Lời giải 4-trang 2

Câu IV

(3,0điểm)

1

(1,0 điểm)

+ Chỉ ra được $widehat{AMH}={{90}^{0}}$

                        $widehat{ANH}={{90}^{0}}$

0,25

0,25

nên M  và N cùng thuộc đường tròn đường kính AH. ( hoặc $widehat{AMH}+widehat{ANH}={{180}^{0}}$)

0,25

+ Vậy tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn.

0,25

2

(1,0 điểm)

+ Tứ giác AMPC có $widehat{APC}={{90}^{0}}$ (do H  là trực tâm tam giác ABC) và $widehat{AMC}={{90}^{0}}$   

0,25

nên tứ giác AMPC nội tiếp đường tròn đường kính AC

(Hoặc hai tam giác BMC và tam giác BPA đồng dạng)

0,25

Chỉ ra được $frac{BM}{BP}=frac{BC}{BA}$

 Từ đó suy ra BM.BA = BP.BC

0,25

0,25

3

(0,5 điểm)

Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH

Tam giác ABC đều nên trực tâm H cũng là trọng tâm $Rightarrow AH=frac{2}{3},.AP=frac{2}{3}.frac{ABsqrt{3}}{2},,=frac{2asqrt{3}}{3},$( hoặc tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN  là $R=frac{1}{2}AH=frac{asqrt{3}}{3}$)

0,25

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN  bằng $pi text{.}AHtext{ = }frac{2pi asqrt{3}}{3}.$

( Hoặc tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN  theo công thức $2pi R$)

Kết luận : Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác  AMHN  bằng $frac{2pi asqrt{3}}{3}.$

0,25

4

(0,5 điểm)

Ta có AH.AP = AM.AB = AE² $Rightarrow frac{AH}{AE}=frac{AE}{AP}$.

Hai tam giác $AHE$ và $AEP$ có $frac{AH}{AE}=frac{AE}{AP}$ và $widehat{EAP}$ chung nên  tam giác $AHE$ đồng dạng với tam giác $AEP$ suy ra  $widehat{AHE}=widehat{AEP}$ (1)

Tương tự, ta có:  $widehat{AHF}=widehat{AFP}$ (2)

0,25

Mặt khác: tứ giác AFOP và AEOF nội tiếp đường tròn đường kính $AO$ nên năm điểm A,E,P,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$.

Suy ra tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên  $widehat{AEP}+widehat{AFP}={{180}^{0}}$  (3).

Từ (1),(2) và (3) $Rightarrow widehat{AHE}+widehat{AHF}=widehat{AEP}+widehat{AFP}={{180}^{0}}$$Rightarrow widehat{EHF}={{180}^{0}}$.

Vậy ba điểm E, H, F thẳng hàng.

0,25

Câu V

(0,5điểm)

(0,5 điểm)

 Với $x>0$, ta có:

$P=9x+frac{1}{9x}+2025-frac{6sqrt{x}+8}{x+1}$

      $=left( 9x-2+frac{1}{9x} right)+left( 9-frac{6sqrt{x}+8}{x+1} right)+2018$

      $={{left( 3sqrt{x}-frac{1}{3sqrt{x}} right)}^{2}}+frac{{{(3sqrt{x}-1)}^{2}}}{x+1}+2018ge 2018$.

0,25

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $left{ begin{align}

  & 3sqrt{x}-frac{1}{3sqrt{x}}=0 \

 & 3sqrt{x}-1=0 \

end{align} right.Leftrightarrow x=frac{1}{9}$ ( thỏa mãn).

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 2018 khi $x=frac{1}{9}.$

0,25