Đáp án
|
1-A |
2-C |
3-A |
4-D |
5-D |
6-A |
7-B |
8-C |
9-A |
10-C |
|
11-B |
12-A |
13-C |
14-A |
15-D |
16-B |
17-D |
18-A |
19-B |
20-C |
|
21-D |
22-B |
23-A |
24-B |
25-A |
26-B |
27-C |
28-D |
29-D |
30-C |
|
31-B |
32-D |
33-A |
34-B |
35-B |
36-C |
37-A |
38-D |
39-A |
40-C |
|
41-B |
42-C |
43-B |
44-D |
45-A |
46-A |
47-D |
48-C |
49-A |
50-C |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A
Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=fleft( x right),,,y=gleft( x right)$ và các đường thẳng $x=a;$ $x=b,,left( a<b right)$ là $S=intlimits_{a}^{b}{left| fleft( x right)-gleft( x right) right|dx}$
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình: ${x^2} – 2x = x Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 3
end{array} right..$
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là $S = intlimits_0^3 {left| {{x^2} – 3x} right|dx = intlimits_0^3 {left( {3x – {x^2}} right)dx = left( {frac{{3{x^2}}}{2} – frac{{{x^3}}}{3}} right)left| begin{array}{l}
^3\
_0
end{array} right. = frac{9}{2}.} } $
Câu 2: Đáp án C.
Phương pháp giải:
Tính giới hạn khi x dần tới vô cùng để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)Leftrightarrow underset{xto infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=b.$
Lời giải: Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
- $y={{x}^{3}}-x-1xrightarrow{{}}underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},left( {{x}^{3}}-x-1 right)=infty Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.
- $y=frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{2}}+1}xrightarrow{{}}underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{2}}+1}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{1+frac{1}{{{x}^{3}}}}{frac{1}{x}+frac{1}{{{x}^{3}}}}=infty Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.
- $y=frac{3{{x}^{3}}+2x-1}{4{{x}^{2}}+5}xrightarrow{{}}underset{xto infty }{mathop{lim }},=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{3{{x}^{3}}+2x-1}{4{{x}^{2}}+5}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{3+frac{2}{x}-frac{1}{{{x}^{2}}}}{4+frac{5}{{{x}^{2}}}}=frac{3}{4}Rightarrow y=frac{3}{4}$ là TCN.
- $y=sqrt{2{{x}^{2}}+3}xrightarrow{{}}underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},sqrt{2{{x}^{2}}+3}=infty Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.
Câu 3: Đáp án D.
Phương pháp giải: Dựng hình, dựa vào tam giác cân để xác định các yếu tố vuông góc
Lời giải: Với hình chóp tam giác đều S.ABC thì: góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, hai cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Câu 4: Đáp án D.
Phương pháp giải: Dựng hình để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau : Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa a’ và b với a // a’.
Lời giải: Vì ABCD là hình vuông $Rightarrow ACbot BD$ mà $AC//A’C’Rightarrow A’C’bot BD.$
Câu 5: Đáp án D.
Phương pháp giải:
+) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai, tìm nghiệm x.
+) Áp dụng hệ thức Vi-ét của phương trình bậc hai: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{b}{a}.$
+) Áp dụng công thức logarit: ${{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c={{log }_{a}}bc.$
Lời giải: Ta có $log _{2}^{2}x+{{log }_{2}}x=frac{17}{4}Leftrightarrow 4.{{left( {{log }_{2}}x right)}^{2}}+4.{{log }_{2}}x-17=0$
Đặt $t={{log }_{2}}xRightarrow ptLeftrightarrow 4{{t}^{2}}+4t-17=0.$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-frac{4}{4}=-1.$
$Rightarrow {{log }_{2}}{{x}_{1}}+{{log }_{2}}{{x}_{2}}=-1Leftrightarrow {{log }_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{2}^{-1}}=frac{1}{2}.$
Câu 6: Đáp án A.
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức lôgarit cơ bản
Lời giải:
Các công thức cơ bản liên quan đến lôgarit: $ln {{a}^{b}}=bln a,,ln ab=ln a+ln b,ln frac{a}{b}=ln a-ln b.$
Câu 7: Đáp án B.
Phương pháp giải: Đổi biến số hoặc bấm máy tính
Lời giải: Ta có: $I=intlimits_{0}^{1}{{{e}^{x+1}}dx=intlimits_{0}^{1}{{{e}^{x+1}}dleft( x+1 right)={{e}^{x+1}}left| _{0}^{1} right.={{e}^{2}}-e.}}$
Câu 8: Đáp án C.
Phương pháp giải: Dựa vào hình dáng của đồ thị để xét tính đơn điệu.
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $left( -1;0 right)$ và $left( 1;+infty right).$
Câu 9: Đáp án A.
Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu số để tính lim
Lời giải: Ta có $underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{3x-1}{x+5}=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{3-frac{1}{x}}{1+frac{5}{x}}=3$ vì $underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{1}{x}=0.$
Câu 10: Đáp án C.
Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản
Lời giải:
Chọn 3 học sinh trong 10 học sinh có $C_{10}^{3}$ cách $Rightarrow nleft( Omega right)=C_{10}^{3}=120.$
Gọi X là biến cố trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ
Ta xét các trường hợp sau:
TH1. Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam $Rightarrow $ có $C_{7}^{2}.C_{3}^{1}=63$ cách.
TH2. Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam $Rightarrow $ có $~C_{7}^{1}.C_{3}^{2}=21$ cách.
TH3. Chọn 3 học sinh nữ và 0 học sinh nam $Rightarrow $ có $~C_{3}^{3}=1$ cách.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $nleft( X right)=63+21+1=85.$
Vậy xác suất cần tính là $P=frac{nleft( x right)}{nleft( Omega right)}=frac{85}{120}=frac{17}{24}.$
Câu 11: Đáp án B.
Phương pháp giải: Gọi tọa độ điểm, tính khoảng cách và tìm tọa độ tâm thông qua bán kính
Lời giải: Ta có $d:left{ begin{array}{l}
x = 3 + t\
y = t\
x = – 2 + t
end{array} right..$
Vì $Iin dRightarrow Tleft( t+3;t;t-2 right)Rightarrow overrightarrow{MI}=left( t+1;t+1;t-2 right).$
$Rightarrow IM=sqrt{{{left( t+1 right)}^{2}}+{{left( t+1 right)}^{2}}+{{left( t-2 right)}^{2}}}=sqrt{3{{t}^{2}}+6}$
Phương trình mặt phẳng (Oxy): $z=0.$
Khoảng cách từ tâm $Ixrightarrow{{}}mp,,left( text{Ox}y right)$ là $dleft( I;left( text{Ox}y right) right)=left| t-2 right|.$
Theo bài ra, ta có $R=IM=dleft( I;text{Ox}y right)Leftrightarrow sqrt{3{{t}^{2}}+6}=left| t-2 right|Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+6={{t}^{2}}-4t+4Leftrightarrow t=-1.$
Vậy có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn bài toán.
Câu 12: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số, điểm cực trị và tọa độ giao điểm với hai trục tọa độ
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
- Đồ thị hàm số bậc ba, có $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=+infty Rightarrow $ Hệ số $a>0.$
- Đồ thị nhận gốc tọa độ $Oleft( 0;0 right)$ làm tâm đối xứng $Rightarrow $ Hàm lẻ: $fleft( x right)=fleft( -x right)$
Trong 4 đáp án, có duy nhất hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ thỏa mãn 2 điều kiện trên.
Câu 13: Đáp án C.
Phương pháp giải: Lấy môđun hai vế để tìm $left| z right|,$ thế ngược lại để tìm số phức z
Lời giải: Ta có $z.left| z right|+2z+i=0Leftrightarrow left( left| z right|+2 right)z=-i.$
Lấy môđun 2 vế, ta được $left( left| z right|+2 right)left| z right|=left| -i right|=1.$
${{left| z right|}^{2}}+2left| z right|-1=0Leftrightarrow left| z right|=-1+sqrt{2}Rightarrow z=-frac{i}{left| z right|+2}$
$Leftrightarrow {{left| z right|}^{2}}+2left| z right|-1=0Leftrightarrow left| z right|=-1+sqrt{2}Rightarrow z=-frac{i}{left| z right|+2}$
$ Leftrightarrow z = – frac{i}{{ – 1 + sqrt 2 + 2}} = frac{{ – i}}{{1 + sqrt 2 }} = left( {1 – sqrt 2 } right)i Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 0\
b = 1 – sqrt 2
end{array} right..$
Vậy $T=a+{{b}^{2}}=0+{{left( 1-sqrt{2} right)}^{2}}=3-2sqrt{2}.$
Câu 14: Đáp án A.
Phương pháp giải: Hoán vị của n phần tử chính là n giai thừa
Lời giải: Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là 10!.
Câu 15: Đáp án D.
Phương pháp giải: Công thức tính thể tích khối chóp $V=frac{1}{3}Sh$
Lời giải: Thể tích khối chóp S.ABC là
$V=frac{1}{3}.SA.{{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{3}.SA.frac{1}{2}.AB.AC=frac{2a.3a.4a}{6}=4{{a}^{3}}.$
Câu 16: Đáp án B.
Phương pháp giải: Nguyên hàm cơ bản của hàm số lượng giác
Lời giải: Ta có $int{fleft( x right)dx=int{left( sin 5x+2 right)dx=-frac{1}{5}cos5x+2x+C.}}$
Câu 17: Đáp án D.
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản
Lời giải:
Ta có ${{left( frac{1}{3} right)}^{2x-1}}ge frac{1}{3}Leftrightarrow {{left( frac{1}{3} right)}^{2x-1}}ge {{left( frac{1}{3} right)}^{1}}Leftrightarrow 2x-1le 1Leftrightarrow xle 1Rightarrow S=left( -infty ;1 right].$
Câu 18: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Cách 1 : Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất.
Cách 2 : Giải phương trình $y’=0$ tìm các nghiệm ${{x}_{i}}.$
+) Tính các giá trị $yleft( {{x}_{i}} right);$ $yleft( a right);$ $yleft( b right).$
+) So sánh các giá trị trên và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải:
Xét hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+1$ trên $left[ -4;4 right],$ có $y’ = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 4 le x le 4\
3{x^2} + 6x – 9 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = – 3
end{array} right..$
Tính giá trị $yleft( -4 right)=21;$ $yleft( -3 right)=28;$ $yleft( 1 right)=-4;$ $yleft( 4 right)=77.$
Vậy $underset{left[ -4;4 right]}{mathop{min }},y=-4.$
Câu 19: Đáp án B.
Phương pháp giải: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm phức
Lời giải:
Ta có ${z^2} + 6z + 13 = 0 Leftrightarrow {z^2} + 6z + 9 = – 4 Leftrightarrow {left( {z + 3} right)^2} = {left( {2i} right)^2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{z_1} = – 3 – 2i\
{z_2} = – 3 + 2i
end{array} right..$
Vậy $omega ={{z}_{1}}+2{{z}_{2}}=-2-2i+2left( -3+2i right)=-9+2i.$
Câu 20: Đáp án C.
Phương pháp giải: Mặt phẳng (P) có phương trình $ax+by+cz+1=0Rightarrow {{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}=left( a;b;c right)$
Lời giải: Vectơ pháp tuyến của (P) là $overrightarrow{n}=left( 0;1;-2 right).$
Câu 21: Đáp án D.
Phương pháp giải: Thay tọa độ điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng
Lời giải: Dễ thấy $Mleft( 0;2;1 right)$ không thỏa mãn phương trình $frac{x-1}{1}=frac{y}{-2}=frac{z-1}{2}.$
Câu 22: Đáp án B.
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=fleft( x right),,y=gleft( x right)$ và các đường thẳng $x=a;$ $x=b$ $left( a<b right)$ là ${{S}_{H}}=intlimits_{a}^{b}{left| fleft( x right)-gleft( x right) right|}dx.$
Lời giải: Diện tích hình phẳng (H) cần tính là ${{S}_{H}}=intlimits_{a}^{b}{left| fleft( x right)-gleft( x right) right|}dx.$
Câu 23: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là ${{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}}$
Lời giải: Xét khai triển ${{left( 3{{x}^{3}}-frac{2}{{{x}^{2}}} right)}^{5}}=sumlimits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}.{{left( 3{{x}^{3}} right)}^{5-k}}.{{left( -frac{2}{{{x}^{2}}} right)}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{.3}^{5-k}}.{{left( -2 right)}^{k}}.{{x}^{15-5k}}.}}$
Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ ứng với $15-5k=10Leftrightarrow k=1.$
Vậy hệ số cần tìm là $C_{5}^{1}{{.3}^{4}}.left( -2 right)=-810.$
Câu 24: Đáp án B.
Phương pháp giải: Công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến là $r=sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}left( I;left( P right) right)}$
Lời giải:
Xét mặt cầu $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}+{{left( z-2 right)}^{2}}=9$ có tâm $Ileft( 1;2;2 right),$ bán kính $R=3.$
Khoảng cách từ tâm $Ixrightarrow{{}}mp,,left( P right)$ là $dleft( I;left( P right) right)=frac{left| 2.1-1.2-2.2+1 right|}{sqrt{{{2}^{2}}+{{left( -1 right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1.$
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là $r=sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}left( I;left( P right) right)}=2sqrt{2}.$
Câu 25: Đáp án A.
Phương pháp giải: Đọc bảng biến thiên để tìm điểm cực tiểu – cực tiểu của hàm số.
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại ${{x}_{CT}}=3Rightarrow {{y}_{CT}}=yleft( 3 right)=1.$
Câu 26: Đáp án B.
Phương pháp giải: Công thức tính thể tích khối trụ là $V=pi {{R}^{2}}h$
Lời giải: Công thức tính thể tích của khối trụ là $V=pi {{R}^{2}}h$.
Câu 27: Đáp án C.
Phương pháp giải: Đọc bảng biến thiên để tìm nghiệm của phương trình
Lời giải:
Ta có $fleft( x right)+3=0Leftrightarrow fleft( x right)=-3Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=1;,,x={{x}_{0}}.$
Câu 28: Đáp án D.
Phương pháp giải: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng. Khi đó, tọa độ giao điểm của d và (P) chính là tọa độ hình chiếu.
Lời giải: VTCP của đường thẳng $d:overrightarrow{{{u}_{d}}}=left( 1;-1;2 right).$
Ta có: $d:left{ begin{array}{l}
x = t\
y = 1 – t\
x = – 1 + 2t
end{array} right..$
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, vuông góc với d là :
$x-1-left( y-0 right)+2left( z-4 right)=0Leftrightarrow x-y+2z-9=0.$
Vì $Hin dRightarrow Hleft( t;1-t;2t-1 right)$ mà $dcap left( P right)=HRightarrow t-left( 1-t right)+2left( 2t-1 right)-9=0Leftrightarrow t=2.$
Vậy $Hleft( 2;-1;3 right).$
Câu 29: Đáp án D.
Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa về tính tích phân cơ bản
Lời giải:
Ta có $I=intlimits_{0}^{1}{frac{x}{sqrt{3x+1}+sqrt{2x+1}}dx=intlimits_{0}^{1}{frac{xleft( sqrt{3x+1}+sqrt{2x+1} right)}{{{left( sqrt{3x+1} right)}^{2}}-{{left( sqrt{2x+1} right)}^{2}}}dx}}$
$intlimits_{0}^{1}{frac{xleft( sqrt{3x+1}-sqrt{2x+1} right)}{3x+1-2x-1}}=intlimits_{0}^{1}{left( sqrt{3x+1}-sqrt{2x+1} right)dx.}$
$ = left( {frac{1}{3}.frac{{sqrt {{{left( {3x + 1} right)}^3}} }}{{frac{3}{2}}} – frac{1}{2}.frac{{sqrt {{{left( {2x + 1} right)}^3}} }}{{frac{3}{2}}}} right)left| begin{array}{l}
^1\
_{}\
_0
end{array} right. = left( {frac{2}{9}.sqrt {{{left( {3x + 1} right)}^3}} – frac{1}{3}.sqrt {{{left( {2x + 1} right)}^3}} } right)left| begin{array}{l}
^1\
_0
end{array} right.$
$ = frac{1}{9}left[ {2sqrt {{{left( {3x + 1} right)}^3}} – 3sqrt {{{left( {2x + 1} right)}^3}} } right]left| begin{array}{l}
^1\
_0
end{array} right. = frac{1}{9}left( {16 – 9sqrt 3 + 1} right) = frac{{17 – 9sqrt 3 }}{9} Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 17\
b = – 9
end{array} right..$
Vậy $T=a+b=17-8=8.$
