Lời giải đề 14-trang 2

4

0.5

1) Ta có: $widehat{AEH}={{90}^{0}}$

0.25

và $widehat{ADH}={{90}^{0}}$

0.25

$Rightarrow widehat{AEH}+widehat{ADH}={{180}^{0}}$nên tứ giác ADHE nội tiếp.

0.25

2) Tam giác ADB vuông tại D, có $widehat{A}={{45}^{0}}$ nên $widehat{ABD}={{45}^{0}}$

0.25

Tam giác EBH vuông tại E, có $widehat{EBH}={{45}^{0}}$ nên $Delta EBH$vuông cân tại E.

0.25

Suy ra: EB = EH

0.25

3) Tứ giác BEDC có E, D cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên nội tiếp. Suy ra: $widehat{EDB}=widehat{ECB}$$Rightarrow widehat{ADE}=widehat{ABC}$ (cùng phụ với góc vuông).

0.25

Suy ra: $Delta ADEsim Delta ABC$

0.25

nên $dfrac{DE}{BC}=dfrac{AD}{AB}$

0.25

Mà tam giác ABD vuông cân tại D nên: $frac{DE}{BC}=frac{AD}{AB}=frac{sqrt{2}}{2}$

0.25

4) Kẻ tiếp tuyến xAy tại A của đường tròn tâm I, ngoại tiếp $Delta ABC$ Khi đó: $widehat{xAB}=widehat{ACB}$(góc giữa tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp của (I) cùng chắn cung AB)

0.25

Mà $widehat{AED}=widehat{ACB}$(do $Delta ADEsim Delta ABC$) nên $widehat{xAB}=widehat{AED}$

0.25

5

Suy ra: xAy//ED; mà  $AIbot xAy$ $ntext{ }!!hat{mathrm{e}}!!text{ }n:AIbot ED$

0.25

Ta có: ${{left( dfrac{1}{a}+frac{1}{b}+dfrac{1}{c} right)}^{2}}=dfrac{1}{{{a}^{2}}}+dfrac{1}{{{b}^{2}}}+dfrac{1}{{{c}^{2}}}-2left( dfrac{1}{ab}+frac{1}{bc}+dfrac{1}{ac} right)=dfrac{1}{{{a}^{2}}}+dfrac{1}{{{b}^{2}}}+dfrac{1}{{{c}^{2}}}-2left( dfrac{a+b+c}{abc} right)$

0.25

Với $a+b+c=0$thì ${{left( dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c} right)}^{2}}=dfrac{1}{{{a}^{2}}}+dfrac{1}{{{b}^{2}}}+dfrac{1}{{{c}^{2}}}$

0.25

Do đó:(begin{align}   & sqrt{1+dfrac{1}{{{1}^{2}}}+dfrac{1}{{{2}^{2}}}}+sqrt{1+dfrac{1}{{{2}^{2}}}+dfrac{1}{{{3}^{2}}}}+sqrt{1+dfrac{1}{{{3}^{2}}}+dfrac{1}{{{4}^{2}}}}+sqrt{1+dfrac{1}{{{4}^{2}}}+dfrac{1}{{{5}^{2}}}}+…sqrt{1+dfrac{1}{{{n}^{2}}}+dfrac{1}{{{left( n+1 right)}^{2}}}} \  & =left( 1+dfrac{1}{1}-dfrac{1}{2} right)+left( 1+dfrac{1}{2}-frac{1}{3} right)+left( 1+frac{1}{3}-frac{1}{4} right)+left( 1+dfrac{1}{4}-dfrac{1}{5} right)+…left( 1+frac{1}{n}-dfrac{1}{n+1} right) \  & =n+1-dfrac{1}{n+1} \ end{align})

0.25

Theo BĐT Cauchy suy ra:$Q=n+1+dfrac{100}{n+1}ge 20$

${{P}_{min }}=20$, xảy ra khi và chỉ khi $ntext{ }=text{ 9}$

0.25