Câu 4.
a) DA2 = DC.DB
Ta có $widehat{ACB}={{90}^{circ }}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) Þ AC ^ BC hay AC ^ BD.
Ta có $widehat{DAB}={{90}^{circ }}$ (Do DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có
DA2 = DC.DB
b) Tứ giác AHCD nội tiếp.
Xét tứ giác AHCD có $widehat{AHD}=widehat{ACD}={{90}^{circ }}$ Þ Hai đỉnh C và H kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới góc 900 Þ Tứ giác AHCD nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
c. CH ^ CF
Do tứ giác AHCD nội tiếp nên $widehat{FHC}=widehat{ADC}$ (cùng bù với $widehat{AHC}$)
Xét tam giác FHC và tam giác ADC có:
$widehat{CFH}=widehat{DAC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).
$widehat{FHC}=widehat{ADC}$ (cmt);
DFHC ~ DADC (g-g) Þ $widehat{FCH}=widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng)
Mà $widehat{ACD}={{90}^{circ }}Rightarrow widehat{FCH}={{90}^{circ }}Rightarrow CHbot CF$
d) $dfrac{BH.BC}{BF}=2R$
Xét tam giác vuông OAD vuông tại A có OH là đường cao ta có OA2 = OD.OH (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà OA = OB = R Þ OB2 = OD.OH Þ $frac{OB}{OH}=frac{OD}{OB}$.
Xét tam giác OBH và ODB có:
$widehat{BOD}$ chung;
$frac{OB}{OH}=frac{OD}{OB}$ (cmt);
DOBH ~ DODB (c.g.c) Þ $widehat{OBH}=widehat{ODB}$.
Mà $widehat{ODB}=widehat{CAF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCD).
$widehat{CAF}=widehat{CBF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF của đường tròn (O)).
$Rightarrow widehat{OBH}=widehat{CBF}Rightarrow widehat{OBH}+widehat{HBC}=widehat{CBF}+widehat{HBC}Rightarrow widehat{OBC}=widehat{HBF}=widehat{ABC}$
Xét tam giác BHF và tam giác BAC có:
$widehat{BFH}=widehat{BCA}={{90}^{circ }}$ (góc BFC nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
$widehat{HBF}=widehat{ABC}$ (cmt);
DBFH ~ DBCA (g-g) Þ $frac{BF}{BC}=frac{BH}{BA}Rightarrow frac{BH.BC}{BF}=BA=2R.$
