{{x}^{2}}-7x+4$ và $a-b=c+d$ nên (2) trở thành:(3ableft( a-b right)+3cdleft( a-b right)=0Leftrightarrow left( a-b right)left( ab+cd right)=0Leftrightarrow left[ begin{align} & a=b \ & ab=-cd \ end{align} right.)
Trường hợp $a=b$, ta có ({{a}^{3}}={{b}^{3}}Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-x+1=6x-3Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-7x+4=0Leftrightarrow left[ begin{align} & x=1 \ & x=dfrac{4}{3} \ end{align} right.)
Trường hợp $ab=-cd$ , ta có ${{left( ab right)}^{3}}=-{{left( cd right)}^{3}}Leftrightarrow left( 3{{x}^{2}}-x+1 right)left( 6x-3 right)=-2left( 3{{x}^{2}}-7x+2 right)$ $Leftrightarrow 18{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}-5x+1=0$ $Leftrightarrow left( 6x-1 right)left( 3{{x}^{2}}-x-1 right)=0$ (Leftrightarrow left[ begin{align} & x=dfrac{1}{6} \ & x=dfrac{1pm sqrt{13}}{6} \ end{align} right.)
Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm: $x=dfrac{1}{6};x=1;x=dfrac{4}{3};x=dfrac{1pm sqrt{13}}{6}.$
