Lời giải đề thi môn Toán lớp 9 trường THCS Minh Khai năm 2017-2018
Bài 1:
a. Thay $x=9$ (TMĐK) vào $A$ ta có: $A=dfrac{9+12}{sqrt{9}-1}=dfrac{21}{3-1}=dfrac{21}{2}$
Vậy $x=9$ thì $A=dfrac{21}{2}$
b. $B = dfrac{{3 + sqrt x – 1}}{{(sqrt x – 1)(sqrt x + 1)}}:dfrac{1}{{sqrt x + 1}}$
$ = dfrac{{sqrt x + 2}}{{(sqrt x – 1)(sqrt x + 1)}} cdot dfrac{{sqrt x + 1}}{1}$
$ = dfrac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x – 1}}$
c. Tính được $M = dfrac{A}{B} = dfrac{{x + 12}}{{sqrt x – 1}} cdot dfrac{{sqrt x – 1}}{{sqrt x + 2}} = dfrac{{x + 12}}{{sqrt x + 2}}$
$M = dfrac{{x + 12}}{{sqrt {x + 2} }} = dfrac{{x – 4 + 16}}{{sqrt x + 2}} = sqrt x – 2 + dfrac{{16}}{{sqrt x + 2}} = left( {sqrt x + 2 + dfrac{{16}}{{sqrt x + 2}}} right) – 4 ge 2sqrt {16} – 4 = 4$
Dấu $”=”$ xảy ra$ Leftrightarrow sqrt x + 2 = frac{{16}}{{sqrt x + 2}} Leftrightarrow x = 4$(TMĐK)
Vậy min $M=4$ khi $x=4$
Bài 2:
Gọi năng suất dự định của người công nhân là x (sản phẩm/giờ) (ĐK: $xin {{mathbb{N}}^{*}}$)
Năng suất thực tế của người công nhân là $x+3$ (sản phẩm/giờ)
Thời gian dự định làm xong 33 sản phẩm là: $dfrac{33}{x}$ (giờ)
Thời gian thực tế làm xong 62 sản phẩm là: $dfrac{62}{x+3}$ (giờ)
Lập luận ra được phương trình $dfrac{62}{x+3}-dfrac{33}{x}=dfrac{3}{2}$
Biến đổi về phương trình $3{{x}^{2}}-49x+198=0$
Giải phương trình được: ${{x}_{1}}=9$(TM); ${{x}_{2}}=dfrac{22}{3}$ (loại)
Vậy năng suất dự kiến là 9 sản phẩm/giờ
Bài 3:
1. ĐK: $xge 3;yne 0$
Đặt$a = sqrt {x – 3} (a ge 0),b = dfrac{1}{y}$. Hệ trở thành: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3a – b = 1}\
{a + 2b = 5}
end{array}} right.$
Giải hệ được $a=1;b=2$
Suy ra: $x=4$ (TMĐK); $y=-dfrac{3}{2}$ (TMĐK), kết luận
2.
a. Thay $m=-3$ có phương trình hoành độ giao điểm của $left( P right)$ và $left( d right):$${x^2} + 3x – 4 = 0$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\
{x = – 4}
end{array}} right.$
+) $x=1Rightarrow y=1Rightarrow Aleft( 1;1 right)$
+) $x=-4Rightarrow y=16Rightarrow B(-4;16)$ .
b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $left( P right)$ và $left( d right)$: ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$
Ta có: $a=1ne 0,forall m$
$Delta ={{m}^{2}}-4m+4={{left( m-2 right)}^{2}}$
Để $left( P right)$ và $left( d right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt$Rightarrow $ PT có hai nghiệm phân biệt$Rightarrow Delta >0Rightarrow {{(m-2)}^{2}}>0$
$Leftrightarrow mne 2$
Theo đều bài: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}.$
$Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)=0$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}-2(m-1)-m=0$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1(TM)}\
{m = 2(L)}
end{array}} right.$
Bài 4:
a. Ta có: $widehat{AHE}=90{}^circ $ (theo giả thiết $AB,bot ,MN$)
$widehat{AKE}=90{}^circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$Rightarrow widehat{AHE}+widehat{AKE}=180{}^circ Rightarrow $ Vậy tứ giác $AHEK$ là tứ giác nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng $180{}^circ $)
b. Xét hai tam giác $Delta CAE$ và $Delta CHK$:
+ Có góc $widehat{C}$ chung.
$+widehat{EAC}=widehat{EHK}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EK)
Suy ra $Delta CAE#Delta CHK$(g -g)
Suy ra $CA.CK=CE.CH$
Hoặc chứng minh $Delta CKE#Delta CHA$ (g – g)
c) Do đường kính $AB bot MN$ nên $B$
là điểm chính giữa cung MN
Suy ra $widehat{MKB}=widehat{NKB}$ (1)
Lại có $BK//NF$
Vì cùng song song với $AC$ nên $left{ begin{array}{l}
widehat {NKB} = widehat {KNF}left( 2 right)\
widehat {MKB} = widehat {MFN}left( 3 right)
end{array} right.$
Từ (1), (2), (3) suy ra $widehat{MFN}=widehat{KNF}Leftrightarrow widehat{KFN}=widehat{KNF}.$ Vậy $Delta KNF$cân tại $K$
d) Ta có $widehat{AKB}={{90}^{0}}Rightarrow widehat{BKC}={{90}^{0}}Rightarrow Delta KEC$vuông tại $K$
Theo giả thiết ta lại có $KE=KC$nên tam giác $KEC$ vuông cân tại $K$
$widehat{BEH}=widehat{KEC}={{45}^{0}}Rightarrow widehat{OBK}={{45}^{0}}$
Mặt khác vì $Delta OBK$cân tại $O$ (do $OB=OK=R$) nên suy ra $Delta OBK$vuông cân tại $O$ dẫn đến $OK//MN$(cùng vuông góc với $AB$)
Bài 5:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
Với $x>0,y>0$ ta có $x+yge 2sqrt{xy}$
$Leftrightarrow {{left( x+y right)}^{2}}ge 4xyLeftrightarrow frac{x+y}{xy}ge frac{4}{x+y}Leftrightarrow frac{1}{x}+frac{1}{y}ge frac{4}{x+y}left( * right)$
Dâu “=” xảy ra $Leftrightarrow x=y$
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
$dfrac{1}{{a + b – c}} + dfrac{1}{{b + c – a}} ge dfrac{4}{{a + b – c + b + c – a}} = dfrac{4}{{2b}} = dfrac{2}{b}left( 1 right)$
Tương tự: $dfrac{1}{{c + a – b}} + dfrac{1}{{b + c – a}} ge dfrac{2}{c}left( 2 right)$
$dfrac{1}{{c + a – b}} + dfrac{1}{{a + b – c}} ge dfrac{2}{a}left( 3 right)$
Cộng $left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right)$ vế với vế ta có:
$ Rightarrow dfrac{1}{{a + b – c}} + dfrac{1}{{b + c – a}} + dfrac{1}{{c + a – b}} ge dfrac{1}{a} + dfrac{1}{b} + dfrac{1}{c}$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow a=b=c$
