Câu 30: Đáp án A.
Phương pháp:
Thiết diện là tam giác cân.
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt hẳng đáy của hình nón.
Thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân cạnh góc vuông bằng $2aRightarrow 2r=2asqrt{2}Leftrightarrow r=asqrt{2}Rightarrow AH=r=asqrt{2}$.
Gọi K là trung điểm của DE ta có $AKbot DE;HKbot DERightarrow AKH={{60}^{0}}$.
Xét tam giác vuông AHK có: $AK=frac{AH}{sin {{60}^{0}}}=frac{asqrt{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}=frac{2sqrt{2}a}{sqrt{3}};HK=frac{AH}{tan {{60}^{0}}}=frac{asqrt{2}}{sqrt{3}}$
Xét tam giác vuông DHK có $DK=sqrt{D{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}}=frac{2a}{sqrt{3}}Rightarrow DE=frac{4a}{sqrt{3}}.$
Vậy ${{S}_{Delta ADE}}=frac{1}{2}AK.DE=frac{1}{2}.frac{2sqrt{2}a}{sqrt{3}}.frac{4a}{sqrt{3}}=frac{4sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$.
Câu 31: Đáp án C.
Phương pháp:
+) Dựng đường thẳng d song song với $AC’$ $Rightarrow left( AC’;A’B right)=left( d;A’B right)$.
+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác.
Cách giải:
Gọi D’ là đỉnh thứ tư của hình thoi A’B’D’C’ ta có
$left{ begin{array}{l}
C’D’//A’B’//AB\
C’D’ = A’B’ = AB
end{array} right. Rightarrow ABD’C’$ là hình bình hành
$ Rightarrow AC’//BD’ Rightarrow left( {AC’;A’B} right) = left( {BD’;A’B} right) Rightarrow left[ begin{array}{l}
A’BD’ = {60^0}\
A’BD’ = {120^0}
end{array} right.$.
Gọi O là tâm hình thoi $A’B’C’D’Rightarrow A’O=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow A’D’=asqrt{3};,,A’B=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=BD’.$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác A’BD’ có: $cos A’BD’=frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-3{{a}^{2}}}{2left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)}=frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}$
TH1: $A’BD’={{60}^{0}}Leftrightarrow frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}=frac{1}{2}Leftrightarrow -2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}Leftrightarrow {{b}^{2}}=2{{a}^{2}}Rightarrow b=asqrt{2}$
TH2: $A’BD’={{120}^{0}}Leftrightarrow frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}=frac{-1}{2}Leftrightarrow -2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=-2{{a}^{2}}-2{{b}^{2}}Leftrightarrow b=0left( ktm right)$.
Câu 32: Đáp án D.
Phương pháp :
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt $V=frac{pi }{3}hleft( {{r}^{2}}+Rtext{r}+{{R}^{2}} right)$ với r, R lần lượt là hai bán kính hai đáy và h là chiều cao của khối chóp cụt.
Cách giải:
Kẻ $AHbot CDleft( Hin CD right).$ Ta có $DH=frac{CD-AB}{2}=frac{4a-2a}{2}=a$
$Rightarrow AH=sqrt{A{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=2sqrt{2}a$.
Khi quay hình thang cân ABCD quanh trục đối xứng của nó ta được hình chóp cụt có hai bán kính đáy $r=a,R=2a$ và chiều cao $h=AH=2sqrt{2}a$.
$V=frac{pi }{3}hleft( {{r}^{2}}+Rtext{r}+{{R}^{2}} right)=frac{2sqrt{2}pi a}{3}left( {{a}^{2}}+2a.a+4{{a}^{2}} right)=frac{14sqrt{2}}{3}pi {{a}^{3}}$
Câu 33: Đáp án C.
Phương pháp :
+) Gọi $Mleft( m;frac{m+2}{m-1} right)left( mne 1 right)$.
+) Tính $dleft( M;text{Ox} right);,,dleft( M;,Oy right)$ và sử dụng giả thiết $dleft( M;,Oy right)=2dleft( M;text{Ox} right)$.
Cách giải :
Gọi $Mleft( m;frac{m+2}{m-1} right)left( mne 1 right)$.
Ta có $dleft( M;text{Ox} right)=left| {{y}_{M}} right|=left| frac{m+2}{m-1} right|;dleft( M;Oy right)=left| {{x}_{m}} right|=left| m right|$
$begin{array}{l}
Rightarrow left| m right| = 2left| {frac{{m + 2}}{{m – 1}}} right|\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = frac{{2left( {m + 2} right)}}{{m – 1}}\
– m = frac{{2left( {m + 2} right)}}{{m – 1}}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{m^2} – 3m – 4 = 0\
{m^2} + m + 4 = 0left( {vn} right)
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 4left( {tm} right)\
m = – 1left( {tm} right)
end{array} right.
end{array}$
Câu 34: Đáp án B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp $left( sqrt{u} right)’=frac{u’}{2sqrt{u}}$.
Cách giải :
$begin{array}{l}
y = sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } \
y’ = frac{{left( {x + sqrt {{x^2} + 1} } right)’}}{{2sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } }} = frac{{1 + frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{2sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } }} = frac{{x + sqrt {{x^2} + 1} }}{{2sqrt {{x^2} + 1} .sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } }}\
Rightarrow P = 2sqrt {{x^2} + 1} .y’ = frac{{x + sqrt {{x^2} + 1} }}{{sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } }} = sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } = y
end{array}$
Câu 35: Đáp án D.
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình $left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|={{log }_{2}}m$là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|$ và đường thẳng $y={{log }_{2}}m$.
Lập BBT của đồ thị hàm số $left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|={{log }_{2}}m$và kết luận.
Cách giải :
ĐK: $m>0$.
Số nghiệm của phương trình $left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|={{log }_{2}}m$là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|$và đường thẳng $y={{log }_{2}}m$.
Xét hàm số $fleft( x right)={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4$ có TXĐ: $D=R$.
$y’ = 4{x^3} – 10x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow y = 4\
x = pm frac{{sqrt {10} }}{2} Rightarrow y = – frac{9}{4}
end{array} right.$
BBT:
Từ đó ta suy ra được BBT của đồ thị hàm số $y=left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|$ như sau:
Do đó để phương trình $left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|={{log }_{2}}m$ có 8 nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng $y={{log }_{2}}m$cắt đồ thị hàm số $y=left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|$ tại 8 điểm phân biệt.
$Leftrightarrow 0<{{log }_{2}}m<frac{9}{4}Leftrightarrow 1<m<sqrt[4]{{{2}^{9}}}$.
Câu 36: Đáp án C.
Phương pháp:
+) Gọi $A=dcap {{d}_{1}}Rightarrow Aleft( t+3;-t-1;t+4 right),B=dcap {{d}_{2}}Rightarrow Bleft( 2t’+2;-t’+4;4t’-3 right)$
+) $left{ begin{array}{l}
d bot {d_1}\
d bot {d_2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{overrightarrow u _{{d_1}}}.overrightarrow {AB} = 0\
{overrightarrow u _{{d_2}}}.overrightarrow {AB} = 0
end{array} right.$
Cách giải:
Ta có ${{overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=left( 1;-1;1 right);{{overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=left( 2;-1;4 right)$.
Gọi d là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$.
Gọi $A=dcap {{d}_{1}}Rightarrow Aleft( t+3;-t-1;t+4 right),B=dcap {{d}_{2}}Rightarrow Bleft( 2t’+2;-t’+4;4t’-3 right)$
$Rightarrow overrightarrow{AB}=left( 2t’-t-1;-t’+t+5;4t’-t-7 right)$
Ta có $left{ begin{array}{l}
d bot {d_1}\
d bot {d_2}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
2t’ – t – 1 + t’ – t – 5 + 4t’ – t – 7 = 0\
4t’ – 2t – 2 + t’ – t – 5 + 16t’ – 4t – 28 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
7t’ – 3t = 13\
21t’ – 7 = 35
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t’ = 1\
t = – 2
end{array} right.$
$Rightarrow Aleft( 1;1;;2 right),Bleft( 4;3;1 right)Rightarrow overrightarrow{AB}left( 3;2;-1 right)$
Vậy phương trình đường thẳng d là: $frac{x-1}{3}=frac{y-1}{2}=frac{z-2}{-1}$.
Câu 37: Đáp án B.
Phương pháp:
+) Gọi $N=Delta cap dRightarrow Nleft( -2t-1;t+1;3t+1 right)$
+) $Delta //left( P right)Rightarrow {{overrightarrow{u}}_{Delta }}bot {{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}Rightarrow $ Tọa độ điểm N.
+) Đưa về bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.
Cách giải:
Gọi $N=Delta cap dRightarrow Nleft( -2t-1;t+1;3t+1 right)$
$Rightarrow overrightarrow{MN}=left( -2t-2;t;3t+3 right)$là 1 VTCP của đường thẳng $Delta $.
Ta có $Delta //left( P right)Rightarrow {{overrightarrow{u}}_{Delta }}bot {{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}=left( 1;-1;-1 right)Rightarrow -2t-2-t-3t-3=0Leftrightarrow t=-frac{5}{6}$
$Rightarrow overrightarrow{MN}=left( -frac{1}{3};-frac{5}{6};frac{1}{2} right)=-frac{1}{6}left( 2;5;-3 right)$.
Do đó phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta :frac{x-1}{2}=frac{y-1}{5}=frac{z+2}{-3}$.
Câu 38: Đáp án B.
Phương pháp:
Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song.
Cách giải
$left( P right)//B’D’//BDin left( ABCD right)$ $Rightarrow left( P right)cap left( ABCD right)=MN//BDleft( Nin BC right)$
$left( P right)//AD’subset left( ADD’A’ right)$ $Rightarrow left( P right)cap left( ADD’A’ right)=NP//AD’left( Pin DD’ right)$
$left( P right)//AB’subset left( ABB’A’ right)Rightarrow left( P right)cap left( ABB’A’ right)=MS//AB’left( Sin BB’ right)$
Trong $left( ABB’A’ right),$ gọi $E=MScap A’B’,$ trong $left( ADD’A’ right),$gọi $F=NPcap A’D’$.
Trong $left( A’B’C’D’ right):text{EF}cap B’C’=R;text{EF}cap text{C }!!’!!text{ D }!!’!!text{ =Q}$
Vậy thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng $left( P right)$là lục giác MNPQRS .
Câu 39: Đáp án B.
Phương pháp:
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton.
Cách giải :
${{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{n}}{{left( x+2 right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{x}^{2k}}sumlimits_{l=0}^{n}{C_{n}^{l}{{x}^{l}}{{2}^{n-1}}}}$
Tìm hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ ta cho $2k + l = 3n – 3 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
k = n;l = n – 3\
k = n – 1;l = n – 1
end{array} right.$.
$begin{array}{l}
Rightarrow {a_{3n – 3}} = C_n^n.C_n^{n – 3}{.2^3} + C_n^{n – 1}.C_n^{n – 1}{2^1} = frac{{8n!}}{{3!left( {n – 3} right)!}} + 2{n^2} = 8nleft( {n – 1} right)left( {n – 2} right) + 2{n^2} = 26n\
Leftrightarrow frac{4}{3}left( {n – 1} right)left( {n – 2} right) + 2n = 26 Leftrightarrow 4{n^2} – 6n – 70 = 0 Leftrightarrow n = 5
end{array}$
Câu 40: Đáp án D.
Phương pháp :
Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích: $frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{SA}{SA}.frac{SM}{SB}.frac{SN}{SC}$
Cách giải:
Qua G kẻ $MN//BCleft( Min SB,Nin SC right)Rightarrow left( alpha right)$ cắt SB, SC lần lượt tại M và N.
Gọi D là trung điểm của CD. Ta có $frac{SG}{SD}=frac{2}{3}$.
Theo định lí Ta-let ta có: $frac{SM}{SB}=frac{SN}{SC}=frac{SG}{SD}=frac{2}{3}$
$Rightarrow frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{SA}{SA}.frac{SM}{SB}.frac{SN}{SC}=frac{4}{9}$
Ta có $Delta ABC$ vuông cân tại B $Rightarrow BA=BC=frac{AC}{sqrt{2}}=a$
$Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}.SA.frac{1}{2}BA.BC=frac{{{a}^{3}}}{6}$
Vậy ${{V}_{S.AMN}}=frac{4}{9}.frac{{{a}^{3}}}{6}=frac{2{{a}^{3}}}{27}$
Câu 41: Đáp án C.
Phương pháp:
+) Nếu z là một nghiệm phức của phương trình bậc hai thì $overline{z}$ cũng là nghiệm của phương trình bậc hai đó.
+) Tìm hai nghiệm phức của phương trình bậc hai đã cho.
+) Xác định các điểm biểu diễn A, B.
+) $Delta OAB$ vuông tại $ORightarrow overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}=0$.
Cách giải :
Ta có $Delta ‘={{b}^{2}}-c<0Leftrightarrow {{b}^{2}}<c$
Gọi $z=x+yi$ là 1 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0Rightarrow overline{z}=x-yi$ cũng là một nghiệm của phương trình.
Ta có
$begin{array}{l}
z + overline z = 2x = – 2b Leftrightarrow x = – b\
z.overline z = {x^2} + {y^2} = c Leftrightarrow y = pm sqrt {c – {b^2}}
end{array}$
$begin{array}{l}
Rightarrow left{ begin{array}{l}
z = – b + sqrt {c – {b^2}i} Rightarrow Aleft( { – b;sqrt {c – {b^2}} } right)\
overline z = – b – sqrt {c – {b^2}i} Rightarrow Bleft( { – b; – sqrt {c – {b^2}} } right)
end{array} right.\
OA bot OB Rightarrow overrightarrow {OA} .overrightarrow {OB} = 0 Leftrightarrow {b^2} – left( {c – {b^2}} right) = 0 Leftrightarrow 2{b^2} – c = 0 Leftrightarrow c = 2{b^2}
end{array}$
Câu 42: Đáp án A.
Phương pháp:
Sử dụng công thức
$begin{array}{l}
{log _a}b = frac{1}{{{{log }_b}a}}left( {0 < a,b ne 1} right)\
{a^2} + {b^2} = {c^2}\
{log _a}frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}} = {log _a}fleft( x right) – {log _a}gleft( x right)left( {0 < a ne 1,fleft( x right),gleft( x right) > 0} right)
end{array}$
Cách giải :
$begin{array}{l}
{log _{c + b}}a + {log _{c – b}}a = frac{1}{{{{log }_a}left( {c + b} right)}} + log frac{1}{{{{log }_a}left( {c – b} right)}} = frac{{{{log }_a}left( {c + b} right) + {{log }_a}left( {c – b} right)}}{{{{log }_a}left( {c + b} right).{{log }_a}left( {c – b} right)}}\
Co:,{a^2} = {c^2} – {b^2} = left( {c + b} right)left( {c – b} right) Rightarrow left( {c – b} right) = frac{{{a^2}}}{{c + b}}\
Leftrightarrow {log _a}left( {c + b} right) + {log _a}left( {c – b} right) = {log _a}left( {c + b} right) + {log _a}frac{{{a^2}}}{{c + b}} = {log _a}left( {c + b} right) + 2 – {log _a}left( {c + b} right) = 2\
Rightarrow {log _{c + b}}a + {log _{c – b}}a = frac{2}{{{{log }_a}left( {c + b} right).{{log }_a}left( {c – b} right)}} = 2{log _{c + b}}a.{log _{left( {c – b} right)}}a
end{array}$
Câu 43: Đáp án A.
Phương pháp :
Sử dụng công thức $S=intlimits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vleft( t right)dt}$.
Cách giải :
Gọi phương trình parabol là $v=a{{t}^{2}}+bt+cleft( ane 0 right)$ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
c = 4\
– frac{b}{{2a}} = 2\
4a + 2b + c = 9
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – frac{5}{4}\
b = 5\
c = 4
end{array} right.$
$Rightarrow vleft( t right)=-frac{5}{4}{{t}^{2}}+5t+4$
Khi $t=1Rightarrow v=frac{31}{4}$
$Rightarrow $ Phương trình đường thẳng:
$frac{x-1}{4-1}=frac{y-frac{31}{4}}{4-frac{31}{4}}Leftrightarrow -frac{15}{4}left( x-1 right)=3left( y-frac{31}{4} right)Leftrightarrow -5x+5=4y-31Leftrightarrow 5x+4y-36=0Rightarrow y=frac{-5}{4}x+9$$Rightarrow vleft( t right)=-frac{5}{4}t+9$.
Vậy quãng đường mà vật đi được là $S=intlimits_{0}^{1}{left( -frac{5}{4}{{t}^{2}}+5t+4 right)dt+intlimits_{1}^{4}{left( -frac{5}{4}t+9 right)dtapprox 23,71left( km right)}}$
Câu 44: Đáp án A.
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm, đặt ${{x}^{2}}=t$.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-3=1Leftrightarrow {{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-4=0left( * right)$.
Để để đồ thị $left( {{C}_{m}} right)$của hàm số $y={{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-3$ có 4 giao điểm với đường thẳng $y=1$, có hoành độ nhỏ hơn 3 $Rightarrow $ Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.
Đặt ${{x}^{2}}=tleft( 0le t<9 right),$khi đó $left( * right)Leftrightarrow {{t}^{2}}-mt+2m-4=0left( ** right),$ phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thuộc$left( 0;9 right)$.
$left( {**} right) Leftrightarrow left( {{t^2} – 4} right) – mleft( {t – 2} right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t – 2 = 0\
t + 2 – m = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 2left( {tm} right)\
t = m – 2
end{array} right.$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc $left( {0;9} right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
0 < m – 2 < 9\
m – 2 ne 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2 < m < 11\
m ne 4
end{array} right.$
Câu 45: Đáp án B.
Phương pháp:
Tìm các đường biểu diễn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Vẽ trên trục tọa độ Oxy và biện luận.
Cách giải :
Gọi ${{z}_{1}}=x+yi$ ta có:
$begin{array}{l}
2left| {x – yi + i} right| = left| {x – yi – x – yi – 2i} right| Leftrightarrow 2left| {x – yi + i} right| = 2left| {yi + i} right|\
Leftrightarrow {x^2} + {left( {y – 1} right)^2} = {left( {y + 1} right)^2} Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1\
Leftrightarrow {x^2} = 4y Leftrightarrow y = frac{{{x^2}}}{4}
end{array}$
$Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}$là parabol $y=frac{{{x}^{2}}}{4}$ .
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$là đường tròn $left( C right)$tâm $Ileft( 10;1 right)$ bán kính $R=1$.
$Rightarrow $ $left( C right):{{left( x-10 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}=1$.
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}Rightarrow left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=left| overrightarrow{OM}-overrightarrow{ON} right|=MN$.
$Rightarrow {{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}_{min }}Leftrightarrow M{{N}_{min }}$
Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{{N}_{min }}Leftrightarrow MNbot $ tiếp tuyến tại M của parabol $y=frac{{{x}^{2}}}{4}$và đi qua I.
Ta có $y’=frac{x}{2}.$ Gọi $Mleft( m;frac{{{m}^{2}}}{4} right)left( m>0 right)$ $Rightarrow y’left( m right)=frac{m}{2}Rightarrow pttt:y=left( x-m right)+frac{{{m}^{2}}}{4}=frac{m}{2}x-frac{{{m}^{2}}}{4}left( d right)$
$begin{array}{l}
Rightarrow MN ge dleft( {I;d} right) – 1 Rightarrow M{N_{min }} Leftrightarrow dleft( {I;d} right) = IM\
Leftrightarrow frac{{left| {5m – 1 – frac{{{m^2}}}{4}} right|}}{{sqrt {1 + frac{{{m^2}}}{4}} }} = sqrt {{{left( {m – 10} right)}^2} + {{left( {frac{{{m^2}}}{4} – 1} right)}^2}} \
Leftrightarrow frac{{{{left( {5m – 1 – frac{{{m^2}}}{4}} right)}^2}}}{{1 + frac{{{m^2}}}{4}}} = {left( {m – 10} right)^2} + {left( {frac{{{m^2}}}{4} – 1} right)^2}
end{array}$
Giải phương trình trên ra tìm được $m=4$, khi đó $IM=3sqrt{5}Rightarrow M{{N}_{min }}=3sqrt{5}-1$.
Câu 46: Đáp án D.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức
${{log }_{a}}b.{{log }_{b}}c={{log }_{a}}c,{{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c=operatorname{l}o{{g}_{a}}left( bc right);{{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}$ (giả sử các biểu thức đã cho là có nghĩa).
Cách giải :
$begin{array}{l}
xy = {log _7}12.{log _{12}}24 = {log _7}24\
{log _{54}}168 = frac{{a.{{log }_7}24 + 1}}{{b.{{log }_7}24 + c{{log }_7}12}} = frac{{{{log }_7}{{24}^a} + {{log }_7}7}}{{{{log }_7}{{24}^b} + {{log }_7}{{12}^c}}} = frac{{{{log }_7}left( {{{7.24}^a}} right)}}{{{{log }_7}left( {{{24}^b}{{.12}^c}} right)}} = {log _{left( {{{24}^b}{{.12}^c}} right)}}left( {{{7.24}^a}} right)\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{7.24^a} = 168\
{24^b}{.12^c} = 54
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
{2^{3b}}{.3^b}{.2^{2c}}{.3^c} = {2.3^3}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
3b + 2c = 1\
b + c = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = – 5left( {tm} right)\
c = 8
end{array} right.\
Rightarrow S = a + 2b + 3c = 1 + 2.left( { – 5} right) + 3.8 = 15
end{array}$
Câu 47: Đáp án B.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình.
Cách giải :
$begin{array}{l}
{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}sqrt[{2018}]{{2019 – {{cos }^2}x}} – left( {cos x + m} right)sqrt[{2018}]{{2019 – {{sin }^2}x + {m^2} + 2mcos x}} = cos x – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + m\
Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left( {sqrt[{2018}]{{2019 – {{cos }^2}x}} – 1} right) = left( {cos x + m} right)left( {sqrt[{2018}]{{2019 – {{sin }^2}x + {m^2} + 2mcos x}} – 1} right)\
Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left( {sqrt[{2018}]{{2019left( {1 – {{sin }^2}x} right)}} – 1} right) = left( {cos x + m} right)left( {sqrt[{2018}]{{2019left( {1 – c{rm{o}}{{rm{s}}^2}x – {m^2} – 2mcos x} right)}} – 1} right)\
Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left( {sqrt[{2018}]{{2019left( {1 – {{sin }^2}x} right)}} – 1} right) = left( {cos x + m} right)left( {sqrt[{2018}]{{2019 – left( {1 – {{left( {c{rm{os}}x + m} right)}^2}} right)}} – 1} right)\
Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left( {sqrt[{2018}]{{2018 + {{sin }^2}x}} – 1} right) = left( {cos x + m} right)left( {sqrt[{2018}]{{2018 + {{left( {cos x + m} right)}^2}}} – 1} right)
end{array}$
Xét hàm số $fleft( t right)=tleft( sqrt[2018]{2018+{{t}^{2}}}-1 right)left( tin left[ -1;1 right] right)$ ta có:
$f’left( t right)=sqrt[2018]{2018+{{t}^{2}}}-1+t.frac{1}{2018}{{left( 2018+{{t}^{2}} right)}^{frac{-2017}{2018}}}.2tge 0forall tin left[ -1;1 right]Rightarrow $Hàm số đồng biến trên $left[ -1;1 right]$
$Rightarrow operatorname{s}text{inx}=cos x+mLeftrightarrow operatorname{s}text{inx}-cos x=mLeftrightarrow sqrt{2}sin left( x-frac{pi }{4} right)=m$
Để phương trình có nghiệm thực $Leftrightarrow min left[ -sqrt{2};sqrt{2} right]$. Mà m nguyên nên $min left{ -1;0;1 right}$.
Câu 48: Đáp án
Câu 49: Đáp án D.
Phương pháp:
${{P}_{MAB}}=MA+MB+underset{con,st}{mathop{AB}},$ đạt GTNN $Leftrightarrow {{left( MA+MB right)}_{min }}$
Cách giải :
Ta có ${{P}_{MAB}}=MA+MB+underset{con,st}{mathop{AB}},$ đạt GTNN $Leftrightarrow {{left( MA+MB right)}_{min }}$
Ta có $MA+MBge 2sqrt{MA.MB}$, dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow Min $ mặt phẳng trung trực (P) của AB.
Mà $Min dRightarrow M=dcap left( P right)$
Gọi I là trung điểm của AB ta có $Ileft( 2;4;3 right)$. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và nhận $frac{1}{2}overrightarrow{AB}=left( 1;-1;3 right)$ là 1 VTPT nên có phương trình $x-y+3z-7=0$.
Do $Min dRightarrow Mleft( -1+2t;1-t;2t right).$ Thay vào phương trình mặt phẳng$left( P right)$ta tìm được $t=1Rightarrow Mleft( 1;0;2 right)Rightarrow MA=MB=sqrt{29};AB=2sqrt{11}Rightarrow {{P}_{ABC}}=2left( sqrt{11}+sqrt{29} right)$
Câu 50: Đáp án B.
Phương pháp:
Tính độ dài cung AB chính là chu vi đường tròn đáy của hình nón, suy ra bán kính đáy r của hình nón.
Sử dụng công thức $h=sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}$suy ra độ dài đường cao của hình nón.
Sử dụng công thức tính thể tích hình nón $V=frac{1}{3}{{pi }^{2}}h$
Cách giải :
Độ dài cung AB là xR cũng chính là chu vi đáy của hình nón $Rightarrow r=frac{xR}{2pi }$
$Rightarrow h=sqrt{{{R}^{2}}-frac{{{x}^{2}}{{R}^{2}}}{4{{pi }^{2}}}}=frac{R}{2pi }sqrt{4{{pi }^{2}}-{{x}^{2}}}$
=>Thể tích của hình nón $V=frac{1}{3}pi {{left( frac{xR}{2pi } right)}^{2}}.frac{R}{2pi }sqrt{4{{pi }^{2}}-{{x}^{2}}}=frac{pi }{3}.{{left( frac{R}{2pi } right)}^{3}}{{x}^{2}}sqrt{4{{pi }^{2}}-{{x}^{2}}}$
Xét hàm số $fleft( x right)={{x}^{2}}sqrt{4{{pi }^{2}}-{{x}^{2}}}left( xin left[ 0;2pi right] right)$ có
$f’left( x right) = 2xsqrt {4{pi ^2} – {x^2}} + {x^2}frac{{ – x}}{{sqrt {4{pi ^2} – {x^2}} }} = frac{{2xleft( {4{pi ^2} – {x^2}} right) – {x^3}}}{{sqrt {4{pi ^2} – {x^2}} }} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
2left( {4{pi ^2} – {x^2}} right) = {x^2}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = frac{{2sqrt 6 }}{3}pi
end{array} right.$ Lập BBT ta thấy: $f{{left( x right)}_{mtext{ax}}}=fleft( frac{2sqrt{6}}{3}pi right)$
