Lời giải đề 13-trang 2

Bài 4

(4,0đ)

Cho đường tròn $left( O;R right)$ và dây cung $AB$ không đi qua $O$. Từ điểm $M$nằm trên tia đối của tia $BA$($M$ không trùng với $B$), kẻ hai tiếp tuyến $MC,text{ }MD$ với đường tròn $left( O;R right)$($C,text{ }D$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$.

1.       Chứng minh các điểm $M,text{ }D,text{ }H,text{ O}$ cùng thuộc một đường tròn.

1,5

Vì H là trung điểm của AB nên $OHbot ABRightarrow widehat{OHM}={{90}^{0}}$(5)

0,75

Lại có $ODbot MD$(tính chất tiếp tuyến )$widehat{ODM}={{90}^{0}}$(6)

Từ (5) và (6), suy ra 4 điểm M, D, H, O cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

0,75

      b) Đoạn thẳng $OM$cắt đường tròn $left( O;R right)$ tại điểm $I$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MCD$.

1,5

Vì (left{ begin{align}
  & MC=MD \
 & OC=OD \
end{align} right.Rightarrow OM) là đường phân giác của (widehat{CMD})và (widehat{COD}).

0,5

Do OM cắt $left( O;R right)$ tại I nên I là trung điểm cung nhỏ $oversetfrown{CD}$(7)

0,5

Lại có $widehat{ICD}=dfrac{1}{2}$sđ$oversetfrown{DI}$; $widehat{MCI}=dfrac{1}{2}$sđ$oversetfrown{CI}$ (8)

Từ(7) và (8) suy ra IC là đường phân giác của $widehat{MCD}$

0,25

 Tam giác MCD có I là giao điểm của hai đường phân giác trong nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

0,25

        c) Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OM$cắt các tia $MC,text{ }MD$ lần lượt tại $E$ và $F$. Xác định hình dạng của tứ giác $MCOD$ để diện tích tam giác $MEF$ nhỏ nhất khi $M$di động  trên tia đối của tia $BA$.

1,0

Vì CD // EF ( cùng vuông góc với OM) nên tam giác MCD đồng dạng với tam giác MEF. Mà $Delta MCD$ cân tại M $Rightarrow Delta MEF$ cân tại M.

0,25

${{S}_{Delta MEF}}=2{{S}_{Delta OMF}}=OD.MF$

Mà $OD=R$ (không đổi) nên ${{S}_{Delta MEF}}$ nhỏ nhất khi MF nhỏ nhất.

0,25

Ta có $MF=MD+DFge 2sqrt{MD.DF}=2OD=2R$, Dấu đẳng thức xảy ra khi $MD=DF$$Rightarrow Delta MOF$ vuông cân tại O$Rightarrow OM=ODsqrt{2}=Rsqrt{2}$

 Khi đó ${{S}_{Delta MEF}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2{{R}^{2}}$  

0,25

Khi đó tứ giác $MCOD$là hình vuông cạnh bằng$R$.

0,25