Bài 4.
a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm B $Rightarrow $AB$bot $ OB hay $widehat{ABO}={{90}^{0}}$
Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm C $Rightarrow $ AC$bot $ OC hay $widehat{ACO}={{90}^{0}}$.
Tứ giác ABOC có $widehat{ACO}=widehat{ABO}={{90}^{0}}$ nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.
b) Xét $Delta text{EMB}$và $Delta text{ECN}$ có:
$widehat{EMB}=widehat{ECN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB)
$widehat{EBM}=widehat{ENC}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
$Rightarrow Delta EMBbacksim Delta ECN(gg)$
$Rightarrow dfrac{EM}{EC}=dfrac{EB}{EN}Rightarrow EB.EC=EM.EN$.
Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) lần lượt tại các tiếp điểm B và C nên $widehat{AOB}=widehat{AOC}$ và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vì I là trung điểm MN $Rightarrow OIbot MN$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
$Rightarrow widehat{AIO}={{90}^{0}}$$Rightarrow $ I nằm trên đường tròn đường kính OA.
Xét đường tròn đường kính OA ta có:
$widehat{AIC}=widehat{AOC};widehat{AIB}=widehat{AOB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Mà $widehat{AOB}=widehat{AOC}$
$Rightarrow widehat{AIC}=widehat{AIB}$ hay IA là phân giác của $widehat{BIC}$.
c) Vì AB = AC và OB = OC nên AO là đường trung trực của BC $Rightarrow $ AO vuông góc với BC tại F.
Xét $Delta text{AOC}$vuông tại C, đường cao CF ta có $text{AF}.text{AO}=text{A}{{text{C}}^{text{2}}}$và$text{F}{{text{C}}^{text{2}}}=text{FA}.text{FO}$.
Xét $Delta text{ACM}$và $Delta text{ANC}$có: $widehat{ACM}=widehat{ANC}$ và $widehat{A}$ chung
$Rightarrow Delta ACMbacksim Delta ANC(gg)Rightarrow frac{AC}{AN}=frac{AM}{AC}Rightarrow A{{C}^{2}}=AM.AN$
$Rightarrow AF.AO=AM.ANRightarrow dfrac{AF}{AN}=frac{AM}{AO}$
Xét $Delta AMF$và $Delta AON$ có:
$widehat{A},,chung;dfrac{AF}{AN}=dfrac{AM}{AO}Rightarrow Delta AMFbacksim Delta AON(cgc)$
Xét $Delta text{FCM}$và $Delta text{FDB}$ có:
$widehat{FCM}=widehat{FDB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
$widehat{CFM}=widehat{DFB}$ (đối đỉnh)
$Rightarrow Delta FCMbacksim Delta FDBRightarrow frac{FM}{FB}=frac{FC}{FD}$
$Rightarrow FM.FD=FB.FC=F{{C}^{2}}$
$Rightarrow FM.FD=FA.FORightarrow frac{FM}{FO}=frac{FA}{FD}$
Xét $Delta FMA$và $Delta FOD$ có:
$widehat{MFA}=widehat{OFD}$ và $frac{FM}{FO}=frac{FA}{FD}$
$Rightarrow Delta FMADelta backsim FOD(cgc)Rightarrow widehat{FMA}=widehat{FOD}$
Mà $widehat{FMA}=widehat{FON}$
$Rightarrow widehat{FON}=widehat{FOD}$.
$Delta text{FON}$và $Delta text{FOD}$có: FO cạnh chung, $widehat{FON}=widehat{FOD}$, ON = OD
$Rightarrow Delta FON=Delta FOD(cgc)$$Rightarrow FN=FD$
Vì FN = FD và ON = OD $Rightarrow $ FO là đường trung trực của ND $Rightarrow $ FO$bot $ND mà $FObot BC$$Rightarrow $ ND//BC.
d) Xét $Delta AOC$ vuông tại C ta có:
$O{{A}^{2}}=A{{C}^{2}}+O{{C}^{2}}$
$Rightarrow A{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}-O{{C}^{2}}=4{{R}^{2}}-{{R}^{2}}=3{{R}^{2}}$
$Rightarrow AC=Rsqrt{3}$.
Xét $Delta AOC$ vuông tại C ta có: $sin widehat{CAO}=frac{OC}{OA}=frac{R}{2R}=frac{1}{2}$
$Rightarrow widehat{CAO}={{30}^{0}}Rightarrow widehat{CAB}={{60}^{0}}$
$Delta ABC$có AB = AC và $widehat{CAB}={{60}^{0}}$ $Rightarrow $$Delta ABC$ là tam giác đều.
$Rightarrow $ đường cao $h=ABfrac{sqrt{3}}{2}=frac{3R}{2}$
${{S}_{BCA}}=frac{1}{2}h.AB=frac{1}{2}cdot frac{3R}{2}cdot Rsqrt{3}=frac{3{{R}^{2}}sqrt{3}}{4}(dvdt)$
Bài 5.
a) Điều kiện: $xge 0$. Với $xge 0$ ta có:
$2sqrt{x}-sqrt{3x+1}=x-1$
$Leftrightarrow left( 2sqrt{x}-sqrt{3x+1} right)left( 2sqrt{x}+sqrt{3x+1} right)=left( x-1 right)left( 2sqrt{x}+sqrt{3x+1} right)$
$Leftrightarrow x-1=left( x-1 right)left( 2sqrt{x}+sqrt{3x+1} right)$
$Leftrightarrow x-1-left( x-1 right)left( 2sqrt{x}+sqrt{3x+1} right)=0$
$Leftrightarrow left( x-1 right)left( 1-2sqrt{x}-sqrt{3x+1} right)=0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 1 = 0\
1 – 2sqrt x – sqrt {3x + 1} = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
2sqrt x + sqrt {3x + 1} = 1{mkern 1mu} {mkern 1mu} (*)
end{array} right.$
Giải (*) $2sqrt{x}+sqrt{3x+1}=1,$.
Với $xge 0$ ta có: (left. begin{align} & 2sqrt{x}ge 0 \ & sqrt{3x+1}ge 1, \ end{align} right}Rightarrow 2sqrt{x}+sqrt{3x+1}ge 1)
Dấu ‘=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy (*) có nghiệm x = 0.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm {0; 1}.
b) Đặt $t=a+bRightarrow {{t}^{2}}={{left( a+b right)}^{2}}ge 4ab$
Ta có: $1=a+b+3able t+frac{3}{4}{{t}^{2}}Rightarrow 3{{t}^{2}}+4t-4ge 0$
$Rightarrow left( t+2 right)left( 3t-2 right)ge 0Rightarrow 3t-2ge 0Rightarrow tge frac{2}{3}$.
Ta có: ${{left( a-b right)}^{2}}ge 0Rightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}ge 0$
$Rightarrow 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}ge {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$
$Rightarrow 2left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)ge {{left( a+b right)}^{2}}ge dfrac{4}{9}Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge dfrac{2}{9}$
Dễ dàng chứng minh $sqrt{A}+sqrt{B}le sqrt{2left( A+B right)}$
$Rightarrow sqrt{1-{{a}^{2}}}+sqrt{1-{{b}^{2}}}le sqrt{2left( 2-{{a}^{2}}-{{b}^{2}} right)}$.
$Rightarrow sqrt{1-{{a}^{2}}}+sqrt{1-{{b}^{2}}}le sqrt{2left( 2-dfrac{2}{9} right)}=dfrac{4sqrt{2}}{2}$ (1)
Tacó: $dfrac{3ab}{a+b}=dfrac{a+b+3ab}{a+b}-1=dfrac{1}{a+b}-1le frac{3}{2}-1=frac{1}{2}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $P=sqrt{1-{{a}^{2}}}+sqrt{1-{{b}^{2}}}+dfrac{3ab}{a+b}le frac{4sqrt{3}}{3}+dfrac{1}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=dfrac{1}{3}$.
Vậy giá trị lớn nhất của P là $dfrac{4sqrt{3}}{3}+dfrac{1}{2}$ đạt được khi $a=b=dfrac{1}{3}$.
