Lời giải chi tiết – trang 2

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $left( O,R right)$. Đường tròn $left( O,R right)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,,,AB$ lần lượt tại $D,,,N$. Kẻ đường kính $DI$ của đường tròn $left( O,R right)$. Tiếp tuyến của đường tròn $left( O,R right)$ tại $I$ cắt các cạnh $AB,,,AC$ lần lượt tại $E,,,F$.

1) Chứng minh tứ giác $OIEN$ nội tiếp được trong một đường tròn.

2) Chứng minh tam giác $BOE$ vuông và $EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}$.

3) Gọi ${{A}_{1}}$ là giao điểm của $AO$ với cạnh $BC$, ${{B}_{1}}$ là giao điểm của $BO$ với cạnh $AC$, ${{C}_{1}}$ là giao điểm của $CO$ với cạnh $AB$. Chứng minh: $dfrac{AO}{A{{A}_{1}}}+dfrac{BO}{B{{B}_{1}}}+dfrac{CO}{C{{C}_{1}}}=2$.

(3 đ)

1)

+ Vì $left( O,R right)$ tiếp xúc với các cạnh $AB$ tại $N$, suy ra $ONbot AB$ tại $N$, tức là $N$ nhìn đoạn $OE$ một góc ${{90}^{0}}$ (1).

0,50

+ Lập luận tương tự ta cũng có $I$ nhìn đoạn $OE$ một góc ${{90}^{0}}$ (2).

* Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $OIEN$ nội tiếp được trong một đường tròn (đường tròn đường kính $OE)$.

0,50

2)

+ Có $left{ begin{array}{l}
BN = BD\
ON = OD
end{array} right.$ nên $OB$ là đường trung trực của đoạn $ND$ và $OB$ đồng thời là tia phân giác của $widehat{DON}$, suy ra $widehat{BON}=dfrac{1}{2}widehat{DON}$.

+ Tương tự ta có $widehat{NOE}=dfrac{1}{2}widehat{NOI}$.

0,25

Vậy $widehat{BOE}=widehat{BON}+widehat{NOE}=dfrac{1}{2}left( widehat{DON}+widehat{NOI} right)=dfrac{1}{2}widehat{DOI}={{90}^{0}}$

nên $Delta BOE$ vuông tại đỉnh $O$.   

0,25

+ Do $Delta BOE$ vuông tại đỉnh $O$ và có $ON$là một đường cao, suy ra $NE.NB=O{{N}^{2}}={{R}^{2}}Rightarrow EI.BD={{R}^{2}}$

0,25

+ Tương tự ta có $FI.CD={{R}^{2}}$. Vậy $EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}$.

0,25

3)

+ Kẻ $AHbot BC$ tại $H$ thì $AHparallel OD$, dẫn đến $dfrac{{{A}_{1}}O}{{{A}_{1}}A}=dfrac{OD}{AH}=dfrac{{{S}_{Delta OBC}}}{{{S}_{Delta ABC}}}$

0,25

+ Tương tự ta có $dfrac{{{B}_{1}}O}{{{B}_{1}}B}=dfrac{{{S}_{Delta OAC}}}{{{S}_{Delta ABC}}};,,dfrac{{{C}_{1}}O}{{{C}_{1}}C}=dfrac{{{S}_{Delta OAB}}}{{{S}_{Delta ABC}}}$

0,25

+ Do $O$ là điểm thuộc miền trong $Delta ABC$ nên ta có:

$dfrac{{{A}_{1}}O}{{{A}_{1}}A}+,dfrac{{{B}_{1}}O}{{{B}_{1}}B}+dfrac{{{C}_{1}}O}{{{C}_{1}}C}=dfrac{{{S}_{Delta OBC}}+{{S}_{Delta OAC}}+{{S}_{Delta OAB}}}{{{S}_{Delta ABC}}}=1$

0,25

$Rightarrow 1-dfrac{AO}{{{A}_{1}}A}+,1-dfrac{BO}{{{B}_{1}}B}+1-dfrac{CO}{{{C}_{1}}C}=1$$Rightarrow dfrac{AO}{{{A}_{1}}A}+,dfrac{BO}{{{B}_{1}}B}+dfrac{CO}{{{C}_{1}}C}=2$

0,25

Câu 5

1) Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
{x^3} – {y^3} – 6{x^2} + 13x – y = 10,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)\
sqrt {2x + y + 5}  – sqrt {3 – x – y}  = (2x – 5)y + 2,,,,,,,(2).
end{array} right.,,,$

2) Cho $a,text{ }b,text{ }c$ là các số thực dương thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc=4$.

Chứng minh rằng: $2a+b+cle dfrac{9}{2}.$

(1 đ)

1)

+ Phương trình (1) tương đương với:

$(x-2-y)left[ {{(x-2)}^{2}}+(x-2)y+{{y}^{2}}+1 right]=0$

$Leftrightarrow y=x-2,$ vì ${{(x-2)}^{2}}+(x-2)y+{{y}^{2}}+1>0,,,forall x,forall y.$

0,25

+ Thay $y=x-2$ vào phương trình (2), biến đổi thu được phương trình:

$,,left( sqrt{3x+3}-3 right)-left( sqrt{5-2x}-1 right)-(2x-5)(x-2)=0,,,,(a)$.

+ Với điều kiện: $,-1le xle dfrac{5}{2},,(*)$, phương trình $,(a)$ tương đương với:

$Leftrightarrow (x-2)left[ dfrac{3}{sqrt{3x+3}+3}+dfrac{2}{sqrt{5-2x}+1}+(5-2x) right]=0$

$Leftrightarrow x=2,$ do $dfrac{3}{sqrt{3x+3}+3}+dfrac{2}{sqrt{5-2x}+1}+(5-2x)>0$ với mọi $,x$ thỏa mãn $(*)$.

+ Nhận thấy $x=2$ thỏa mãn $(*)$, dẫn đến $y=0$.

* Vậy tất cả các nghiệm $(x;y)$ của hệ phương trình là: $(2;0)$.

0,25

2)

+ Từ $a,b,c>0$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc=4,Rightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-4<0;,4-{{b}^{2}}>0;,4-{{c}^{2}}>0.$

+ Do đó, phương trình bậc hai (ẩn a) ${{a}^{2}}+(bc)a+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-4=0$ có hai (phân biệt) nghiệm trái dấu.

+ Có ${{Delta }_{a}}=(4-{{b}^{2}})(4-{{c}^{2}})$. Vì $a>0$ nên $a=dfrac{-bc+sqrt{(4-{{b}^{2}})(4-{{c}^{2}})}}{2}$.

0,25

+ Áp dụng bất đẳng thức  Côsi với hai số dương $4-{{b}^{2}}$ và  $4-{{c}^{2}}$ ta được:

$2ale -bc+dfrac{(4-{{b}^{2}})+(4-{{c}^{2}})}{2}Rightarrow 2ale dfrac{8-{{(b+c)}^{2}}}{2}$$Rightarrow 2a+b+cle dfrac{9-{{(b+c-1)}^{2}}}{2}$$Rightarrow 2a+b+cle dfrac{9}{2}$ (đpcm).

0,25