Câu 30: Đáp án C.
Phương pháp giải: Áp dụng công thức lãi kép trong bài toán lãi suất: $T=P{{left( 1+r right)}^{n}}.$
Lời giải: Số tiền mà ông V thu được sau 5 năm là $200.{left( {1 + 7,2% } right)^5} = 283,142$ triệu đồng.
Câu 31: Đáp án B.
Phương pháp giải: Số phức $z=a+bi$ có môđun là $left| z right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Lời giải: Ta có $z=3+2iRightarrow left| z right|=sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=sqrt{13}.$
Câu 32: Đáp án D.
Phương pháp giải: Dựng hình, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng thông qua mặt phẳng song song với đường thẳng
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của $ABRightarrow SHbot ABRightarrow SHbot left( ABCD right).$
Vì $AB//CDRightarrow AB//left( SCD right)Rightarrow dleft( AB;SC right)$
$=dleft( AB;left( SCD right) right)=dleft( H;left( SCD right) right).$
Gọi M là trung điểm của CD, kẻ $HKbot SM,,left( KM right)Rightarrow HKbot left( SCD right).$
Tam giác SAB vuông cân tại S $Rightarrow SH=frac{1}{2}AB=a.$
Tam giác SHM vuông tại H, có :
$frac{1}{H{{K}^{2}}}=frac{1}{S{{H}^{2}}}+frac{1}{H{{M}^{2}}}=frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{4{{a}^{2}}}=frac{5}{4{{a}^{2}}}Rightarrow HK=frac{2asqrt{5}}{5}.$
Vậy khoảng cách cần tính là $dleft( AB;SC right)=frac{2asqrt{5}}{5}.$
Câu 33: Đáp án A.
Phương pháp giải: Dựng hình, xác định vị trí điểm để thể tích lớn nhất
Lời giải: Gọi E là tâm đường tròn (C) $Rightarrow $ Bán kính của (C) là $r=frac{C}{2pi }$
Mà (C) là đường tròn ngoại tiếp $Delta ABCRightarrow AB=frac{3r}{sqrt{3}}=4sqrt{3}Rightarrow {{S}_{Delta ABC}}=frac{A{{B}^{2}}sqrt{3}}{4}=12sqrt{3}.$
Để ${{V}_{ABCD}}$ lớn nhất $Leftrightarrow $ E là hình chiếu của D trên mp (ABCD), tức là $IEcap left( S right)=D.$
Với I là tâm mặt cầu (S) $Rightarrow DE=R+IE=R+sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=5+sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=8.$
Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{ABCD}}=frac{1}{3}.DE.{{S}_{Delta ABC}}=frac{8}{3}.12sqrt{3}=32sqrt{3},,c{{m}^{3}}.$
Câu 34: Đáp án B.
Phương pháp giải:
Đưa về phương trình đa thức chứa tham số, cô lập tham số, khảo sát hàm để biện luận nghiệm
Lời giải: Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
mx – 6{x^3} > 0\
– 14{x^2}29x – 2 > 0
end{array} right..$
Phương trình $Leftrightarrow {{log }_{2}}left( mx-6{{x}^{3}} right)={{log }_{2}}left( -14{{x}^{2}}+29x-2 right)$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 14{x^2} + 29x – 2 > 0\
mx – 6{x^3} = – 14{x^2} + 29x – 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
14{x^2} – 29x + 2 < 0\
mx = 6{x^3} – 14{x^2} + 29x – 2
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
frac{1}{{14}} < x < 2\
m = 6{x^2} – 14x + 29 – frac{2}{x},,,(*),,,left( {do,,,x > 0} right)
end{array} right..$
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $Leftrightarrow (*)$ có ba nghiệm phân biệt $xin left( frac{1}{14};2 right).$
Xét hàm số $fleft( x right)=6{{x}^{2}}-14x+29-frac{2}{x}$ trên khoảng $left( frac{1}{14};2 right).$
Ta có $f’left( x right) = 12x – 14 + frac{2}{{{x^2}}} = frac{{12{x^3} – 14{x^2} + 2}}{{{x^2}}} Rightarrow f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = frac{1}{2}
end{array} right.,,left( {do,,frac{1}{{14}} < x < 2} right).$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*)có ba nghiệm phân biệt khi $19<m<frac{39}{2}.$
Vậy $min left( 19;frac{39}{2} right)=left( a;b right)Rightarrow a=19;b=frac{39}{2}.$
Vậy $b-a=frac{39}{2}-19=frac{1}{2}.$
Câu 35: Đáp án B.
Phương pháp giải: Cô lập tham số m, đưa về khảo sát hàm số để biện luận nghiệm của phương trình
Lời giải:
Ta có ${{3}^{{{sin }^{2}}x}}+{{3}^{co{{s}^{3}}x}}=m{{.3}^{{{sin }^{2}}x}}+{{3}^{1-{{sin }^{2}}x}}=m{{.3}^{{{sin }^{2}}x}}Leftrightarrow m={{left( frac{2}{3} right)}^{{{sin }^{2}}x}}+{{3}^{1-2{{sin }^{2}}x}}$ (*).
Đặt $t={{sin }^{2}}xin left[ 0;1 right],$ khi đó (*) trở thành: $m={{left( frac{2}{3} right)}^{t}}+{{3}^{1-2t}}={{left( frac{2}{3} right)}^{t}}+3{{left( frac{1}{3} right)}^{2t}}.$
Xét hàm số $fleft( t right)={{left( frac{2}{3} right)}^{t}}+3.{{left( frac{1}{3} right)}^{2t}}$ trên $left[ 0;1 right],$ có $f’left( t right)={{left( frac{2}{3} right)}^{t}}.ln frac{2}{3}+6.{{left( frac{1}{3} right)}^{2t}}.ln frac{1}{3}<0.$
Suy ra $fleft( t right)$ là hàm số nghịch biến trên $left[ {0;1} right] Rightarrow left{ begin{array}{l}
min fleft( t right) = fleft( 1 right) = 1\
max fleft( t right) = fleft( 0 right) = 4
end{array} right..$
Do đó, để phương trình $m=fleft( t right)$ có nghiệm $Leftrightarrow 1le mle 4.$
Lại có $min ZRightarrow Min left{ 1;2;3;4 right}$
Câu 36: Đáp án C.
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng và tổng cấp số cộng.
Lời giải: Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
{u_5} > 0\
{u_9} + 8 > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u_1} + 4d > 0\
{u_1} + 8d + 8 > 0
end{array} right..$
Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+6,,forall nge 2Rightarrow left( {{u}_{n}} right)$ là cấp số cộng với công sai $d=6.$
Lại có: ${{log }_{2}}{{u}_{5}}+{{log }_{sqrt{2}}}sqrt{{{u}_{9}}+8}=11Leftrightarrow {{log }_{2}}{{u}_{5}}+{{log }_{2}}left( {{u}_{9}}+8 right)=11Leftrightarrow {{log }_{2}}left[ {{u}_{5}}left( {{u}_{9}}+8 right) right]=11$
$Leftrightarrow {{u}_{5}}left( {{u}_{9}}+8 right)={{2}^{11}}Leftrightarrow left( {{u}_{1}}+4d right)left( {{u}_{1}}+8d+8 right)={{2}^{11}}Leftrightarrow left( {{u}_{1}}+24 right)left( {{u}_{1}}+56 right)=2048$
$ Leftrightarrow u_1^2 + 80{u_1} – 704 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{u_1} = 8,,left( {tm} right)\
{u_1} = – 88,,left( {ktm} right)
end{array} right..$
Do đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}=frac{nleft[ 2{{u}_{1}}+left( n-1 right)d right]}{2}=frac{nleft( 16+6left( n-1 right) right)}{2}=3{{n}^{2}}+5n.$
Vậy ${S_n} ge 20172018 Leftrightarrow 3{n^2} + 5n – 20172018 ge 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
n ge 2592,234\
n le 2593,9,,,left( {ktm} right)
end{array} right. Rightarrow {n_{min }} = 2593.$
Câu 37: Đáp án A.
Phương pháp giải: Tính đạo hàm, biện luận phương trình để hàm số có cực tiểu
Lời giải:
Xét $fleft( x right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3left( m+1 right){{x}^{2}}+1,$ có $f’left( x right)=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6left( m+1 right)x;,forall xin mathbb{R}.$
Phương trình $f’left( x right) = 0 Leftrightarrow 2xleft( {2{x^2} + 6mx + 3m + 3} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
2{x^2} + 6mx + 3m + 3 = 0,,,(*)
end{array} right..$
Vì hệ số $a=1>0$ nên để hàm số có thể có 2 cực tiểu và 1 cực đại $Rightarrow $ hàm số có 1 cực tiểu mà không có cực đại $Leftrightarrow $ Phương trình (*) vô nghiệm $Leftrightarrow Delta _{(*)}^{‘}<0$
$Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-6m-6<0Leftrightarrow frac{1-sqrt{7}}{3}<m<frac{1+sqrt{7}}{3}Leftrightarrow -0,55<m<1,2.$
Kết hợp với $min mathbb{Z},$ ta được $m=left{ 0;1 right}Rightarrow sum{m=1.}$
Câu 38: Đáp án D.
Phương pháp giải:
Dựng hình, xác định góc giữa hai mặt phẳng qua mặt phẳng vuông góc với giao tuyến
Lời giải:
Gọi O là tâm hình thoi ABC, kẻ $OHbot SC,,,left( HC right)$ (1).
Ta có $left{ begin{array}{l}
SA bot BD\
AC bot BD
end{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAC} right) Rightarrow BD bot SC$ (2).
Từ (1), (2) $Rightarrow SCbot left( HBD right)Rightarrow left( SBC right);,left( SCD right)=left( BH;DH right)=BHD.$
Lại có:$Delta CHOsim Delta CASRightarrow frac{OH}{SA}=frac{OC}{SC}Rightarrow OH=frac{3asqrt{2}}{4}:frac{3asqrt{2}}{2}=frac{a}{2}.$
Tam giác OHD vuông tại O, có $tan OHD=frac{OD}{OH}=1Rightarrow OHD={{45}^{0}}.$
Vậy $left( SBC right);left( SCD right)=BHD=2times OHD={{90}^{0}}.$
Câu 39: Đáp án A.
Phương pháp giải: Dựng hình, xác định tập hợp tiếp điểm
Lời giải:
Xét mặt cầu $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ có tâm $Ileft( 1;1;0 right),$ bán kính $R=2.$
Ta có $overrightarrow{IM}=left( 1;2;-1 right)Rightarrow IM=sqrt{6}.$ Gọi A,B là các tiếp điểm.
$Rightarrow $ E là tâm đường tròn (C), với bán kính $r=EA$ (Hình vẽ bên).
Tam giác MAI vuông tại A, có $MA=sqrt{M{{I}^{2}}-I{{A}^{2}}}=sqrt{{{left( sqrt{6} right)}^{2}}-{{2}^{2}}}=sqrt{2}.$
Suy ra $EA=frac{MA.IA}{sqrt{M{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}}}=frac{2sqrt{3}}{3}.$ Vậy bán kính của (C) là $frac{2sqrt{3}}{3}.$
Câu 40: Đáp án C.
Phương pháp giải: Áp dụng ứng dụng của tích có hướng trong không gian
Lời giải:
Vì $Delta subset left( P right)Rightarrow {{overrightarrow{u}}_{Delta }}bot {{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}$ và $Delta bot dRightarrow {{overrightarrow{u}}_{Delta }}bot overrightarrow{{{n}_{d}}}$ suy ra ${{overrightarrow{u}}_{Delta }}=left[ {{overrightarrow{u}}_{left( P right)}};{{overrightarrow{u}}_{d}} right]=left( 0;3;6 right)=3left( 0;1;2 right).$
Vậy $overrightarrow u = left( {a;1;b} right) = left( {0;1;2} right) to left{ begin{array}{l}
a = 0\
b = 2
end{array} right. Rightarrow S = a + b = 2.$
Câu 41: Đáp án B.
Phương pháp giải: Tính đạo hàm, áp dụng điểu kiện để hàm số đồng biến trên khoảng
Lời giải:
Xét hàm số $y=x+5+frac{1-m}{x-2}$ trên $left[ 5;+infty right),$ có $y’=1-frac{1-m}{{{left( x-2 right)}^{2}}}=frac{{{x}^{2}}-4x+3+m}{{{left( x-2 right)}^{2}}};,,forall xge 5.$
Hàm số đồng biến trên $left[ 5;+infty right)Leftrightarrow y’ge 0;,,forall xin left[ 5;+infty right)Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3+mge 0;,,forall xge 5$
$Leftrightarrow mge -{{x}^{2}}+4x-3;,,forall xge 5Leftrightarrow mge underset{left[ 5;+infty right)}{mathop{max}},left{ -{{x}^{2}}+4x-3 right}Leftrightarrow mge -8.$
Câu 42: Đáp án C.
Phương pháp giải: Lập phương trình tiếp tuyến, sử dụng điều kiện tiếp xúc để tìm tham số m
Lời giải:
Gọi phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M, có hệ số góc k là d: $y=kleft( x-m right)-4.$
Vì (C) tiếp xúc với d nên ta có hệ $left{ begin{array}{l}
3{x^2} – 6x = k\
{x^3} – 3{x^2} = kleft( {x – m} right) – 4
end{array} right. Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} = left( {3{x^2} – 6x} right)left( {x – m} right) – 4$
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=left( 3{{x}^{2}}-6x right)left( x-m right)Leftrightarrow {{left( x-2 right)}^{2}}left( x+1 right)=3xleft( x-2 right)left( x-m right)$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 2 = 0\
{x^2} – x – 2 = 3xleft( {x – m} right)
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
{x^2} – x – 2 = 3{x^2} – 3mx
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
underbrace {3{x^2} – left( {3m – 1} right)x + 2}_{fleft( x right)} = 0
end{array} right.$
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến tới $left( C right)Leftrightarrow fleft( x right)=0$có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ne 2\
left[ begin{array}{l}
m > frac{5}{3}\
m < – 1
end{array} right.
end{array} right..$
Kết hợp với $left{ begin{array}{l}
m in Z\
m in left[ { – 10;10} right]
end{array} right. Rightarrow m in left[ { – 10; – 1} right) cup left( {frac{5}{3};10} right]backslash left{ 2 right} Rightarrow $ có $8+9=17$ giá trị nguyên m cần tìm.
Câu 43: Đáp án B.
Phương pháp giải:
Chia khoảng để phá trị tuyệt đối, qua đó tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)$
Lời giải:
Ta có $fleft( x right) = left| {1 + x} right| – left| {1 – x} right| = left{ begin{array}{l}
2,,,,khi,,x ge 1\
2x,khi,, – 1 le x < 1\
– 2,,khi,x < – 1
end{array} right. Rightarrow Fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
2x + {C_1},,khi,,x ge 1\
{x^2} + {C_2},,khi,, – 1 le x < 1\
– 2x + {C_3},,khi,,x < – 1
end{array} right.$
Theo đề bài ta có: $left{ begin{array}{l}
Fleft( 1 right) = 3\
Fleft( { – 1} right) = 2\
Fleft( { – 2} right) = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2 + {C_1} = 3\
1 + {C_2} = 2\
4 + {C_3} = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{C_1} = 1\
{C_2} = 1\
{C_3} = 0
end{array} right.$
$ Rightarrow Fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
2x + 1,,khi,,x ge 1\
{x^2} + 1,,khi,, – 1 le x < 1\
– 2x,,,,,khi,,x < – 1
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
Fleft( 2 right) = 2.2 + 1 = 5\
Fleft( 0 right) = 1\
Fleft( { – 3} right) = – 2.left( { – 3} right) = 6
end{array} right..$
$Rightarrow T=5+1+6=12.$
Câu 44: Đáp án D.
Phương pháp giải:
Xét hàm bên trong dấu trị tuyệt đối trên đoạn, so sánh các giá trị để tìm min
Lời giải: Đặt $t={{e}^{x}},$ với $xin left[ 0;ln 4 right]Rightarrow tleft[ 1;4 right].$
Khi đó, hàm số trở thành: $gleft( t right)=left| {{t}^{2}}-4t+m right|.$
Xét hàm số $uleft( t right)={{t}^{2}}-4t+m$ trên $left[ 1;4 right],$ có $u’left( t right)=2t-4=0Leftrightarrow t=2.$
Tính $uleft( 1 right)=m-3;uleft( 2 right)=m-4;uleft( 4 right)=m$ suy ra $gleft( 1 right)=left| m-3 right|;,gleft( 2 right)=left| m-4 right|;,gleft( 4 right)=left| m right|.$
TH1. $left{ begin{array}{l}
left| {m – 4} right| le left{ {left| {m – 3} right|;left| m right|} right}\
mathop {min }limits_{left[ {1;4} right]} gleft( t right) = left| {m – 4} right| = 6
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left| {m – 4} right| le left{ {left| {m – 3} right|;left| m right|} right}\
left[ begin{array}{l}
m = 10\
m = – 2
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow m = 10.$
TH2. $left{ begin{array}{l}
left| {m – 3} right| le left{ {4;left| m right|} right}\
mathop {min }limits_{left[ {1;4} right]} gleft( t right) = left| {m – 3} right| = 6
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left| {m – 3} right| le left{ {left| {m – 4} right|;left| m right|} right}\
left[ begin{array}{l}
m = 9\
m = – 3
end{array} right.
end{array} right. Rightarrow $ Vô nghiệm.
TH3. $left{ begin{array}{l}
left| m right| le left{ {left| {m – 4} right|;left| {m – 3} right|} right}\
mathop {min }limits_{left[ {1;4} right]} gleft( t right) = left| m right| = 6
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left| m right| le left{ {left| {m – 4} right|;left| {m – 3} right|} right}\
left[ begin{array}{l}
m = 6\
m = – 6
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow m = – 6.$
Vậy $m=left{ 10;-6 right}$ là hai giá trị cần tìm.
Câu 45: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm của hàm hợp, giải phương trình đạo hàm để tìm số điểm cực trị
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ, ta thấy $f’left( x right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $left{ begin{array}{l}
x = {x_1} < 0\
x = left{ {{x_2};{x_3}} right} > 0
end{array} right..$
Ta có: $gleft( x right) = fleft( {left| x right|} right) + 2018 = left[ begin{array}{l}
fleft( x right) + 2018,,khi,,x ge 0\
fleft( { – x} right) + 2018,,khi,,x < 0
end{array} right.$ $ Rightarrow g’left( x right) = left[ begin{array}{l}
f’left( x right),,khi,,x ge 0\
– f’left( { – x} right),,khix < 0
end{array} right.$
$g’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
f’left( x right) = 0,,khi,,x ge 0\
– f’left( { – x} right) = 0,,khi,,x < 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = {x_2}\
x = {x_3}\
x = – {x_2}\
x = – {x_3}
end{array} right..$
Do đó $g’left( x right)=0$ bị triệt tiêu tại 4 điểm ${{x}_{2}},-{{x}_{2}},{{x}_{3}},-{{x}_{3}}$ và không có đạo hàm tại $x=0.$
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Câu 46: Đáp án A.
Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản trong bài toán sắp xếp đồ vật
Lời giải: Xếp 5 quyển Toán (coi Toán T1 và Toán T2 là một) có $5!.2!=240$ cách.
Khi đó, sẽ tạo ra 4 khoảng trống kí hiệu như sau: _T_T_T_T_T_
Xếp 3 quyển sách Tiếng Anh vào 4 khoảng trống giữa hai quyển toán có $A_{4}^{3}$ cách.
Xếp 1 quyển sách Văn vào 3 vị trí còn lại có 3 cách.
Vậy xác suất cần tính là $P=frac{240.A_{4}^{3}.3}{10!}=frac{1}{210}.$
Câu 47: Đáp án D.
Phương pháp giải: Dựng hình, áp dụng công thức trung tuyến để biện luận giá trị lớn nhất
Lời giải:
Xét mặt cầu (S): ${{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}+{{left( z-2 right)}^{2}}=9$ có tâm $Ileft( 1;2;2 right),$ bán kính $R=3.$
Ta có $MI=NI=3sqrt{5}>3=RRightarrow $ M, N nằm bên ngoài khối cầu (S).
Gọi H là trung điểm của MN $Rightarrow Hleft( 5;-2;4 right)$ và $E{{H}^{2}}=frac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-frac{M{{N}^{2}}}{4}.$
Lại có ${{left( EM+EN right)}^{2}}le left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} right)left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} right)=2left( E{{H}^{2}}+frac{M{{N}^{2}}}{4} right).$
Để ${{left{ EM+EN right}}_{max}}Leftrightarrow E{{H}_{max}}$
Khi và chỉ khi E là giao điểm của IH và mặt cầu (S).
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của (S) tại E $Rightarrow overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=a.overrightarrow{EI}=b.overrightarrow{IH}=bleft( 4;-4;2 right).$
Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( 2;-2;1 right)=frac{1}{2}left( 4;-4;2 right)$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $2x-2y+z+9=0.$
Câu 48: Đáp án C.
Phương pháp giải: Chia thành các khối đa diện nhỏ để tính thể tích
Lời giải:
Đặt $V={{V}_{ABC.A’B’C’}}.$ Ta có ${{V}_{ABCMNP}}={{V}_{P.ABMN}}+{{V}_{P.ABC}},$
Mặt khác:
- ${{V}_{P.ABC}}=frac{1}{3}.dleft( P;left( ABC right) right).{{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{6}.dleft( C;left( ABC right) right).{{S}_{Delta ABC}}=frac{V}{6}.$
- $frac{{{S}_{ABMN}}}{{{S}_{ABB’A’}}}=frac{AM+BN}{text{AA}’+BB’}=frac{frac{2}{3}text{AA}’+frac{1}{3}BB’}{text{AA}’+BB’}=frac{1}{2}$
$Rightarrow {{V}_{P.ABMN}}=frac{1}{2}{{V}_{C.ABB’A’}}.$
Mà ${{V}_{C.ABB’A’}}=frac{2}{3}V$ suy ra ${{V}_{P.ABMN}}=frac{1}{2}.frac{2}{3}V=frac{V}{3}.$
Khi đó ${{V}_{ABCMNP}}=frac{V}{6}+frac{V}{3}=frac{V}{2}.$
Vậy $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{V}{2}:frac{V}{2}=1.$
Câu 49: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Đưa về biện luận vị trí giữa hai điểm thuộc đường tròn để khoảng cách của chúng lớn nhất
Lời giải:
Ta có $left| {{z}_{1}}-3i+5 right|=2Leftrightarrow left| 2ileft( {{z}_{1}}-3i+5 right) right|=2.left| 2i right|Leftrightarrow left| 2i{{z}_{1}}+6+10i right|=4.$
Và $left| i{{z}_{2}}-1+2i right|=4Leftrightarrow left| {{z}_{2}}-frac{1-2i}{i} right|=4Leftrightarrow left| {{z}_{2}}+2+i right|=4Leftrightarrow left| -3{{z}_{2}}-6-3i right|=12.$
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = 2i{z_1}\
v = – 3{z_2}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
left| {u + 6 + 10i} right| = 4\
left| {v – 6 – 3i} right| = 12
end{array} right.$ và $T=left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} right|=left| 2i{{z}_{1}}-left( -3{{z}_{2}} right) right|=left| u-v right|.$
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn ${{left( x+6 right)}^{2}}+{{left( y+10 right)}^{2}}=16$ tâm ${{I}_{1}}left( -6;-10 right),$${{R}_{1}}=4.$
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn ${{left( x-6 right)}^{2}}+{{left( y-3 right)}^{2}}=144$ tâm ${{I}_{2}}left( 6;3 right),$ ${{R}_{2}}=12.$
Khi đó $T=M{{N}_{max }}Leftrightarrow MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=sqrt{{{12}^{2}}+{{12}^{2}}}+4+12=sqrt{313}+16.$
Câu 50: Đáp án C.
Phương pháp giải: Áp dụng các đánh giá bất đẳng thức tích phân
Lời giải:
Ta có $-1le f’left( t right)le 1$ suy ra $left{ begin{array}{l}
intlimits_0^x { – 1dt le intlimits_0^x {f’left( t right)dt le intlimits_0^x {1dt} } } \
intlimits_x^2 { – 1dt le intlimits_x^2 {f’left( t right)dt le intlimits_x^2 {1dt} } }
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– x le fleft( x right) – 1 le x\
x – 2 le 1 – fleft( x right) le 2 – x
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
1 – x le fleft( x right) le x + 1\
x – 1 le fleft( x right) le 3 – x
end{array} right. Leftrightarrow intlimits_0^2 {left| {x – 1} right|dx le intlimits_0^2 {min left{ {x + 1;3 – x} right}dx Leftrightarrow intlimits_0^2 {fleft( x right)dx ge 1.} } } $
