Câu 30: Đáp án B
AA’ // (BB’C’C) suy ra $dleft( AA’,(B{{B}^{‘}}{{C}^{‘}}C) right)=dleft( A,(B{{B}^{‘}}{{C}^{‘}}C) right)$
$left. begin{array}{l}
AH bot BC\
AH bot BB’
end{array} right} Rightarrow AH bot left( {BB’C’C} right)$
Suy ra $dleft( A,(B{{B}^{‘}}{{C}^{‘}}C) right)=AH$
Trong $Delta ABC,cograve{u},AH=frac{AB.AC}{BC}=frac{asqrt{3}.a}{2a}=frac{sqrt{3}}{2}$
Câu 31: Đáp án C
Theo đề bài ta có $C_{n}^{3}=2.C_{n}^{2}Leftrightarrow frac{n!}{3!left( n-3 right)!}=2.frac{n!}{2!left( n-2 right)!}Leftrightarrow frac{1}{6}=frac{1}{n-2}Leftrightarrow n=8$.
Câu 32: Đáp án D
Ta có ${y}’=frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+{{m}^{2}}}$ . Do đó ${y}’left( 1 right)=frac{1}{2}Leftrightarrow frac{e}{e+{{m}^{2}}}=frac{1}{2}Leftrightarrow 2e=e+{{m}^{2}}Leftrightarrow {{m}^{2}}=eLeftrightarrow m=pm sqrt{e}$.
Câu 33: Đáp án A
TXĐ: $D=left( -infty ;1 right)cup left( 5;+infty right)$.
Ta có ${y}’=frac{x-3}{sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}}>0Leftrightarrow x>3$. Kết hợp điều kiện suy ra $x>5$.
Vậy hàm số đồng biến trên $left( 5;+infty right)$.
Câu 34: Đáp án A
Số cách chọn 4 học sinh bất kì $nleft( Omega right)=C_{35}^{4}=52360$ (cách).
Số cách chọn 4 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là $C_{20}^{4}+C_{15}^{4}=6210$ (cách).
Do đó số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là $nleft( A right)=52360-6210=46150$ (cách).
Vậy xác suất cần tính là $P=frac{nleft( A right)}{nleft( Omega right)}=frac{46150}{52360}=frac{4615}{5236}$.
Câu 35: Đáp án C
Để đạt được 6 điểm thì thí sinh đó phải trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.
Xác suất trả lời đúng trong 1 câu là 0,25. Xác suất trả lời sai trong 1 câu là 0,75.
Vậy xác suất cần tìm là $C_{50}^{30}.{{left( 0,25 right)}^{30}}.{{left( 0,75 right)}^{20}}=C_{50}^{20}.{{left( 0,25 right)}^{30}}.{{left( 0,75 right)}^{20}}$ .
Câu 36: Đáp án B
Đồ thị (H) có tiệm cận đứng là $x=2$ và tiệm cận ngang là $y=0$.
Câu 37: Đáp án C
Gọi $H$ là hình chiếu của ${A}’$ lên $left( ABC right)$.
Ta có $widehat{left( A{A}’,left( ABC right) right)}=widehat{{A}’AH}={{30}^{0}}Rightarrow {A}’H={A}’A.sin {{30}^{0}}=sqrt{3}$ .
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={A}’H.{{S}_{ABC}}=sqrt{3}.frac{{{3}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{27}{4}$.
Câu 38: Đáp án B
Ta có ${{V}_{S.BCD}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{Delta BCD}}=frac{1}{3}.SA.frac{1}{2}.AB.BC=frac{1}{3}.asqrt{3}.frac{1}{2}.a.a=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}.$
Câu 39: Đáp án C
Ta có ${{S}_{xq}}=pi rl=6pi {{a}^{2}}Rightarrow rl=6{{a}^{2}}$.
Lại có $widehat{OSB}={{60}^{0}}$. Mà $sin widehat{OSB}=frac{OB}{SB}=frac{r}{l}Rightarrow frac{r}{l}=frac{1}{2}$ hay $l=2r$.
Do đó $r=asqrt{3},l=2asqrt{3}Rightarrow h=sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=3a$.
Vậy thể tích V của khối nón là $V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi .3{{a}^{2}}.3a=3pi {{a}^{3}}$ .
Câu 40: Đáp án D
Ta có ${{V}_{A.C{B}'{D}’}}={{V}_{{D}’.AC{B}’}}={{V}_{B.AC{B}’}}={{V}_{{B}’.ABC}}=frac{1}{3}.B{B}’.{{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{3}B{B}’.frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=frac{1}{6}B{B}’.{{S}_{ABCD}}=frac{V}{6}$.
Câu 41: Đáp án B
Gọi $O,O’$ lần lượt là tâm của hai đáy và $I$ là trung điểm của $O{O}’$ thì $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cần tìm.
Ta có $AM=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow AO=frac{2}{3}AM=frac{asqrt{3}}{3}$ và $OI=frac{b}{2}$.
Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là $R=IA=sqrt{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{2} right)}^{2}}}=sqrt{frac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}$ .
Vậy thể tích mặt cầu cần tìm là $V=frac{4}{3}{{left( sqrt{frac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}} right)}^{3}}=frac{pi sqrt{{{left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} right)}^{3}}}}{18sqrt{3}}$
Câu 42: Đáp án A
Ta có $AB = 2sqrt 3 ,widehat {AMB} = {90^0} Rightarrow AM = 3;MB = sqrt 3 $
Vậy ${{V}_{ACDM}}=frac{1}{3}.{{S}_{Delta ADM}}.dleft( C,left( ADM right) right)=frac{1}{3}.frac{1}{2}.AM.AD.CN=frac{1}{6}.3.2sqrt{3}.sqrt{3}=3left( c{{m}^{3}} right)$.
Câu 43: Đáp án D
Để hàm số $y=log left( {{x}^{2}}-2mx+4 right)$ có tập xác định là $mathbb{R}$ thì ${{x}^{2}}-2mx+4>0,,forall xin mathbb{R}$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1 > 0\
Delta ‘ = {m^2} – 4 < 0
end{array} right. Leftrightarrow {m^2} < 4 Leftrightarrow – 2 < m < 2$.
Câu 44: Đáp án A.
Ta có $frac{1}{{{12}^{2}}}=frac{1}{S{{O}^{2}}}+frac{1}{O{{H}^{2}}}=frac{1}{{{20}^{2}}}+frac{1}{O{{H}^{2}}}Rightarrow OH=15left( cm right)$.
$HB=sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}=20left( cm right)$
$Rightarrow {{S}_{Delta AOB}}=frac{1}{2}OH.AB=frac{1}{2}.15.40=300left( c{{m}^{2}} right)$.
Do đó ${{V}_{S.OAB}}=frac{1}{3}SO.{{S}_{Delta AOB}}=frac{1}{3}.20.300=2000left( c{{m}^{3}} right)$.
Vậy ${{S}_{Delta SAB}}=frac{3{{V}_{S.OAB}}}{dleft( O,left( SAB right) right)}=frac{6000}{12}=500left( c{{m}^{2}} right)$.
Câu 45: Đáp án B
Câu 46: Đáp án B
Gọi $M$ là trung điểm của $SARightarrow MA=MB=MCRightarrow $ Gọi $H$ là trọng tâm của $Delta ABC$ thì $MHbot left( ABC right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ thì $left( MIC right)bot ABRightarrow left( widehat{left( SAB right),left( ABC right)} right)=widehat{MIC}={{60}^{0}}$.
Ta có $IH=frac{1}{3}IC=frac{1}{3}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{6}Rightarrow MH=IH.tan {{60}^{0}}=frac{a}{2}Rightarrow dleft( C,left( ABC right) right)=2MH=a.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}.a.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}.$
Câu 47: Đáp án C
ĐK: $x>1,mx-8>0$.
PT$Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{2}}=mx-8Leftrightarrow {{x}^{2}}-left( m+2 right)x+9=0$ (*)
Để PT đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}>1$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta = {left( {m + 2} right)^2} – 36 > 0\
{x_1} + {x_2} = m + 2 > 2\
left( {{x_1} – 1} right)left( {{x_2} – 1} right) = 8 – m > 0
end{array} right. Leftrightarrow 4 < m < 8$.
Thay $m=5,m=6,m=7$ vào ta được $m=5$ là giá trị cần tìm.
Câu 48: Đáp án D
Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Ta có $left( ABC right)bot left( SAB right)$. Do $left( ABC right)cap left( SAB right)=AB$ và $CAbot AB$ nên $CAbot left( SAB right)Rightarrow CAbot SA$ .
Ta có $AC=frac{a}{2}Rightarrow SA=sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{2}$ . Mà $AB=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow Delta SAB$ cân tại A$Rightarrow AMbot SB.$
Ta có $AM=sqrt{S{{A}^{2}}-S{{M}^{2}}}=frac{a}{sqrt{2}}Rightarrow {{S}_{Delta SAB}}=frac{1}{2}.frac{a}{sqrt{2}}.a=frac{{{a}^{2}}}{2sqrt{2}}$.
Do đó ${{V}_{C.SAB}}=frac{1}{3}CA.{{S}_{Delta SAB}}=frac{1}{3}.frac{a}{2}.frac{{{a}^{2}}}{2sqrt{2}}=frac{{{a}^{3}}}{12sqrt{2}}$.
Vậy $dleft( A,left( SBC right) right)=frac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{Delta SBC}}}=frac{frac{{{a}^{3}}}{4sqrt{2}}}{frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}}=frac{a}{sqrt{6}}=frac{asqrt{6}}{6}.$
Câu 49: Đáp án B
Ta có $widehat{left( MN,left( ABCD right) right)=}widehat{MNH}={{60}^{0}},NH=sqrt{{{left( frac{3a}{4} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{4} right)}^{2}}}=frac{asqrt{10}}{4}Rightarrow MH=frac{asqrt{30}}{4}Rightarrow SO=frac{asqrt{30}}{2}$
Gọi I là trung điểm của $AD.$
Kẻ $OKbot SIRightarrow dleft( BC,DM right)=dleft( BC,left( SAD right) right)=dleft( C,left( SAD right) right)=2dleft( M,left( SAD right) right)=2OK$ .
Ta có $frac{1}{O{{K}^{2}}}=frac{1}{O{{I}^{2}}}+frac{1}{O{{S}^{2}}}=frac{1}{{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}+frac{1}{{{left( frac{asqrt{30}}{2} right)}^{2}}}=frac{124}{30{{a}^{2}}}Rightarrow OK=frac{asqrt{30}}{2sqrt{31}}$.
Vậy $dleft( BC,DM right)=2OK=frac{asqrt{30}}{sqrt{31}}$.
Câu 50: Đáp án C.
Đặt $left{ begin{array}{l}
{log _2}a = x\
{log _2}b = y\
{log _2}c = z
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = {2^x}\
b = {2^y}\
c = {2^z}
end{array} right. Rightarrow P = {left( {{2^x}} right)^3} + {left( {{2^y}} right)^3} + {left( {{2^z}} right)^3} – 3left( {x{{.2}^x} + y{{.2}^y} + z{{.2}^z}} right)$,
trong đó ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}le 1$ và $x,y,zin left[ 0;1 right].$
Dễ chứng minh được ${{2}^{x}}le x+1,,,forall xin left[ 0;1 right]$. Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow x=0vee x=1$.
Suy ra
${{left( {{2}^{x}}-x right)}^{3}}le 1Leftrightarrow {{left( {{2}^{x}} right)}^{3}}le 3.{{left( {{2}^{x}} right)}^{2}}.x-{{3.2}^{x}}.{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+1Rightarrow {{left( {{2}^{x}} right)}^{3}}-3x{{.2}^{x}}le 3x{{.2}^{x}}left( {{2}^{x}}-x-1 right)+{{x}^{3}}+1le {{x}^{3}}+1$Từ đó suy ra $Ple left( {{x}^{3}}+1 right)+left( {{y}^{3}}+1 right)+left( {{z}^{3}}+1 right)le 4$.
Dấu bằng xảy ra khi trong ba số $x,y,z$ có 1 số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Do đó chọn C.
