Câu 1: Đáp án C
Câu 2: Đáp án A
Áp dụng dấu hiệu số 2 về cực trị: $left{ begin{array}{l}
g’left( 0 right) = 0\
gleft( 0 right) > 0forall x in left( { – 1;2} right)
end{array} right.$
$Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu hàm số.
Câu 3: Đáp án C
Câu 4: Đáp án B
Mệnh đề 1 sai các mệnh đề còn lại đúng.
Câu 5: Đáp án B
Câu 6: Đáp án C
Câu 7: Đáp án B
$y’=4{{x}^{3}}-12x+8=4{{left( x-1 right)}^{2}}left( x+2 right)ge 0Leftrightarrow xge -2$.
Câu 8: Đáp án D
Câu 9: Đáp án C
Câu 10: Đáp án B
Câu 11: Đáp án D
Số cách xếp: $left. begin{array}{l}
BCDE{rm{ la{o} 4!}}\
{rm{A va{o} F la{o} 2!}}
end{array} right} Rightarrow sum { = 4!.2! = 48} $
Câu 12: Đáp án B
Câu 13: Đáp án A
Chú ý định ngĩa về cực trị (mang tính cục bộ) và Max, Min (mang tính toàn cục)
Câu 14: Đáp án B
Câu 15: Đáp án B
Câu 16: Đáp án D
Câu 17: Đáp án C
Câu 18: Đáp án D
Chú ý bằng điều kiện hàm hợp:
Đặt: $tanx=t;xin left( -dfrac{pi }{4};0 right)Rightarrow tin left( -1;0 right)$
(chú ý $tanxnearrow /xin left( -dfrac{pi }{4};0 right)$)
Bài toán trở thành: Tìm $m$ để: $fleft( t right)=dfrac{t-2}{t-m}nearrow /left( -1;0 right)$
$f’left( t right) = frac{{ – m + 2}}{{{{left( {t – m} right)}^2}}} to left{ begin{array}{l}
– m + 2 > 0\
t in left( { – 1;0} right)\
t ne m
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 2\
left[ begin{array}{l}
m le – 1\
m ge 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m le – 1\
0 le m < 2
end{array} right.$
Câu 19: Đáp án C
Câu 20: Đáp án B
Ta có: $A’D’bot left( CDD’C’ right)Rightarrow A’D’bot CK$
Kẻ $D’Hbot CKRightarrow dleft( A’D’;CK right)=D’H’$
Mà $D’H’=DH=sqrt{dfrac{D{{K}^{2}}.C{{D}^{2}}}{D{{K}^{2}}+C{{D}^{2}}}}=dfrac{2asqrt{5}}{5}$.
Câu 21: Đáp án D
Từ $1to 10$ có $5$ số lẻ, $5$ số chẵn.
Tích 2 số lẻ là một số lẻ do đó:
$Pleft( A right)=dfrac{C_{5}^{2}}{C_{10}^{2}}=dfrac{2}{9}$ .
Câu 22: Đáp án A
Ta có: $y=dfrac{3x+2018}{left| x right|+2}=dfrac{3x+2018}{sqrt{{{x}^{2}}}+2}$
Ta có $sqrt{{{x}^{2}}}+2>0forall xto $Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Mặt khác: $underset{xto +infty }{mathop{lim y}},=3$
$underset{xto -infty }{mathop{lim y}},=underset{xto -infty }{mathop{lim y}},dfrac{3+dfrac{2018}{x}}{-sqrt{dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}}+dfrac{2}{x}}=-3to $ Đồ thị hàm số hai tiệm cận ngang $y=pm 3$ .
Câu 23: Đáp án D
${{v}_{1}}=6-3t$. Xe A dừng hẳn $Leftrightarrow {{v}_{1}}=0Leftrightarrow 6-3t=0Leftrightarrow t=2$
$Rightarrow {{S}_{1}}=intlimits_{0}^{2}{left( 6-3t right)}dt=6$.
${{v}_{2}}=12-4t$. Xe B dừng hẳn $Leftrightarrow {{v}_{2}}=0Leftrightarrow 12-4t=0Leftrightarrow t=3$
$Rightarrow {{S}_{2}}=intlimits_{0}^{3}{left( 12-4t right)}dt=18$.
Khoảng cách giữa 2 xe là: $6+18=24$.
Câu 24: Đáp án D
Đặt: $z=x+yi$
$Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi=119-120i$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2} – {y^2} = 119\
2xy = – 120
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{left( { – frac{{60}}{y}} right)^2} – {y^2} = 119\
x = – frac{{60}}{y}
end{array} right.$
Câu 25: Đáp án D
Kẻ $MH//SO Rightarrow left{ begin{array}{l}
MH bot left( {BCD} right)\
MH = frac{1}{2}SO
end{array} right.$
$Rightarrow left( widehat{MN;left( ABCD right)} right)=widehat{MNH}={{30}^{0}}$
Xét đáy $ABCD$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
CH = frac{3}{4}CA = frac{{3sqrt 2 }}{4}\
CN = frac{1}{2}
end{array} right.$
Áp dụng định lý cosin:
$H{{N}^{2}}=C{{H}^{2}}+C{{N}^{2}}-2CH.CN.cos{{45}^{0}}=dfrac{1}{4}$
Xét $Delta MHNRightarrow MH=HN.tan {{30}^{0}}=dfrac{sqrt{30}}{12}Rightarrow SO=dfrac{sqrt{30}}{12}Rightarrow {{V}_{SABCD}}=dfrac{1}{2}SO.{{a}^{2}}=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{30}}{18}$.
Câu 26: Đáp án C
Câu 27: Đáp án A
Dễ thấy: $left( {{overrightarrow{n}}_{_{left( alpha right)}}}wedge {{overrightarrow{n}}_{_{left( Delta right)}}} right)=overrightarrow{{{n}_{beta }}}$
$left( {{overrightarrow{n}}_{_{beta }}}wedge {{overrightarrow{n}}_{_{left( alpha right)}}} right)={{overrightarrow{u}}_{_{left( Delta right)}}}$
$Rightarrow left( {{overrightarrow{n}}_{_{left( alpha right)}}}wedge {{u}_{_{left( Delta right)}}} right)wedge {{overrightarrow{n}}_{_{left( alpha right)}}}={{overrightarrow{u}}_{_{left( Delta right)}}}$
Câu 28: Đáp án A
Câu 29: Đáp án B
$y={{tan }^{3}}x-dfrac{1}{co{{s}^{2}}x}+2={{tan }^{3}}x-{{tan }^{2}}x+1,,left( xin left( 0;dfrac{pi }{2} right) right)$
Đặt $t=tanx,,left( tin left( 0;+infty right) right)$
$ Rightarrow fleft( t right) = {t^3} – {t^2} + 1 Rightarrow f’left( t right) = 3{t^2} – 2t = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 0\
t = frac{2}{3}
end{array} right.$
BBT
$Rightarrow underset{left( 0;frac{pi }{2} right)}{mathop{min }},y=frac{23}{27}=frac{a}{b}$
$Rightarrow a-b=-4$.
Câu 30: Đáp án D
Ta đánh số các đỉnh của đa giác từ $1to 15$, gọi 4 đỉnh của tứ giác là a, b, c, d (theo thứ tự).
Ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: $a=1$. Vì không thể là cạnh kề đa giác nên không thể có 2 cạnh kề nhau.
Nên: $left{ begin{array}{l}
3 le b < c < d le 14\
b + 1 < c\
c + 1 < d
end{array} right. Rightarrow 5 le b + 2 < c + 1 < d le 4 Rightarrow $ có: $C_{10}^{3}$ (cách chọn). (1)
Trường hợp 2: $a>1$. Tương tự: $left{ begin{array}{l}
1 < a < b < c < d le 15\
a + 1 < b\
b + 1 < c\
c + 1 < d
end{array} right. Rightarrow 4 < a + 3 < b + 2 < c + 1 < d le 15$
có: $Rightarrow C_{11}^{4}$ (cách chọn). (2)
Từ (1) và (2) ta có tổng số tứ giác thỏa mãn: $C_{10}^{3}+C_{11}^{4}=450$.
Tổng quát: Đa giác có $n$ đỉnh số tứ giác lập thành từ 4 đỉnh
Không có cạnh của đa giác là: $frac{n}{4}.C_{n-5}^{3}$.
Câu 31: Đáp án D
$intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{{{left( x+2 right)}^{2}}}}dx=frac{a}{b}.e+c$
Đặt $x+2=tRightarrow dx=dt$
$I=intlimits_{2}^{3}{frac{{{left( t-2 right)}^{2}}{{e}^{t-2}}}{{{t}^{2}}}}dt=frac{1}{{{e}^{2}}}intlimits_{2}^{3}{left( {{e}^{t}}-frac{4}{t}.{{e}^{t}}+frac{4}{{{t}^{2}}}.{{e}^{t}} right)}dt$
Xét $intlimits_{2}^{3}{{{e}^{t}}}dt=left. {{e}^{t}} right|_{2}^{3}={{e}^{3}}-{{e}^{2}}$
Xét $intlimits_{2}^{3}{frac{4}{{{t}^{2}}}{{e}^{t}}}dt$
Đặt $left{ begin{array}{l}
{e^t} = u\
frac{4}{{{t^2}}}dt = dv
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{e^t}dt = du\
frac{{ – 4}}{t} = v
end{array} right.$
$ Rightarrow left. {{e^t}.frac{{ – 4}}{t}} right|_2^3 + intlimits_2^3 {frac{4}{t}.{e^t}dt} $
$ Rightarrow I = frac{1}{{{e^2}}}left( {{e^3} – {e^2} – frac{4}{3}{e^3} + 2{e^2}} right) = – frac{1}{3}e + 1 Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = – 1\
b = 3\
c = 1
end{array} right.$
Cách khác
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = {x^2}{e^x} Rightarrow du = {e^x}({x^2} + 2x)dx\
dv = frac{1}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}dx Rightarrow v = – frac{1}{{x + 2}}
end{array} right.$
$Rightarrow I=left. -dfrac{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{x+2} right|_{0}^{1}+intlimits_{0}^{1}{dfrac{left( {{x}^{2}}+2x right){{e}^{x}}}{x+2}}dx$
$=-dfrac{e}{3}+intlimits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}$
$=-dfrac{e}{3}+left. left( -1 right){{e}^{x}} right|_{0}^{1}$
$=-dfrac{e}{3}+1$.
Câu 32: Đáp án A
Xét: $y=dfrac{mx}{{{x}^{2}}+1},/left[ -2;2 right]$
$y’=dfrac{-m{{x}^{2}}+m}{{{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{2}}}=0Rightarrow x=pm 1$
Xét: $left{ begin{array}{l}
fleft( { – 2} right) = frac{{ – 2m}}{5}\
fleft( 2 right) = frac{{2m}}{5}\
fleft( { – 1} right) = – frac{m}{2}\
fleft( 1 right) = frac{m}{2}
end{array} right.$ Để hàm số đạt $Min/left[ -2;2 right]Rightarrow m<0$.
Câu 33: Đáp án C
$y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1left( C right)$
$y=left( 3m-1 right)x-6m+1left( d right)$
Để thỏa mãn ycbt $Leftrightarrow uleft( 1;-1 right)in d$
$Leftrightarrow -1=left( 3m-1 right).1-6m+1$
$Leftrightarrow m=frac{1}{3}$.
Câu 34: Đáp án B
Đặt ${{2}^{{{x}^{2}}}}=tge 1Rightarrow fleft( t right)={{t}^{2}}-4t+6=m$
Xét: $f’left( t right)=2t-4=0Rightarrow t=2$. Ta có BBT:
$ Rightarrow ycbt Leftrightarrow 2 < m < 3 Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 2\
b = 3
end{array} right.$
Câu 35: Đáp án A
Ta có: $left| text{w} right|=2;,,z=x+yi$
Xét: $z=3w+1-2iLeftrightarrow z-1+2i=3wRightarrow left| z-1+2i right|=3left| text{w} right|=6$
$Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=36Rightarrow Ileft( 1;-2 right);,,R=6$.
Câu 36: Đáp án D
Mặt cắt thiết diện như sau:
Do đó bán kính mặt cầu = bán kính đường tròn nội tiếp $Delta SAB$.
Ta có: $left{ begin{array}{l}
h = 8\
B = 2R = 12
end{array} right.$
$Rightarrow r=dfrac{S}{P}=dfrac{8.6}{16}=3$
Do đó ${{R}_{cagrave{a}u}}=3$.
Câu 37: Đáp án B
Chùm mặt phẳng:
Xét: $left{ begin{array}{l}
left( alpha right):3x – 7y + z – 3 = 0\
left( beta right):x – 9y – 2z + 5 = 0
end{array} right.$
Chọn $y=0Rightarrow Aleft( dfrac{1}{7};0;dfrac{18}{7} right)$
Chọn $z=0Rightarrow Bleft( dfrac{31}{10};dfrac{9}{10};0 right)$
Mà $A,,B in left( P right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
m = – 5\
m = – 11
end{array} right. Rightarrow m + n = – 16$
