Câu 31: Đáp án C
Ta có $+lim frac{n{{left( n-2018 right)}^{2017}}}{n{{left( 2017 right)}^{2018}}}=lim frac{{{left( 1-frac{2018}{{{n}^{2017}}} right)}^{2017}}}{{{left( 1-frac{2017}{{{n}^{2018}}} right)}^{2018}}}=1$
$+lim left[ frac{-1}{n}left( sqrt{{{n}^{2}}+2020}-sqrt{4{{n}^{2}}+2017} right) right]=lim frac{-1}{n}left[ frac{3-3{{n}^{2}}}{sqrt{{{n}^{2}}+2020}+sqrt{4{{n}^{2}}+2017}} right]=1$
$+{{u}_{n}}=frac{1}{1.3}+frac{1}{3.5}+…+frac{1}{left( 2n+1 right)left( 2n+3 right)}=frac{1}{2}left( 1-frac{1}{3}+frac{1}{3}-frac{1}{5}…+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} right)=frac{n+1}{2n+3}Rightarrow lim frac{n+1}{2n+3}=frac{1}{2}$
$ + left{ begin{array}{l}
{u_1} = 2018\
{u_{n + 1}} = frac{1}{2}left( {{u_n} + 1} right),n ge 1
end{array} right. Rightarrow 2{u_{n + 1}} – 2 = {u_n} – 1 Leftrightarrow 2left( {{u_{n + 1}} – 1} right) = {u_n} – 1$
Đặt ${{v}_{n+1}}={{u}_{n+1}}-1Rightarrow 2{{v}_{n+1}}={{v}_{n}}Leftrightarrow {{v}_{n+1}}=frac{{{v}_{n}}}{2};{{v}_{1}}=2017Rightarrow {{v}_{n}}$là cấp số nhân với
$left{ begin{array}{l}
{v_1} = 2017\
q = frac{1}{2}
end{array} right. Rightarrow {v_n} = 2017.{left( {frac{1}{2}} right)^{n – 1}} Rightarrow {u_n} = 2017.{left( {frac{1}{2}} right)^{n – 1}} + 1 Rightarrow lim {u_n} = 1$
Câu 32: Đáp án A
Ta có $y = 3sin x + 4cos x – 1 = 5left( {frac{3}{5}sin x + frac{4}{5}cos x} right) – 1 = 5sin left( {x + alpha } right) – 1,left{ begin{array}{l}
sin alpha = frac{4}{5}\
cos alpha = frac{3}{5}
end{array} right.$
Có $-5le 5sin left( x+alpha right)le 5Leftrightarrow -6le 5sin left( x+alpha right)-1le 4Leftrightarrow -6le yle 4Rightarrow max y=4,min y=-6$
Câu 33: Đáp án C
Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm B, M , C (hình vẽ dưới)
Suy ra độ dài thanh sào là $L=BM+MC=frac{BH}{sin widehat{BHM}}+frac{CK}{sin widehat{CMK}}$
Đặt $widehat{BHM}=xRightarrow widehat{CMK}=90{}^circ -x$, do đó $L=frac{24}{sin x}+frac{3}{cos x}$
Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow {{L}_{min }}Leftrightarrow fleft( x right)=frac{24}{sin x}+frac{3}{cos x}min $
Ta có $f’left( x right)=frac{3sin x}{{{cos }^{2}}x}-frac{24cos x}{{{sin }^{2}}x}=0Leftrightarrow {{sin }^{3}}x=8{{cos }^{3}}xLeftrightarrow tan x=2$
$Rightarrow cos x=frac{1}{sqrt{1+{{tan }^{2}}x}}=frac{1}{sqrt{5}}Rightarrow sin x=sqrt{1-{{cos }^{2}}x}=frac{2}{sqrt{5}}$
Suy ra $underset{left( 0;frac{pi }{2} right)}{mathop{min }},fleft( x right)=15sqrt{5}$. Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là $15sqrt{5}$
Câu 34: Đáp án B
Các mệnh đề (III), (IV) đúng
Câu 35: Đáp án A
PT $left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{3} + k2pi \
x = – frac{pi }{3} + k2pi
end{array} right.left( {k in Z} right)$
$x in left[ { – 2pi ;2pi } right] Rightarrow left[ begin{array}{l}
– 2pi le frac{pi }{3} + k2pi le 2pi \
– 2pi le – frac{pi }{3} + k2pi le 2pi
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– frac{7}{6} le k le frac{5}{6}\
– frac{5}{6} le k le frac{7}{6}
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
k = – 1,0\
k = 0,1
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = – frac{{5pi }}{3},x = frac{pi }{3}\
x = – frac{pi }{3},x = frac{{5pi }}{3}
end{array} right.$
Câu 36: Đáp án D
Ta có $y’={{7}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+left( 9-3m right)x+1}}left( 3{{x}^{2}}+6x+9-3m right)ln 7$
Hàm số đồng biến trên
$left[ 0,1 right]Leftrightarrow y’ge 0,forall xin left[ 0,1 right]Rightarrow 3{{x}^{2}}+6x+9-3mge 0Leftrightarrow mle {{x}^{2}}+2x+3,xin left[ 0,1 right]left( 1 right)$
Xét hàm số $fleft( x right)={{x}^{2}}+2x+3,xin left[ 0,1 right]Rightarrow f’left( x right)=2x+2=0Leftrightarrow x=-1Rightarrow fleft( x right)$ đồng biến trên $left[ 0;1 right]$
Suy ra $underset{left[ 0;1 right]}{mathop{fleft( x right)}},ge fleft( 0 right)=3Rightarrow left( 1 right)Leftrightarrow mle 3Rightarrow $ có 3 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn đề bài
Câu 37: Đáp án B
Điều kiện : $cos xne 0$. Vì ${{e}^{sin left( x-frac{pi }{4} right)}}>0;forall xRightarrow tan x>0$
Ta có ${{e}^{sin left( x-frac{pi }{4} right)}}=tan xLeftrightarrow {{e}^{frac{1}{sqrt{2}}left( sin x-cos x right)}}=frac{sin x}{cos x}Leftrightarrow frac{{{e}^{frac{sin x}{sqrt{2}}}}}{sin x}=frac{{{e}^{frac{sin x}{sqrt{2}}}}}{cos x}Leftrightarrow fleft( sin x right)=fleft( cos x right)$
Vì $x>0$nên $sin x,cos x$cùng thuộc khoảng $left( -1;0 right)$và $left( 0;1 right)$
Xét hàm số $fleft( t right)=frac{{{e}^{frac{t}{sqrt{2}}}}}{t},$có $f’left( t right)=frac{{{e}^{frac{t}{sqrt{2}}}}left( tsqrt{2}-2 right)}{2{{t}^{2}}}<0$với mọi $tin left( -1;0 right)cup left( 0;1 right)$
Suy ra $fleft( t right)$là hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -1;0 right)$và $left( 0;1 right)$
Mà $fleft( sin x right)=fleft( cos x right)Rightarrow sin x=cos xLeftrightarrow sin left( x-frac{pi }{4} right)=0Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi left( kin mathbb{Z} right)$
Lai có $xin left[ 0;50pi right]$nên $0le frac{pi }{4}+kpi le 50pi Leftrightarrow -frac{1}{4}le kle frac{199}{4}xrightarrow{kin mathbb{Z}}k=left{ 0to 49 right}$
Vậy tổng cần tính là $T=50.frac{pi }{4}+pi left( 1+2+…+49 right)=50.frac{pi }{4}+1225pi =frac{2475pi }{2}$
Câu 38: Đáp án B
Khối đa diện đều loại $left{ 3;5 right}$có tất cả 20 mặt đều
Tổng diện tích tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $left{ 3;5 right}$ là $S=20.frac{1}{2}{{1}^{2}}sin 60{}^circ =5sqrt{3}$
Câu 39: Đáp án D
Khối tròn xoay thu được là khối nón cụt
Ta có $frac{AB}{CD}=frac{1}{2}Rightarrow OA=DA=3aRightarrow DO=6a$
$Rightarrow OK=sqrt{{{left( 6a right)}^{2}}-{{left( 2a right)}^{2}}}=4sqrt{2}a;OH=frac{OK}{2}=2asqrt{2}$
$AH=frac{DK}{2}=frac{2a}{2}=a$
Thể tích khối tròn xoay thu được là
$V=frac{1}{3}pi D{{K}^{2}}.OK-frac{1}{3}pi A{{H}^{2}}.OH$
$frac{1}{3}pi {{left( 2a right)}^{2}}.4sqrt{2}a-frac{1}{3}pi {{a}^{2}}.2asqrt{2}=frac{14sqrt{2}pi {{a}^{3}}}{3}$
Câu 40: Đáp án D
Ta có $y=3{{x}^{2}}+2x+m$. Hàm số có cực trị khi $Delta ‘=1-3m>0Leftrightarrow m<frac{1}{3}$
Do hàm số có $a=1>0Rightarrow {{x}_{CT}}>{{x}_{CD}}$
Giả thiết bài toán $Leftrightarrow PT:3{{x}^{2}}+2x+m=0$có ít nhất 1 nghiệm dương
Do $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = – frac{2}{3} < 0\
{x_1}{x_2} = frac{m}{3}
end{array} right. Rightarrow m < 0$ là giá trị cần tìm. Vậy $left( -5;6 right)cap S=left( -5;0 right)$
Câu 41: Đáp án D
Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó
Câu 42: Đáp án C
Gọi H là trung điểm của $MCRightarrow A’Hbot MCRightarrow A’Hbot left( ABC right)$
Tam giác $MA’C$ đều cạnh $2asqrt{3}Rightarrow MC=2asqrt{3}$và $A’H=3a$
Đặt $AB=xRightarrow AC=tan 30{}^circ .AB=frac{x}{sqrt{3}}$ và $BC=frac{2x}{sqrt{3}}$
Vì CM là đường trung tuyến của tam giác ABC
$Rightarrow C{{M}^{2}}=frac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-frac{A{{B}^{2}}}{4}=frac{7{{x}^{2}}}{12}=12{{a}^{2}}Rightarrow x=frac{12a}{sqrt{7}}$
Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}AB.AC=frac{24{{a}^{2}}sqrt{3}}{7}$
Vậy thể tích cần tìm là $V=A’H.{{S}_{Delta ABC}}=3a.frac{24{{a}^{2}}sqrt{3}}{7}=frac{72sqrt{3}{{a}^{3}}}{7}$
Câu 43: Đáp án A
Ta có $y={{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+1 right)to y’=frac{2x}{left( {{x}^{2}}+1 right)ln 2}$
Câu 44: Đáp án A
Tâm các mặt của hình lập phương tạo thành khối bát diện đều
Câu 45: Đáp án C
Gọi K là hình chiếu của H trên $ACRightarrow HKbot left( ABCD right)$
Ta có $oversetfrown{SC;left( ABCD right)}=oversetfrown{SC;AC}=oversetfrown{SCA}=60{}^circ Rightarrow sin oversetfrown{SCA}=frac{AH}{AC}Rightarrow AH=frac{asqrt{6}}{2}$
Và $CH=cos oversetfrown{SCA}times AC=frac{asqrt{2}}{2}$suy ra $HK=frac{AH.HC}{sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=frac{asqrt{6}}{4}$
Vậy thể tích khối chóp $H.ABCD$là $V=frac{1}{3}.HK.{{S}_{ABCD}}=frac{1}{3}.frac{asqrt{6}}{4}.frac{3{{a}^{2}}}{2}=frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{8}$
Câu 46: Đáp án A
Phương trình $4left| {{x}^{3}} right|-3{{x}^{2}}-6left| x right|={{m}^{2}}-6mLeftrightarrow {{left| x right|}^{3}}-frac{3}{4}{{left| x right|}^{2}}-frac{3}{2}left| x right|=frac{{{m}^{2}}-6m}{4}text{ }left( * right)$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=fleft( x right)={{x}^{3}}-frac{3}{4}{{x}^{2}}-frac{3}{2}xto $Đồ thị hàm số $y=fleft( left| x right| right)text{ }left( C right)$
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của $left( C right)$ và đường thẳng $y=frac{{{m}^{2}}-6m}{4}$
Vậy để (*) có 3 nghiệm phân biệt $ Leftrightarrow frac{{{m^2} – 6m}}{4} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 0\
m = 6
end{array} right.$
Câu 47: Đáp án C
Hàm số đã cho xác định $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {x – 2} right)^4} > 0\
9 – {x^2} > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne 2\
– 3 < x < 3
end{array} right.$. Vậy $D=left( -3;3 right)backslash left{ 2 right}$
Câu 48: Đáp án C
Gọi x, h (m) lần lượt là chiều trọng của đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật.
Thể tích bể nước là $V=h.3{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}h=2,018Rightarrow xh=frac{1009}{1500x}$$(Dethithpt.com)$
Diện tích đáy bể là ${{S}_{d}}=x.3x=3{{x}^{2}}to $ Chi phí làm đáy bể là ${{T}_{1}}=750{{x}^{2}}$nghìn đồng
Diện tích nắp bể là ${{S}_{d}}=x.3x=3{{x}^{2}}to $ Chi phí làm nắp bể là ${{T}_{2}}=300{{x}^{2}}$nghìn đồng
Diện tích thân bể là ${{S}_{xq}}=2xh+6xh=8xhto $ Chi phí làm bể là ${{T}_{3}}=1600xh$nghìn đồng
Vậy tổng chi phí cần tính là $T={{T}_{1}}+{{T}_{2}}+{{T}_{3}}=1600xh+1050{{x}^{2}}=frac{16144}{15x}+1050{{x}^{2}}$
Ta có $1050{{x}^{2}}+frac{8072}{15x}+frac{8072}{15x}ge 3sqrt[3]{1050{{x}^{2}}.frac{8072}{15x}.frac{8072}{15x}}approx 2017,333$
Do đó $Tge 2017,333$ nghìn đồng. Hay chi phí thấp nhất là 2.017.333 đồng.
Câu 49: Đáp án A
Điều kiện: $nge 6$. Ta có $A_{n}^{5}le 18A_{n-2}^{4}Leftrightarrow frac{n!}{left( n-5 right)!}le 18.frac{left( n-2 right)!}{left( n-6 right)!}Leftrightarrow frac{nleft( n-1 right)}{n-5}le 18$
$Leftrightarrow {{n}^{2}}-nle 18left( n-5 right)Leftrightarrow {{n}^{2}}-19n+90le 0Leftrightarrow 9le nle 10to n=10$
Với $n=10$, xét khai triển ${{left( 2x+frac{1}{sqrt[5]{x}} right)}^{10}}=sumlimits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{left( 2x right)}^{10-k}}.{{left( frac{1}{sqrt[5]{x}} right)}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{2}^{10-k}}.{{x}^{10-frac{6k}{5}}}$
Hệ số của ${{x}^{4}}$ ứng với $10-frac{6k}{5}=4Rightarrow k=5$. Vậy hệ số cần tìm là $C_{10}^{5}{{.2}^{5}}=8064$
Câu 50: Đáp án D
Phương trình hoành độ dao điểm của $left( C right)$và $left( d right)$là
$frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m – 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x pm – 1\
underbrace {{x^2} + left( {m – 2} right)x + m – 2}_{fleft( x right)}
end{array} right.$
Để $left( C right)$cắt $left( d right)$tại hai điểm phân biệt $Leftrightarrow fleft( x right)=0$có hai nghiệm phân biệt$x ne – 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m > 6\
m < 2
end{array} right.$
Gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ là giao điểm của $left( C right)$ và
$left( d right)Rightarrow AB=sqrt{2{{left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} right)}^{2}}}=sqrt{2{{left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
Theo hệ thức Viet, ta được $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2 – m\
{x_1}{x_2} = m – 2
end{array} right.$ mà $AB=2sqrt{3}Rightarrow {{left( 2-m right)}^{2}}-4left( m-2 right)=6Leftrightarrow m=4pm sqrt{10}$
