Câu IV.1:
Ta có $widehat{MAI}=widehat{MEI}={{90}^{0}}$. Suy ra $widehat{MAI}+widehat{MEI}={{180}^{0}}$. Vậy AMEI nội tiếp.
Câu IV.2:
Ta có $widehat{EAI}=widehat{EBN}$(cùng phụ với $widehat{EBA}$)
mà $widehat{AEI}=widehat{BEN}$(cùng phụ với $widehat{IEB}$). Suy ra $Delta IAEsim Delta NBE$.
$Rightarrow dfrac{IA}{IE}=dfrac{NB}{NE}Rightarrow IA.NE=IE.NB$ $Rightarrow dfrac{IB}{3}.NE=IE.NB$$Rightarrow IB.NE=3IE.NB$(đpcm).
Câu IV.3:
Do tứ giác AMEI nội tiếp nên $widehat{AMI}=widehat{AEI}$ (1).
Tương tự ta có tứ giác $BNEI$ nên $widehat{BIN}=widehat{BEN}$ (2).
Theo trên ta có $widehat{AEI}=widehat{BEN}$ (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra $widehat{AMI}=widehat{BIN}$ (4).
Do tam giác $AMI$ và $BIN$ vuông tại $A$ và $B$, suy ra $Delta AMIsim Delta BIN$.
Suy ra: $dfrac{AM}{BI}=dfrac{AI}{BN}Rightarrow AM.BN=AI.BI$ không đổi.
Từ (4) ta có: $widehat{BIN}+widehat{AIM}=widehat{AMI}+widehat{AIM}={{90}^{0}}$$Rightarrow widehat{MIN}={{90}^{0}}$ hay $Delta MNI$ vuông tại $I$. Khi đó: ${{S}_{Delta MNI}}=dfrac{1}{2}IM.IN=dfrac{1}{2}sqrt{A{{M}^{2}}+A{{I}^{2}}}.sqrt{B{{N}^{2}}+B{{I}^{2}}}$
$ge dfrac{1}{2}sqrt{2AM.AI}.sqrt{2BN.BI}=sqrt{AM.BN.AI.BI}=AI.BI=dfrac{R}{2}.dfrac{3R}{2}=frac{3{{R}^{2}}}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi $AM=AI,BN=BI$. Vậy ${{S}_{Delta MNI}}$ đạt GTNN bằng $dfrac{3{{R}^{2}}}{4}$
Câu V.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: (left{ begin{align} & 1=a+b+cge 3sqrt[3]{abc}>0 \ & ab+bc+cage 3sqrt[3]{{{left( abc right)}^{2}}}>0 \ end{align} right.Rightarrow ab+bc+cage 9abc>0Rightarrow dfrac{1}{abc}ge frac{9}{ab+bc+ca})
Khi đó: $dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{1}{abc}ge dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{9}{ab+bc+ca}=$$=dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{1}{ab+bc+ca}+dfrac{1}{ab+bc+ca}+dfrac{7}{ab+bc+ca} ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 right)$
Áp dụng bất đẳng thức $dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}ge dfrac{9}{x+y+z}$ với mọi $x,y,z>0$ ta được $dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{1}{ab+bc+ca}+dfrac{1}{ab+bc+ca}ge dfrac{9}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2left( ab+bc+ca right)}$$=dfrac{9}{{{left( a+b+c right)}^{2}}}=9 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 right)$
Lại có $1={{left( a+b+c right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2left( ab+bc+ca right)ge 3left( ab+bc+ca right) ,,,,left( 3 right)$
Thay $left( 2 right),left( 3 right)$ vào $left( 1 right)$ ta được $frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+frac{1}{abc}ge 9+7.3=30$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=frac{1}{3}$.
———— Hết ————
