Câu 1.Ta có $underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{-2x+2019}{left| x right|-2018}=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{-2x+2019}{x-2018}=-2$ nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng$y=-2$.
Lại có $underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{-2x+2019}{left| x right|-2018}=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{-2x+2019}{-x-2018}=2$ nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là $y=pm 2$.
Câu 2.
Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ như hình vẽ trên.
Theo giả thiết ta có ${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}AB.AC=4{{a}^{2}}$$Leftrightarrow AB=AC=2sqrt{2}a$.
và $BC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=sqrt{8{{a}^{2}}+8{{a}^{2}}}=4a$. Từ đó suy ra $l=AB=2sqrt{2}a$, và $r=frac{1}{2}BC=2a$.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: ${{S}_{xq}}=pi rl=pi .2a.2sqrt{2}a=4sqrt{2}pi {{a}^{2}}$.
Câu 3 .Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng $left( -1,;,3, right)$là sai.
Câu 4 . Mặt phẳng $left( P right)$ có phương trình $2x+3y-4z+7=0$ nên một vectơ pháp tuyến của $left( P right)$ là: $overrightarrow{n}=(2;3;-4).$
Câu 5.
${{5}^{{{x}^{2}}-4x+3}}+{{5}^{{{x}^{2}}+7x+6}}={{5}^{2{{x}^{2}}+3x+9}}+1$$Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}-4x+3}}+{{5}^{{{x}^{2}}+7x+6}}={{5}^{left( {{x}^{2}}-4x+3 right)+left( {{x}^{2}}+7x+6 right)}}+1$ .
Đặt $left{ begin{array}{l}
a = {x^2} – 4x + 3\
b = {x^2} + 7x + 6
end{array} right.$, ta được phương trình:
${{5}^{a}}+{{5}^{b}}={{5}^{a+b}}+1$$Leftrightarrow {{5}^{a}}+{{5}^{b}}={{5}^{a}}{{.5}^{b}}+1$$Leftrightarrow left( 1-{{5}^{a}} right)left( 1-{{5}^{b}} right)=0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = 0\
b = 0
end{array} right.$
Khi đó $left[ begin{array}{l}
{x^2} – 4x + 3 = 0\
{x^2} + 7x + 6 = 0
end{array} right.$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 3\
x = – 1\
x = – 6
end{array} right.$
Tập nghiệm của phương trình là $left{ -6;-1;1;3 right}$.
Câu 6.
$K=intlimits_{2}^{3}{frac{x}{{{x}^{2}}-1}text{d}x}$$=frac{1}{2}intlimits_{2}^{3}{frac{1}{{{x}^{2}}-1}text{d}left( {{x}^{2}}-1 right)}$$ = frac{1}{2}ln left| {{x^2} – 1} right|left| begin{array}{l}
3\
2
end{array} right.$$ = frac{1}{2}ln frac{8}{3}$
Câu 7.
Ta có: $int{{{text{e}}^{2x-1}}text{d}x}=frac{1}{2}int{{{text{e}}^{2x-1}}text{d}left( 2x-1 right)=}frac{1}{2}{{text{e}}^{2x-1}}+C$.
Câu 8
Gọi $V$ là thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$.
Ta có ${{V}_{{C}’.ABC}}=frac{1}{3}dleft( {C}’,left( ABC right) right).{{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{3}V$$Rightarrow {{V}_{{C}’.AB{B}'{A}’}}=V-{{V}_{{C}’.ABC}}=V-frac{1}{3}V=frac{2}{3}V$.
Mà ${{V}_{{C}’.AB{B}'{A}’}}=frac{1}{3}dleft( {C}’,left( AB{B}'{A}’ right) right).{{S}_{AB{B}'{A}’}}=frac{1}{3}.15.6=30$
$Rightarrow $ ${{V}_{{C}’.AB{B}'{A}’}}=frac{2}{3}V=30Rightarrow V=45$.
Câu 9.
Gọi $R$ là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.EFGH$.
Ta có $CE=AB.sqrt{3}=3sqrt{3}$cm. Suy ra $R=frac{1}{2}CE=frac{3sqrt{3}}{2}$cm.
Thể tích khối cầu là: $V=frac{4}{3}pi {{R}^{3}}=frac{4}{3}pi {{left( frac{3sqrt{3}}{2} right)}^{3}}=frac{27sqrt{3}}{2}pi $ cm3.
Câu 10. Ta có: $2vec{a}=left( 4;-6;6 right)$, $3vec{b}=left( 0;6;-3 right)$, $-2vec{c}=left( -6;2;-10 right)$ $Rightarrow vec{u}=2vec{a}+3vec{b}-2vec{c}=left( -2;2;-7 right)$.
Câu 11.
Xét hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ ta có:
$A{{{C}’}^{2}}=A{{{A}’}^{2}}+{A}'{{{C}’}^{2}}=A{{{A}’}^{2}}+{A}'{{{B}’}^{2}}+{A}'{{{D}’}^{2}}$$=3A{{{A}’}^{2}}={{a}^{2}}$$Rightarrow A{A}’=frac{a}{sqrt{3}}$
$Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}={{left( frac{a}{sqrt{3}} right)}^{3}}=frac{sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
Câu 12.
Ta có $left{ begin{array}{l}
{x_I} = frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 2\
{y_I} = frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 1\
{z_I} = frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 3
end{array} right. Rightarrow Ileft( {2;1;3} right)$
Câu 13.
Ta có ${y}’=left( 2x+2 right){{text{e}}^{{{x}^{2}}+2x-3}}$.
${y}’ge 0$$Leftrightarrow left( 2x+2 right){{text{e}}^{{{x}^{2}}+2x-3}}ge 0$$Leftrightarrow 2x+2ge 0$$Leftrightarrow xge -1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${y}’ge 0$ là $left[ -1,;,+infty right)$.
Câu 14. Ta có: ${{S}_{tp}}=2pi Rh+2pi {{R}^{2}}$$=2pi .3.5+2pi {{.3}^{2}}$$=48pi ,text{c}{{text{m}}^{text{2}}}$.
Câu 15.Ta có: $underset{xto -2}{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-2x-8}{sqrt{2x+5}-1}$$=underset{xto -2}{mathop{lim }},frac{left( {{x}^{2}}-2x-8 right)left( sqrt{2x+5}+1 right)}{left( sqrt{2x+5}-1 right)left( sqrt{2x+5}+1 right)}$$=underset{xto -2}{mathop{lim }},frac{left( x+2 right)left( x-4 right)left( sqrt{2x+5}+1 right)}{2left( x+2 right)}$
$=underset{xto -2}{mathop{lim }},frac{left( x-4 right)left( sqrt{2x+5}+1 right)}{2}$$=-3.left( 1+1 right)=-6$.
Vậy $underset{xto -2}{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-2x-8}{sqrt{2x+5}-1}=-6$.
Câu 16. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BDbot AC$.
Mặt khác $A{A}’bot left( ABCD right)Rightarrow BDbot A{A}’$.
Ta có $left{ begin{array}{l}
BD bot AC\
BD bot AA’
end{array} right. Rightarrow BD bot left( {AA’C} right) Rightarrow BD bot A’C$
Do đó góc giữa ${A}’C$ và $BD$ bằng $90{}^circ $.
Câu 17 .
Tập xác định $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}$. Ta có ${y}’=frac{-2}{{{(x-1)}^{2}}}$.
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};,{{y}_{0}} right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=frac{-x+3}{x-1}$.
Ta có ${{x}_{0}}=0$ thì ${{y}_{0}}=-3$ nên $Mleft( 0,;,-3 right)$.
Mà ${y}’left( 0 right)=-2$.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm $Mleft( 0,;,-3 right)$ là $y=-2x-3$.
Câu 18 .
Do $x$, $y$ là các số thực dương nên ta có:
${{log }_{frac{1}{27}}}left( frac{x}{{{y}^{3}}} right)=-frac{1}{3}{{log }_{3}}left( frac{x}{{{y}^{3}}} right)$$=-frac{1}{3}left( {{log }_{3}}x-{{log }_{3}}{{y}^{3}} right)$$=-frac{1}{3}left( {{log }_{3}}x-3{{log }_{3}}y right)$
$=-frac{1}{3}{{log }_{3}}x+{{log }_{3}}y$ $=-frac{1}{3}a+b$.
Câu 19.Gọi $Mleft( {{x}_{M}},;,{{y}_{M}} right)$ là trung điểm của $BC$.
Ta có $left{ begin{array}{l}
{x_M} = frac{{2 + 4}}{2} = 3\
{y_M} = frac{{5 – 3}}{2} = 1
end{array} right. Rightarrow Mleft( {3,;,1} right)$
Đường thẳng $AM$ đi qua hai điểm $A$, $M$ nên có vectơ chỉ phương là $overrightarrow{AM}=left( 2,;,2 right)$. Từ đó suy ra $AM$ có vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{n}=left( 1,;,-1 right)$.
Vậy đường trung tuyến $AM$ có phương trình tổng quát là:
$left( x-1 right)+left( -1 right)left( y+1 right)=0Leftrightarrow x-y-2=0$.
Câu 20. Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0Leftrightarrow {{left( x-4 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}+{{z}^{2}}=16.$
Vậy mặt cầu $left( S right)$ có tâm $Ileft( 4,;,1,;,0 right)$ và bán kính $R=4.$
Câu 21.Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $left( H right)$ quanh trục $Ox$ là :
$V=pi intlimits_{0}^{3}{{{left( frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}} right)}^{2}}text{d}x}=pi intlimits_{0}^{3}{left( frac{1}{9}{{x}^{6}}-frac{2}{3}{{x}^{5}}+{{x}^{4}} right)text{d}x}=frac{81pi }{35}$.
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là : $V=frac{81pi }{35}$.
Câu 22.Gọi $left( C right)$ là đồ thị hàm số đã cho. Dựa vào đồ thị $left( C right)$, ta thấy:
+ Điểm $left( 0,;2 right)$ thuộc $left( C right)$ nhưng không thuộc đồ thị hàm số ở đáp án $C$ và $D$ nên loại các đáp án $C$ và $D$.
+ Đồ thị $left( C right)$ nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng nên loại đáp án $B$.
+ Hàm số $y=frac{x+2}{x+1}$ có đồ thị đi qua điểm $left( 0,;2 right)$, có tiệm cận đứng $x=-1$ nên hàm số $y=frac{x+2}{x+1}$ có đồ thị phù hợp với đồ thị $left( C right)$.
Vậy $left( C right)$ là đồ thị của hàm số $y=frac{x+2}{x+1}$.
Câu 23.
+ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $y=fleft( x right)$ không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $mathbb{R}$ nên phương án $A$ sai.
+ Hàm số đạt cực đại tại $x=0$và cực tiểu tại $x=1$ nên phương án $B$ đúng. Chọn $B$.
+ Hàm số đã cho có $2$cực trị nên phương án $C$ sai.
+ Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $-3$ nên phương án $D$ sai.
Câu 24.
Vì hàm số $y={{a}^{x}}$ đồng biến trên $mathbb{R}$ khi $a>1$ và nghịch biến trên $mathbb{R}$ khi $0<a<1$ nên dựa vào đồ thị ta có:
+ $left( {{C}_{3}} right)$ là đồ thị của hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$. Do đó $left( {{C}_{3}} right)$ có thể là đồ thị của hàm số $y={{6}^{x}}$ hoặc $y={{8}^{x}}$.
+ $left( {{C}_{1}} right)$, $left( {{C}_{2}} right)$ là đồ thị của các hàm nghịch biến trên $mathbb{R}$nên $left( {{C}_{2}} right)$ có thể là đồ thị của hàm số $y=frac{1}{{{5}^{x}}}$ hoặc $y=frac{1}{{{sqrt{7}}^{x}}}$ .
+ Kẻ đường thẳng $x=1$ lần lượt cắt $left( {{C}_{2}} right)$ và $left( {{C}_{1}} right)$ tại $A$ và $B$. Vì ${{y}_{A}}<{{y}_{B}}$ và $frac{1}{5}<frac{1}{sqrt{7}}$ nên đồ thị $left( {{C}_{2}} right)$ là của hàm số $y=frac{1}{{{5}^{x}}}$. Chọn C.
Câu 25.
Ta có $y=frac{{{x}^{2}}-3x+6}{x-2}=x-1+frac{4}{x-2}$.
${y}’=1-frac{4}{{{left( x-2 right)}^{2}}}=frac{{{x}^{2}}-4x}{{{left( x-2 right)}^{2}}}<0$, $forall xin left( 0;1 right)$.
$yleft( 0 right)=-3,$, $yleft( 1 right)=-4$.
Vậy $M=-3$, $m=-4$$Rightarrow M+2m=-11$.
Câu 26.
Gọi ${{C}_{ABM}}$ là chu vi của tam giác$ABM$.
$overrightarrow{AB}=left( -2;,-3;,-10 right)$$Rightarrow AB=sqrt{113}$
$overrightarrow{AB}=left( -2;,-3;,-10 right)$, $overrightarrow{CD}=left( 1;,-4;,1 right)$$Rightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}=-2+12-10=0$$Rightarrow ABbot CD$.
Gọi $left( P right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với đường thẳng $CD$.
$H$ là giao điểm của $left( P right)$ và đường thẳng $CD$.
Phương trình mặt phẳng $left( P right)$qua $Aleft( -1;,1;,6 right)$có véc tơ pháp tuyến $overrightarrow{CD}=left( 1;,-4;,1 right)$là:
$x-4y+z-1=0$.
Phương trình đường thẳng $left{ begin{array}{l}
x = 1 + t\
y = 2 – 4t\
z = – 1 + t
end{array} right.$
$Hin CDLeftrightarrow Hleft( 1+t;2-4t;-1+t right)$.
$Hin left( P right)Leftrightarrow 1+t-4left( 2-4t right)-1+t-1=0$
Với $forall Min CD$, ta có $left{ begin{array}{l}
AM ge AH\
BM ge BH
end{array} right.$$ Rightarrow AM + BM ge AH + BH$
${{C}_{ABM}}=AB+AM+BMge sqrt{113}+AH+BH$, $forall Min CD$.
Suy ra $min{{C}_{ABM}}=sqrt{113}+AH+BH$, đạt được $Mequiv H$
Vậy $a+b+c=1$.
Câu 27. Kí hiệu $left( C right)$ là đồ thị hàm số $y=frac{6x-3}{left( m{{x}^{2}}-6x+3 right)left( 9{{x}^{2}}+6mx+1 right)}$.
* Trường hợp 1: $m=0$.
Khi đó $y=frac{6x-3}{left( -6x+3 right)left( 9{{x}^{2}}+1 right)}$. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang $y=0$.
Do đó chọn $m=0$.
* Trường hợp 2: $mne 0$.
Xét phương trình $left( m{{x}^{2}}-6x+3 right)left( 9{{x}^{2}}+6mx+1 right)=0,,left( 1 right)$
Nhận thấy: $left( C right)$ luôn có một đường tiệm cận ngang $y=0$ và phương trình $left( 1 right)$ không thể có duy nhất một nghiệm đơn với mọi $m$.
Do đó $left( C right)$ có đúng một đường tiệm cận khi và chỉ khi $left( C right)$ không có tiệm cận đứng $Leftrightarrow left( 1 right)$ vô nghiệm $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
9 – 3m < 0\
9{m^2} – 9 < 0
end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m > 3\
– 1 < m < 1
end{array} right.$, ( không tồn tại $m$).
Kết hợp các trường hợp ta được $m=0$.
Câu 28 . Gọi lãi suất kì hạn $1$ năm của ngân hàng là $x$.
Số tiền học sinh A nhận được sau $3$ năm (khi 18 tuổi) là: $200000000{{left( 1+x right)}^{3}}$VNĐ.
Theo giả thiết: Khi $18$ tuổi, số tiền mà học sinh A được nhận sẽ là $231text{ }525text{ }000$ VNĐ nên ta có: $200000000{{left( 1+x right)}^{3}}=231525000$$Leftrightarrow x=frac{1}{20}Leftrightarrow x=5%$.
Vậy lãi suất kì hạn $1$ năm của ngân hàng là: $5%/$năm.
Câu 29.
Gọi $Mleft( a,;,b,;,c right)$ với $ain mathbb{Z}$, $bin mathbb{R}$, $cin mathbb{R}$.
Ta có: $overrightarrow{AM}=left( a-3,;,b-1,;,c-7 right)$ và $overrightarrow{BM}=left( a-5,;,b-5,;,c-1 right)$.
Vì $left{ begin{array}{l}
M in left( P right)\
MA = MB = sqrt {35}
end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
M in left( P right)\
M{A^2} = M{B^2}\
M{A^2} = 35
end{array} right.$ nên ta có hệ phương trình sau:
$left{ begin{array}{l}
2a – b – c + 4 = 0\
{left( {a – 3} right)^2} + {left( {b – 1} right)^2} + {left( {c – 7} right)^2} = {left( {a – 5} right)^2} + {left( {b – 5} right)^2} + {left( {c – 1} right)^2}\
{left( {a – 3} right)^2} + {left( {b – 1} right)^2} + {left( {c – 7} right)^2} = 35
end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2a – b – c = – 4\
4a + 8b – 12c = – 8\
{left( {a – 3} right)^2} + {left( {b – 1} right)^2} + {left( {c – 7} right)^2} = 35
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b = c\
c = a + 2\
{left( {a – 3} right)^2} + {left( {b – 1} right)^2} + {left( {c – 7} right)^2} = 35
end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b = a + 2\
c = a + 2\
3{a^2} – 14a = 0
end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 0\
b = 2\
c = 2
end{array} right.$, (do $ain mathbb{Z}$).
Ta có $Mleft( 2,;,2,;,0 right)$. Suy ra $OM=2sqrt{2}$.
Câu 30 .
Xét $Delta BCD$ ta có : $left{ begin{array}{l}
frac{{BN}}{{NC}} = 1\
frac{{BP}}{{PD}} = 2
end{array} right.$$ Rightarrow frac{{BN}}{{NC}} ne frac{{BP}}{{PD}}$
$Rightarrow NP$ cắt $CD$. Gọi $I=NPcap CD$.
Vì $left{ begin{array}{l}
I in NP subset left( {MNP} right)\
I in CD
end{array} right.$$ Rightarrow I = CD cap left( {MNP} right)$
Vậy giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $left( MNP right)$ là giao điểm của $NP$ và $CD$.
