Câu 30: Chọn B.
Điều kiện $cos xne 0Leftrightarrow xne frac{pi }{2}+kpi $, $kin mathbb{Z}$.
Do ${{sin }^{2}}x+1>0,forall xin mathbb{R}$ nên phương trình đã cho tương đương với $sqrt{3}tan x+1=0Leftrightarrow tan x=-frac{1}{sqrt{3}}Leftrightarrow tan x=tan left( -frac{pi }{6} right)Leftrightarrow x=-frac{pi }{6}+kpi $, $kin mathbb{Z}$ (nhận).
Câu 31: Chọn D.
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
{rm{d}}v = f’left( {2x} right){rm{d}}x
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{rm{d}}u = {rm{d}}x\
v = frac{1}{2}fleft( {2x} right)
end{array} right.$.
Khi đó, $I=left. x.frac{1}{2}fleft( 2x right) right|_{0}^{1}-frac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)text{d}x}=frac{1}{2}fleft( 2 right)-frac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)text{d}x}=8-frac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)text{d}x}$.
Đặt $t=2xRightarrow text{d}t=2text{d}x$.
Với $x=0Rightarrow t=0$; $x=1Rightarrow t=2$.
Suy ra $I=8-frac{1}{4}intlimits_{0}^{2}{fleft( t right)text{d}t}=8-1=7$.
Câu 32: Chọn D.
Ta có $m=fleft( x right)+1Leftrightarrow fleft( x right)=m-1$ $left( 1 right)$.
Số nghiệm của phương trình $left( 1 right)$ chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ và đường thẳng $y=m-1$.
Với $m<2Leftrightarrow m-1<1$: Khi đó đường thẳng $y=m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ tại $2$ điểm phân biệt. Do đó phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt.
Câu 33: Chọn C.
Thời gian từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn là: $-2t+20=0$$Leftrightarrow t=10text{ }left( text{s} right)$.
Quãng đường ôto đi được trong $15$ giây cuối cùng là:
$s=20.5+intlimits_{0}^{10}{left( -2t+20 right)text{d}t}=100+left. left( -{{t}^{2}}+20t right) right|_{0}^{10}=100+left( -100+200 right)=200text{ }left( text{m} right)$.
Câu 34: Chọn B.
Thể tích khối chóp: $V=frac{1}{3}{{S}_{Delta OAB}}OC$$=frac{1}{3}left( frac{1}{2}OA.OB right)OC$$=6$.
Câu 35: Chọn B.
Ta có $cos 3x-cos 2x+9sin x-4=0$
$Leftrightarrow 4{{cos }^{3}}x-3cos x+2{{sin }^{2}}x+9sin x-5=0$
$Leftrightarrow cos xleft( 1-4{{sin }^{2}}x right)+left( 2sin x-1 right)left( sin x+5 right)=0$
$Leftrightarrow left( 2sin x-1 right)left( -cos x-2sin xcos x+sin x+5 right)=0$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{2sin x – 1 = 0}&{left( 1 right)}\
{sin x – cos x – 2sin xcos x + 5 = 0}&{left( 2 right)}
end{array}} right.$
Giải $left( 1 right)$, ta có $left( 1 right) Leftrightarrow sin x = frac{1}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{6} + k2pi \
x = frac{{5pi }}{6} + k2pi
end{array} right.$.
Với $xin left( 0;3pi right)$ nên $left( 1 right)$ có các nghiệm thoả bài toán là: $x=frac{pi }{6}$, $x=frac{13pi }{6}$, $x=frac{5pi }{6}$, $x=frac{17pi }{6}$.
Giải $left( 2 right)$, đặt $t=sin x-cos x=sqrt{2}sin left( x-frac{pi }{4} right)$ với $left| t right|le sqrt{2}$.
Khi đó ${{t}^{2}}=1-2sin xcos xRightarrow 2sin xcos x=1-{{t}^{2}}$;
Phương trình $left( 2 right)$ trở thành $t-1+{{t}^{2}}+5=0Leftrightarrow {{t}^{2}}+t+4=0$ phương trình vô nghiệm.
Vậy tổng các nghiệm là: $frac{pi }{6}+frac{13pi }{6}+frac{5pi }{6}+frac{17pi }{6}=6pi $.
Câu 36: Chọn B.
Ta có $left( IBC right)cap left( ABCD right)=BC$; $left( IBC right)cap left( SAB right)=IB$
Tìm $left( IBC right)cap left( SAD right)$.
Ta có: $left{ begin{array}{l}
I in left( {IBC} right) cap left( {SAD} right)\
BC in left( {IBC} right)\
AD in left( {SAD} right)\
BC;{rm{//}};AD
end{array} right.$$Rightarrow left( IBC right)cap left( SAD right)=Ix text{//} AD text{//} BC$
Xét $left( SAD right)$: Gọi $J=Ixcap SD$, mà $IA=IS,Ix text{//} ADRightarrow JS=JD$
$Rightarrow left( IBC right)cap left( SAD right)=IJRightarrow left( IBC right)cap left( SDC right)=JC$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $IJBC$.
Câu 37: Chọn D.
Đặt $frac{SP}{SC}=xleft( 0<xle 1 right)$ . Ta có $frac{SM}{SA}+frac{SP}{SC}=frac{SN}{SB}+frac{SQ}{SD}Rightarrow frac{SQ}{SC}=frac{1}{2}+x-frac{2}{3}=x-frac{1}{6}left( x>frac{1}{6} right)$ .
Mặt khác $ABCD$ là hình bình hành nên có ${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{S.ACD}}$
$frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{SM}{SA}.frac{SN}{SB}.frac{SP}{SC}=frac{1}{3}x$; $frac{{{V}_{S.MPQ}}}{{{V}_{S.ACD}}}=frac{SM}{SA}.frac{SP}{SC}.frac{SQ}{SD}=frac{1}{2}xleft( x-frac{1}{6} right)$.
Suy ra $frac{{{V}_{S.MNPQ}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=frac{{{V}_{S.MNP}}}{2{{V}_{S.ABC}}}+frac{{{V}_{S.MPQ}}}{2{{V}_{S.ACD}}}=frac{1}{6}x+frac{1}{4}xleft( x-frac{1}{6} right)=frac{1}{4}{{x}^{2}}+frac{1}{8}x$.
Xét $fleft( x right)=frac{1}{4}{{x}^{2}}+frac{1}{8}x$ với $frac{1}{6}<xle 1$; ${f}’left( x right)=frac{1}{2}x+frac{1}{8}=0Leftrightarrow x=-frac{1}{4}notin left( frac{1}{6};1 right]$
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta có $mathop {max }limits_{left( {frac{1}{6};1} right]} {mkern 1mu} fleft( x right) = frac{3}{8}$. Vậy $frac{{{V}_{S.MNPQ}}}{{{V}_{S.ABCD}}}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $frac{3}{8}$.
Câu 38: Chọn B.
Ta có $V=frac{1}{3}{{S}_{}}.h=frac{1}{3}3{{a}^{2}}.2a=2{{a}^{3}}$.
Câu 39: Chọn D.
Ta có ${{S}_{}}=frac{1}{2}AC.BD={{a}^{2}}$; $V={{S}_{}}.A{A}’={{a}^{2}}.4a=4{{a}^{3}}$.
Câu 40: Chọn B.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có $left{ begin{array}{l}
BD bot AC\
BD bot SA
end{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAC} right)$, $BDsubset left( SBD right)Rightarrow left( SBD right)bot left( SAC right)$ và $left( SAC right)cap left( SBD right)=SO$
Trong mặt phẳng $left( SAC right)$, kẻ $AHbot SO$ thì $AHbot left( SBD right)Rightarrow AH=dleft( A,,left( SBD right) right)$ .
Mặt khác
Tam giác $SAO$ vuông tại $A$ có $OA=frac{1}{2}AC=frac{a}{sqrt{2}}$, $SA=a$ và $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{O{{A}^{2}}}$
$Leftrightarrow frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{2}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{a}^{2}}}=frac{3}{{{a}^{2}}}Rightarrow AH=frac{a}{sqrt{3}}$
Vậy $dleft( A,,left( SBD right) right)=frac{a}{sqrt{3}}$.
Câu 41: Chọn D.
Tại ${{x}_{0}}=2$, ta có:
¦ $fleft( 2 right)=a-frac{1}{4}$
¦ $underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},left( a+frac{1-x}{2+x} right)=a-frac{1}{4}$.
¦ $underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{left| 2{{x}^{2}}-7x+6 right|}{x-2}=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{left| left( x-2 right)left( 2x-3 right) right|}{x-2}$
$=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{-left( x-2 right)left( 2x-3 right)}{x-2}=-underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},left( 2x-3 right)=-1$.
Để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2$ thì $fleft( 2 right)=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},fleft( x right)$
$Leftrightarrow a-frac{1}{4}=-1Leftrightarrow a=-frac{3}{4}$ .
Với $a=-frac{3}{4}$, xét bất phương trình $-{{x}^{2}}-frac{3}{4}x+frac{7}{4}>0Leftrightarrow -frac{7}{4}<x<1$
Mà $xin mathbb{Z}$ nên $xin left{ -1;,0 right}$.
Vậy bất phương trình đã cho có $2$ nghiệm nguyên.
Câu 42: Chọn A
Gọi $N$ là trung điểm của $AC$ và $a$ là độ dài cạnh tứ diện đều.
Ta có $MN,text{//},ABRightarrow left( AB,,DM right)=left( MN,,DM right)=widehat{DMN}$ .
Tam giác $DMN$ có $DM=DN=frac{asqrt{3}}{2},MN=frac{1}{2}AB=frac{a}{2}$, và $cos widehat{DMN}=frac{D{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-D{{N}^{2}}}{2.DM.MN}$.
$Leftrightarrow cos widehat{DMN}=frac{{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}}{2.frac{asqrt{3}}{2}.frac{a}{2}}=frac{sqrt{3}}{6}$.
Vậy $cos left( AB,,DM right)=frac{sqrt{3}}{6}$.
Câu 43: Chọn A.
Ta có: Hàm số $y={{a}^{x}}$ nghịch biến trên $mathbb{R}Rightarrow 0<a<1$.
Các hàm số $y={{b}^{x}}$ và $y={{c}^{x}}$ đồng biến trên $mathbb{R}$ nên $b$, $c>1$.
Ta lại có $forall x>0$ thì ${{b}^{x}}>{{c}^{x}}Rightarrow b>c$.
Vậy $a<c<b$.
Câu 44: Chọn C.
Ta có: ${f}’left( x right)=left( 2x+1 right).{{f}^{2}}left( x right)Leftrightarrow frac{{f}’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}=2x+1Leftrightarrow int{frac{{f}’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}text{d}x}=int{left( 2x+1 right)text{d}x}$
$Leftrightarrow -frac{1}{fleft( x right)}={{x}^{2}}+x+CRightarrow frac{1}{fleft( x right)}=-{{x}^{2}}-x-C$.
Lại có: $fleft( 1 right)=-0,5Rightarrow -2=-{{1}^{2}}-1-CRightarrow C=0$.
Vậy $frac{1}{fleft( x right)}=-left( {{x}^{2}}+x right)=-xleft( x+1 right)$ hay $-fleft( x right)=frac{1}{xleft( x+1 right)}$ .
Ta có: $-fleft( 1 right)-fleft( 2 right)-fleft( 3 right)-…-fleft( 2017 right)=frac{1}{1.2}+frac{1}{2.3}+frac{1}{3.4}+…+frac{1}{2017.2018}$
$=1-frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+…+frac{1}{2017}-frac{1}{2018}=1-frac{1}{2018}=frac{2017}{2018}$.
Vậy $fleft( 1 right)+fleft( 2 right)+fleft( 3 right)+…+fleft( 2017 right)=frac{-2017}{2018}$ hay $a=-2017,b=2018Rightarrow b-a=4035$
Câu 45: Chọn B.
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật, có độ dài một cạnh là $2a$, có diện tích là $8{{a}^{2}}$, suy ra chiều cao của hình trụ là $h=frac{8{{a}^{2}}}{2a}=4a$.
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: ${{S}_{xq}}=2pi rh$$=2.pi .a.4a$$=8pi {{a}^{2}}$.
Câu 46: Chọn A.
$SO=sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=4$; $V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{.3}^{2}}.4=12pi $ $left( text{c}{{text{m}}^{3}} right)$.
Câu 47: Chọn D.
Kẻ đường kính $AD$ của đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$ nên $widehat{ABD}=widehat{ACD}=90{}^circ $.
Ta có $left{ begin{array}{l}
BD bot BA\
BD bot SA
end{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAB} right)$ hay $BDbot AM$ và $AMbot SB$ hay $AMbot left( SBD right)Rightarrow AMbot SD$. Chứng minh tương tự ta được $ANbot SD$. Suy ra $SDbot left( AMN right)$, mà $SAbot left( ABC right)Rightarrow left( left( ABC right),left( AMN right) right)=left( SA,SD right)=widehat{DSA}$ .
Ta có $BC=2Rsin A=AD.frac{sqrt{3}}{2}Rightarrow SA=2BC=ADsqrt{3}$.
Vậy $tan widehat{ASD}=frac{AD}{SA}=frac{1}{sqrt{3}}Rightarrow widehat{ASD}=30{}^circ $.
Câu 48: Chọn C.
${y}’=frac{1}{{{left( x+2 right)}^{2}}}$; gọi điểm $Mleft( {{x}_{0}};frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}+2} right)in left( C right)$.
Phương trình tiếp tuyến: $y=frac{1}{{{left( {{x}_{0}}+2 right)}^{2}}}left( x-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}+2}$.
Ta có tiệm cận đứng: ${{d}_{1}}:x=-2$ và tiệm cận ngang: ${{d}_{2}}:y=1$.
$A=left( T right)cap {{d}_{1}}$ nên tọa độ điểm $A$là nghiệm của hệ:
$left{ begin{array}{l}
y = frac{1}{{{{left( {{x_0} + 2} right)}^2}}}left( {x – {x_0}} right) + frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} + 2}}\
x = – 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = – 2\
y = frac{1}{{{{left( {{x_0} + 2} right)}^2}}}left( { – 2 – {x_0}} right) + frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} + 2}} = frac{{{x_0}}}{{{x_0} + 2}}
end{array} right.$
$B=left( T right)cap {{d}_{2}}$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ:
$left{ begin{array}{l}
y = frac{1}{{{{left( {{x_0} + 2} right)}^2}}}left( {x – {x_0}} right) + frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} + 2}}\
y = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2{x_0} + 2\
y = 1
end{array} right.$
$AB=sqrt{{{left( 2{{x}_{0}}+4 right)}^{2}}+{{left( frac{2}{2+{{x}_{0}}} right)}^{2}}}$; $A{{B}^{2}}=4{{left( 2+{{x}_{0}} right)}^{2}}+frac{4}{{{left( 2+{{x}_{0}} right)}^{2}}}ge 2sqrt{16}=8$.
$AB$ min bằng $8$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = – 1\
{x_0} = – 3
end{array} right.$. Vì ${{y}_{0}}>0Rightarrow {{x}_{0}}=-3$.
Suy ra $Aleft( -2; 3 right)$, $Bleft( -4; 1 right)$ nên ta có phương trình $AB$: $y=left( x+3 right)+2Leftrightarrow y=x+5$.
$M=ABcap Ox$ nên tọa độ điểm $M$là nghiệm của hệ:
$left{ begin{array}{l}
y = x + 5\
y = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = – 5\
y = 0
end{array} right.{rm{ }} Rightarrow Mleft( { – 5; 0} right)$.
$N=ABcap Oy$ nên tọa độ điểm $N$là nghiệm của hệ:
$left{ begin{array}{l}
y = x + 5\
x = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 0\
y = 5
end{array} right. Rightarrow Nleft( {0; 5} right)$ .
Vậy ${{S}_{Delta OMN}}=frac{1}{2}.5.5=12,5$.
Câu 49: Chọn B.
Tập xác định $D=mathbb{R}backslash left{ -1 right}$. Đạo hàm: ${y}’=-frac{1}{{{left( x+1 right)}^{2}}}$.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y={y}’left( 0 right).x+yleft( 0 right)Leftrightarrow y=-x+2$.
Câu 50: Chọn D.
Các phương trình hoành độ giao điểm:
* $sqrt {4 – {x^2}} = x Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 0\
4 – {x^2} = {x^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 0\
x = sqrt 2 ,.
end{array} right.$
* $sqrt{4-{{x}^{2}}}=2Leftrightarrow x=0$
* $x=2$.
Diện tích cần tính là: $S=intlimits_{0}^{sqrt{2}}{left( 2-sqrt{4-{{x}^{2}}} right)text{d}x}+intlimits_{sqrt{2}}^{2}{left( 2-x right)text{d}x}=intlimits_{0}^{sqrt{2}}{2text{d}x}+intlimits_{sqrt{2}}^{2}{left( 2-x right)text{d}x}-intlimits_{0}^{sqrt{2}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}text{d}x}$
$=left. left( 2x right), right|_{,0}^{,sqrt{2}}+left. left( 2x-frac{{{x}^{2}}}{2} right), right|_{,sqrt{2}}^{,2}-intlimits_{0}^{sqrt{2}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}text{d}x}=2sqrt{2}+3-2sqrt{2}-intlimits_{0}^{sqrt{2}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}text{d}x}=3-intlimits_{0}^{sqrt{2}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}text{d}x}$.
Đặt $x=2sin tRightarrow text{d}x=2cos ttext{d}t$ . Đổi cận: $x=0Rightarrow t=0;x=sqrt{2}Rightarrow t=frac{pi }{4}$
Ta có $intlimits_{0}^{sqrt{2}}{sqrt{4-{{x}^{2}}}text{d}x}=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{sqrt{4-4{{sin }^{2}}t}.2cos ttext{d}x}=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{4{{cos }^{2}}ttext{d}x}=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{2left( 1+cos 2t right)text{d}x}$
$=left. 2left( t+frac{1}{2}sin 2t right), right|_{,0}^{,frac{pi }{4}}=2left( frac{pi }{4}+frac{1}{2} right)=frac{pi }{2}+1$.
Vậy $S=3-frac{pi }{2}-1=2-frac{1}{2}.pi $.
Theo kí hiệu của bài toán ta suy ra $a=2,b=-frac{1}{2}$ . Do đó mệnh đề đúng là ${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}ge 5$.
Ta có ${{S}_{}}=frac{1}{2}AC.BD={{a}^{2}}$; $V={{S}_{}}.A{A}’={{a}^{2}}.4a=4{{a}^{3}}$.
