|
SỞ GD&ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN
(Đề thi gồm: 50 câu, 05 trang) |
ĐỀ THI THÁNG 02/2019 BÀI THI MÔN: TOÁN Lớp 12 Ngày thi: 23/02/2019 Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian phát đề |
Câu 1.Ta có $fleft( x right)={F}’left( x right)={{left( {{e}^{{{x}^{2}}}} right)}^{prime }}=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}$.
Câu 2.Ta có: $underset{xto pm infty }{mathop{lim }},frac{x+1}{2x-4}=underset{xto pm infty }{mathop{lim }},frac{1+frac{1}{x}}{2-frac{4}{x}}=frac{1}{2}$.
Do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=frac{x+1}{2x-4}$ có phương trình là $y=frac{1}{2}$.
Câu 3. Phương trình mặt cầu có dạng: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$ với điều kiện${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d,,>,0$.
+ Xét đáp án A: Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4z-1=0$ có $a=-1$, $b=0$, $c=2$, $d=-1$$Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=6>0$. Do đó phương trình này là phương trình mặt cầu.
+ Xét đáp án B không có${{y}^{2}}$ nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
+ Xét đáp án C có $2xy$ nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
+ Xét đáp án D: Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-4z+8=0$ có $a=-1$, $b=1$, $c=-2$, $d=8$ $Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=-2<0$. Do đó phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
Câu 4.
Ta có phương trình: $(3+2i)z+{{(2-i)}^{2}}=4+i$ $Leftrightarrow left( 3+2i right)z=-{{left( 2-i right)}^{2}}+4+i$$Leftrightarrow left( 3+2i right)z=1+5i$ $Leftrightarrow z=frac{1+5i}{3+2i}Leftrightarrow z=1+i$.
Vậy điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ có tọa độ là $Mleft( 1;1 right)$.
Câu 5.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $overrightarrow{{{u}_{d}}}=left( -1;,2;,1 right)$.
Một vectơ chỉ phương của mặt phẳng $left( P right)$ là $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left( 1;,-1;,0 right)$.
Ta có $sin widehat{left( left( P right),d right)}$$=frac{left| overrightarrow{{{u}_{d}}}.overrightarrow{{{n}_{P}}} right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|.left| overrightarrow{{{n}_{P}}} right|}$$=frac{left| -1.1+2.left( -1 right)+1.0 right|}{sqrt{{{left( -1 right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}.sqrt{{{1}^{2}}+{{left( -1 right)}^{2}}+{{0}^{2}}}}$$=frac{sqrt{3}}{2}$.
Do đó $widehat{left( left( P right),,d right)}=60{}^circ $.
Câu 6. Ta có $sin x=cos x$$Leftrightarrow tan x=1$$Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi $, ($kin mathbb{Z}$).
Theo đề $xin left[ -pi ;,pi right]$$Leftrightarrow -pi le frac{pi }{4}+kpi le pi $$Leftrightarrow -frac{5}{4}le kle frac{3}{4}$.
Mà $kin mathbb{Z}$$Rightarrow $$kin left{ -1;,0 right}$.
Vậy có $2$ nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 7.
$f’left( x right) = 0 Leftrightarrow x{left( {x + 1} right)^2}{left( {x – 2} right)^4} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = – 1\
x = 2
end{array} right.$
Dựa vào bảng trên suy ra hàm số đã cho có một điểm cực trị.
Câu 8. Ta có $sqrt {{x^2} – 3x – 10} < x – 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2} – 3x – 10 ge 0\
x – 2 > 0\
{x^2} – 3x – 10 < {x^2} – 4x + 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x ge 5\
x le – 2
end{array} right.\
x > 2\
x < 14
end{array} right. Leftrightarrow 5 le x < 14$
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T=left[ 5 ;14 right)$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 5\
b = 14
end{array} right. Rightarrow a + b = 19$
Câu 9.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=tan x$ , $y=0,,$, $x=0$, $x=frac{pi }{4}$ quay xung quanh trục $Ox$ là:
$V=pi intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{ta{{n}^{2}}}xdx$$=pi intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left( frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1 right)}dx$$=pi left( tanx-x right)|_{0}^{frac{pi }{4}}$
$=pi left[ left( tan frac{pi }{4}-frac{pi }{4} right)-left( tan 0 right) right]$$=pi left( 1-frac{pi }{4} right)$.
Câu 10. Tác giả: Nguyễn Ngọc Lan; Fb:Ngoclan Nguyen
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có véc tơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{1}}}=left( 2;1;-2 right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}left( 1;0;-2 right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có véc tơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{2}}}=left( -2;-1;2 right)$.
Do $overrightarrow{{{u}_{1}}}$ cùng phương với $overrightarrow{{{u}_{2}}}$ nên ta có $left[ begin{array}{l}
{d_1}{rm{//}},{d_2}\
{d_1} equiv {d_2}
end{array} right.,left( 1 right)$
Thay tọa độ ${{M}_{1}}$ vào phương trình ${{d}_{2}}$ ta được: $frac{1+2}{-2}=frac{-1}{-1}=frac{-2}{2}$, (mệnh đề sai).
Suy ra ${{M}_{1}}notin {{d}_{2}},left( 2 right)$.
Từ $left( 1 right)$và $left( 1 right)$, ta có ${{d}_{1}}text{//},{{d}_{2}}$.
Câu 11. Ta có $z=1+2iRightarrow overline{z}=1-2i$, khi đó $w=2z+overline{z}=2left( 1+2i right)+left( 1-2i right)=3+2i$.
Phần thực của số phức $w$ là 3, phần ảo của số phức $w$ là 2.
$Rightarrow $ Tổng phần thực và phần ảo là: $3+2=5$.
Câu 12.
Hàm số $y={{log }_{a}}x$ có tập xác định là $left( 0;+infty right)$, có tập giá trị là $mathbb{R}$ $Rightarrow $ C, D đúng.
Đồ thị hàm số nhận $Oy$ là tiệm cận đứng $Rightarrow $ B đúng.
Nếu $a>1$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty right)$, nếu $0<a<1$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 0;+infty right)$ $Rightarrow $ A sai.
Câu 13. Cách 1: Xét hàm số $y=fleft( x right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$, ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}-6x-9$.
Ta có $fleft( x right)=left( frac{1}{3}x-frac{1}{3} right).{f}’left( x right)-8x-2$.
Đồ thị hàm số $fleft( x right)$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ nên ${f}’left( {{x}_{A}} right)={f}’left( {{x}_{B}} right)=0$.
Suy ra $left{ begin{array}{l}
{y_A} = fleft( {{x_A}} right) = – 8{x_A} – 2\
{y_B} = fleft( {{x_B}} right) = – 8{x_B} – 2
end{array} right.$
Do đó phương trình đường thẳng $AB$ là $y=-8x-2$.
Khi đó ta có $Nleft( 1,;,-10 right)$ thuộc đường thẳng $AB$. Chọn D.
Cách 2: Xét hàm số $y=fleft( x right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$, ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}-6x-9$. $f’left( x right) = 0 Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0$$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3}\
{x = – 1}
end{array}} right.$
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $Aleft( 3,;,-26 right)$ và $Bleft( -1,;,6 right)$.
Ta có $overrightarrow{AB}left( -4,;,32 right)$ cùng phương với $overrightarrow{u}left( -1,;,8 right)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $Bleft( -1,;,6 right)$ và nhận $overrightarrow{u}left( -1,;,8 right)$ làm vecto chỉ phương là $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1 – t}\
{y = 6 + 8t}
end{array}left( {t in } right)} right.$
Khi đó ta có $Nleft( 1,;,-10 right)$ thuộc đường thẳng $AB$. Chọn D.
Câu 14. Hình lập phương: có $9] mặt phẳng đối xứng.
Câu 15.
Hàm số xác định khi và chỉ khi: ${x^2} – 3x + 2 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 2\
x < 1
end{array} right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $text{D}=left( -infty ,;,1 right)cup left( 2,;,+infty right)$.
Câu 16.
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AD,text{//},BC$.
Ta có: $widehat{left( BC,,,SA right)}=widehat{left( AD,,,SA right)}=widehat{SAD}=60{}^circ $ (Do $Delta SAD$ đều).
Nhận xét: Đề thừa giả thiết.
Câu 17.
${{N}_{1}}$ có chiều cao ${{h}_{1}}=40,cm$, bán kính đáy ${{r}_{1}}$, thể tích ${{V}_{1}}$ .
${{N}_{2}}$ có chiều cao $h,$, bán kính đáy ${{r}_{2}}$, thể tích ${{V}_{2}}$ .
Cắt hình nón ${{N}_{1}}$, ${{N}_{2}}$ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện lần lượt là tam giác cân $OED$, $OFB$ (như hình vẽ)
Ta có$ABtext{//}CD$, suy ra $frac{h}{{{h}_{1}}}=frac{{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}}$.
Mặt khác $frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = frac{1}{8}$$ Leftrightarrow frac{{frac{1}{3}pi r_2^2h}}{{frac{1}{3}pi r_1^2{h_1}}} = frac{1}{8}$$ Leftrightarrow frac{{{h^3}}}{{h_1^3}} = frac{1}{8}$$ Leftrightarrow h = frac{1}{2}{h_1}$$ Leftrightarrow h = 20$
Vậy $h=20$$cm$.
Câu 18.
+) $SAbot left( ABCD right)$$Rightarrow BCbot SA$.
+)$left{ begin{array}{l}
BC bot SA\
BC bot AB
end{array} right.$
$Rightarrow BCbot left( SAB right)$ $Rightarrow BCbot SB$.
Ta có ,$left{ begin{array}{l}
left( {SBC} right) cap left( {ABCD} right) = BC\
SB bot BC\
AB bot BC
end{array} right.$
$Rightarrow left( widehat{left( SBC right),,,left( ABCD right)} right)$$=left( widehat{SB,AB} right)$$=widehat{SBA}$$={{60}^{circ }}$.
Trong tam giác vuông $SAB$, ta có: $tan {{60}^{circ }}=frac{SA}{AB}$$Rightarrow SA=asqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SA.,{{S}_{ABCD}}$$=frac{1}{3}asqrt{3}.a.asqrt{3}$$={{a}^{3}}$.
Câu 19. Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{2}}=2xLeftrightarrow {{x}^{2}}-2x=0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.$
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=2x$ là:
$S=intlimits_{0}^{2}{left| {{x}^{2}}-2x right|}text{d}x$.
Nhận xét: ${{x}^{2}}-2xle 0,forall xin left[ 0;2 right]$.
Nên $text{S=}intlimits_{0}^{2}{left( 2x-{{x}^{2}} right)text{d}x}$$=left. left( {{x}^{2}}-frac{{{x}^{3}}}{3} right) right|_{0}^{2}$$=4-frac{8}{3}$$=frac{4}{3}$.
Câu 20.
Ta có: ${{4}^{{{x}^{2}}-x}}+{{2}^{{{x}^{2}}-x+1}}=3$ $Leftrightarrow {{4}^{{{x}^{2}}-x}}+{{2.2}^{{{x}^{2}}-x}}-3=0$ $left( * right)$.
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}$, $t>0$.
Khi đó phương trình $left( * right)$ trở thành:${t^2} + 2t – 3 = 0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 1\
t = – 3,
end{array} right.$
Đối chiếu với điều kiện $t>0$, ta được $t=1$.
Với $t=1$, ta có ${{2}^{{{x}^{2}}-x}}=1$ $Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 1
end{array} right.$
Vậy $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$$=1$.
Câu 21. Gọi $left( P right)$ là mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{n}$.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $overrightarrow{{{u}_{1}}}=left( 3,;,-1,;,-1 right)$ và $overrightarrow{{{u}_{2}}}=left( 1,;,1,;,-1 right)$.
Mặt cầu $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{left( z+2 right)}^{2}}=6$ có tâm $Ileft( 1,;,0,;,-2 right)$, bán kính $R=sqrt{6}$.
Do $left{ begin{array}{l}
left( P right){rm{//}},{d_1}\
left( P right),{rm{//}},{d_2}
end{array} right.$$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow n bot overrightarrow {{u_1}} \
overrightarrow n bot overrightarrow {{u_2}}
end{array} right.$
. Suy ra $overrightarrow{n}$ cùng phương với $left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},,,overrightarrow{{{u}_{2}}} right]$.
Có $left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},,,overrightarrow{{{u}_{2}}} right]$$=left( 2,;,2,;,4 right)$, nên chọn $overrightarrow{n}=left( 1,;,1,;,2 right)$.
Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng $left( P right)$ có dạng: $x+y+2z+d=0$.
Mặt phẳng $left( P right)$ tiếp xúc với mặt cầu $left( S right)$ $Leftrightarrow dleft( I,left( P right) right)=R$ $Leftrightarrow frac{left| 1+0+2.left( -2 right)+d right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=sqrt{6}$$ Leftrightarrow left| {d – 3} right| = 6$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
d = 9\
d = – 3
end{array} right.$
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đề là $left( {{P}_{1}} right)$: $x+y+2z-3=0$ và $left( {{P}_{2}} right)$: $x+y+2z+9=0$.
Câu 22.
Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình trụ, ta có: $l=2r$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2pi rl=4pi {{r}^{2}}$.
Mặt khác theo giả thiết ${{S}_{xq}}=50pi $. Từ đó suy ra $4pi {{r}^{2}}=50pi $ $Leftrightarrow r=frac{5sqrt{2}}{2}$.
Vậy bán kính của đường tròn đáy $r=frac{5sqrt{2}}{2}$.
Câu 23. Gọi số phức $z=x+yi$, $left( x,yin mathbb{R} right)$ có điểm biểu diễn là $Mleft( x;,y right)$.
Theo đề bài ta có: $left| x+yi-i right|=left| (1+i)left( x+yi right) right|$ $Leftrightarrow left| x+left( y-1 right)i right|=left| left( x-y right)+left( x+y right)i right|$
$Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}}=sqrt{{{left( x-y right)}^{2}}+{{left( x+y right)}^{2}}}$ $Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-1=0$$Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=2$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$là đường tròn tâm $Ileft( 0,;,-1 right)$, bán kính $R=sqrt{2}$.
Câu 24.
Phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$ có 2 nghiệm là ${{z}_{1}}=1+2i$, ${{z}_{2}}=1-2i$.
Vậy $P={{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{2}} right|}^{2}}$$={{left| 1+2i right|}^{2}}+{{left| 1-2i right|}^{2}}$$={{left( sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}} right)}^{2}}+{{left( sqrt{{{1}^{2}}+{{left( -2 right)}^{2}}} right)}^{2}}$$=10$.
Câu 25 .
Chọn mỗi tổ 2 bạn nên số phần tử của không gian mẫu $nleft( Omega right)=C_{8}^{2}.C_{8}^{2}=784$.
Gọi $A$ là biến cố : “Có đúng 3 bạn nữ trong 4 bạn đi lao động”, khi đó
TH1: Chọn 2 nữ tổ I, 1 nữ tổ II, 1 nam tổ II có $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}.C_{4}^{1}$.
TH2: Chọn 2 nữ tổ II, 1 nữ tổ I, 1 nam tổ I có $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{3}^{1}$.
Suy ra $nleft( A right)=C_{3}^{2}.C_{4}^{1}.C_{4}^{1}+C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{3}^{1}=138$.
Xác suất để chọn 4 bạn đi lao động có đúng 3 bạn nữ là $Pleft( A right)=frac{nleft( A right)}{nleft( Omega right)}=frac{138}{784}=frac{69}{392}$.
Câu 26.
Ta có điểm $Ileft( text{2},text{;},text{0},text{;},text{3} right)$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho.
Vectơ pháp tuyến của $left( alpha right)$và $left( beta right)$ lần lượt là ${{vec{n}}_{alpha }}=left( 1,;,text{3},text{;}-1 right)$và ${{vec{n}}_{beta }}=left( 2,;,-1,;,1 right)$.
Ta có $left[ {{{vec{n}}}_{alpha }},{{{vec{n}}}_{beta }} right]=left( 2;-3;-7 right)$.
Gọi $vec{u}$ là 1 vec tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến.
Ta có $left{ begin{array}{l}
vec u bot {{vec n}_alpha }\
vec u bot {{vec n}_beta }
end{array} right.$
, suy ra $vec{u}$ cùng phương với $left[ {{{vec{n}}}_{alpha }},{{{vec{n}}}_{beta }} right]$. Chọn $vec{u}=left( -2;3;7 right)$.
Vậy phương trình đường thẳng giao tuyến là: $frac{x-2}{-2}=frac{y}{3}=frac{z-3}{7}$ .
Câu 27: Từ đồ thị của hàm ${f}’left( x right)$ suy ra bảng biến thiên của hàm $fleft( x right)$ như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng khoảng $left( -infty ;-1 right)$ và $left( 3;+infty right)$.
Câu 28.Ta có: ${y}’=frac{{{x}^{2}}+2x}{{{left( x+1 right)}^{2}}}$ .
+)$left{ begin{array}{l}
y’ = 0\
– frac{1}{2} < x < 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = – 2\
x = 0
end{array} right.\
– frac{1}{2} < x < 2
end{array} right. Leftrightarrow x = 0$
+) $yleft( -frac{1}{2} right)=frac{5}{2}$; $yleft( 0 right)=2$; $yleft( 2 right)=frac{10}{3}$.
Suy ra $M=frac{10}{3}$.
Câu 29. Xét tích phân $intlimits_{0}^{3}{fleft( 2x right)text{d}x}$. Đặt $t=2xRightarrow text{dt}=2text{d}x$.
Đổi cận: $x=0Rightarrow t=0$; $x=3Rightarrow t=6$.
Do đó:$intlimits_{0}^{3}{fleft( 2x right)text{d}x}=frac{1}{2}intlimits_{0}^{6}{fleft( t right)text{dt}=frac{1}{2}intlimits_{0}^{6}{fleft( x right)text{d}x}=5}$.
Vậy $intlimits_{0}^{3}{fleft( 2x right)text{d}x}=5$.
Câu 30.
Ta có ${{6}^{x}}+4le {{2}^{x+1}}+{{2.3}^{x}}$$Leftrightarrow {{6}^{x}}-{{2.3}^{x}}+4-{{2}^{x+1}}le 0$.
$Leftrightarrow {{3}^{x}}left( {{2}^{x}}-2 right)-2left( {{2}^{x}}-2 right)le 0$ $Leftrightarrow left( {{2}^{x}}-2 right)left( {{3}^{x}}-2 right)le 0,,,,left( * right).$
Đặt $fleft( x right)=left( {{2}^{x}}-2 right)left( {{3}^{x}}-2 right)$.
$fleft( x right)=0Leftrightarrow $$left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = {log _3}2
end{array} right.$
Bảng xét dấu:
Do đó: $left( * right)Leftrightarrow {{log }_{3}}2le xle 1$. Mà $xin mathbb{Z}$ nên $x=1$.
Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên.
