HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2 điểm)
a. Với $x=36$(tmđk) thay vào $B$ ta được: $B=dfrac{sqrt{36}+2}{sqrt{36}-2}=2$
b. Ta có: $A=left( dfrac{sqrt{x}}{left( sqrt{x}-2 right)left( sqrt{x}+2 right)}+dfrac{1}{sqrt{x}-2} right).dfrac{x-4}{sqrt{x}+2}$
$=left( dfrac{sqrt{x}+sqrt{x}+2}{left( sqrt{x}-2 right)left( sqrt{x}+2 right)} right).dfrac{left( sqrt{x}-2 right)left( sqrt{x}+2 right)}{sqrt{x}+2}$
$=dfrac{2sqrt{x}+2}{sqrt{x}+2}$
c. Ta có: $C=B.left( A-2 right)=dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-2}left( dfrac{2sqrt{x}+2}{sqrt{x}+2}-2 right)=dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-2}left( dfrac{-2}{sqrt{x}+2} right)=dfrac{-2}{sqrt{x}-2}$
Để $C$ nhận giá trị nguyên thì $sqrt{x}-2$ phải là ước của 2.
Do đó $sqrt{x}-2$ nhận các giá trị là: $left{ pm 1;pm 2 right}$
Ta có bảng giá trị sau:
|
$sqrt{x}-2$ |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
|
$sqrt{x}$ |
0 |
1 |
3 |
4 |
|
$x$ |
0 |
1 |
9 |
16 |
|
$C$ |
1 |
2 |
-2 |
-1 |
Vậy khi $x$ nhận các giá trị nguyên là $left{ 0;1;9;16 right}$ thì $C$ có giá trị nguyên.
Bài 2 :
1) Đường thẳng $left( d right)$ đi qua điểm $Aleft( 1;2 right)$ khi và chỉ khi $x=1;y=2$ thỏa mãn công thức trên.
Hay $left( 3m-2 right).1+m-2=2Leftrightarrow 3m-2+m-2=2Leftrightarrow m=dfrac{3}{2}$
Với $m=dfrac{3}{2}$ thì $y=left( 3cdot dfrac{3}{2}-2 right)x+dfrac{3}{2}-2=dfrac{5}{2}x-dfrac{1}{2}$
TXĐ: $mathbb{R}$
Lập bảng:
|
$x$ |
$0$ |
$dfrac{1}{5}$ |
|
$y=dfrac{5}{2}x-dfrac{1}{2}$ |
$dfrac{-1}{2}$ |
$0$ |
Hình Vẽ:
2)
Đường thẳng $left( d right)$ cắt $text{Ox}$ tại $A$, cắt $Oy$ tại $B$ nên $3m-2ne 0Leftrightarrow mne dfrac{2}{3}$.
Đường thẳng $left( d right)$ cắt $text{Ox}$ tại $A$ $Rightarrow Aleft( dfrac{2-m}{3m-2};0 right)Rightarrow OA=left| dfrac{2-m}{3m-2} right|$.
Đường thẳng $left( d right)$ cắt $Oy$ tại $B$$Rightarrow Bleft( 0;m-2 right)Rightarrow OB=left| m-2 right|$
Diện tích $Delta OAB$là: ${{S}_{Delta OAB}}=dfrac{1}{2}cdot OAcdot OB=dfrac{1}{2}cdot left| dfrac{2-m}{3m-2} right|cdot left| m-2 right|$
${{S}_{Delta OAB}}=dfrac{1}{2}Leftrightarrow dfrac{1}{2}cdot left| dfrac{2-m}{3m-2} right|cdot left| m-2 right|=dfrac{1}{2}Leftrightarrow dfrac{{{left( 2-m right)}^{2}}}{left| 3m-2 right|}=1Leftrightarrow {{left( 2-m right)}^{2}}=left| 3m-2 right|left( 1 right)$
*TH1: $3m-2>0Leftrightarrow m>frac{2}{3}$
$begin{array}{l}
left( 1 right) Leftrightarrow {left( {2 – m} right)^2} = 3m – 2 Leftrightarrow {m^2} – 4m + 4 = 3m – 2 Leftrightarrow {m^2} – 7m + 6 = 0\
Leftrightarrow left( {m – 1} right)left( {m – 6} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m – 1 = 0\
m – 6 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 1(TM)\
m = 6(TM)
end{array} right.
end{array}$
*TH2: $3m-2<0Leftrightarrow m<frac{2}{3}$
$begin{array}{l}
left( 1 right) Leftrightarrow {left( {2 – m} right)^2} = 2 – 3m Leftrightarrow {m^2} – 4m + 4 = 2 – 3m Leftrightarrow {m^2} – m + 2 = 0\
Leftrightarrow {left( {m – frac{1}{2}} right)^2} + frac{7}{4} = 0
end{array}$
$Leftrightarrow {{left( m-frac{1}{2} right)}^{2}}=dfrac{-7}{4}$(vô lí vì ${{left( m-frac{1}{2} right)}^{2}}ge 0$ (với mọi $m$)
Vậy phương trình có 2 tập nghiệm là $S={1;6}$
Bài 3. (2 điểm): Giải phương trình
a) $sqrt{49-28x+4{{x}^{2}}}-5=0$
b) $dfrac{1}{2}sqrt{x-2}-4sqrt{dfrac{4x-8}{9}}+sqrt{9x-18}-5=0$
Giải
a) $sqrt {49 – 28x + 4{x^2}} – 5 = 0 Leftrightarrow sqrt {{{left( {7 – 2x} right)}^2}} – 5 = 0 Leftrightarrow left| {7 – 2x} right| = 5 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
7 – 2x = 5\
7 – 2x = – 5
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 6
end{array} right.$
b) ĐK: $xge 2$
$dfrac{1}{2}sqrt{x-2}-4sqrt{dfrac{4x-8}{9}}+sqrt{9x-18}-5=0Leftrightarrow frac{1}{2}sqrt{x-2}-4.dfrac{2}{3}sqrt{x-2}+3sqrt{x-2}-5=0$
$Leftrightarrow left( dfrac{1}{2}-dfrac{8}{3}+3 right)sqrt{x-2}-5=0Leftrightarrow dfrac{5}{6}sqrt{x-2}=5Leftrightarrow sqrt{x-2}=6Leftrightarrow x-2=36Leftrightarrow x=38,,(t/m)$.
Vậy phương trình có nghiệm $x=38$.
Bài 4 (3,5 điểm):
a) Ta có $AD//OM//BC$ (cùng vuông góc với $xy$, GT và tính chất của tiếp tuyến $xy$) mà $O$ là trung điểm của $AB$ nên $M$là trung điểm của $CD$ $Rightarrow MC=MD$.
b) Vì $O$ là trung điểm của $AB$ và $M$ là trung điểm của $CD$ nên ta có $OM$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$$Rightarrow OM=dfrac{AD+BC}{2}Rightarrow AD+BC=2OM$ không đổi khi $M$ di chuyển trên nửa đường tròn.
c) Đường tròn đường kính $CD$ có tâm là $M$ nên gọi là $(M)$
Ta có :
$ADcap (M)=left{ D right};ADbot MD,(GT)$$Rightarrow AD$ là tiếp tuyến của $(M)$
$BCcap (M)=left{ C right};BCbot MC,(GT)$$Rightarrow BC$ là tiếp tuyến của $(M)$
Kẻ $MIbot AB$ tại $I$. Xét $Delta MIB$ và $Delta MCB$ có:
$MB$ là cạnh chung
$widehat{MIB}=widehat{MCB},(={{90}^{0}})$
$widehat{CBM}=widehat{OMB}$ (so le trong ,$OM//BC$); $widehat{OMB}=widehat{OBM}$($Delta OBM$ cân tại $O$) $Rightarrow widehat{CBM}=widehat{OBM},(=widehat{OMB})$
$Rightarrow Delta MIB=Delta MCB,(ch-gn)$$Rightarrow MI=MC$ mà $MC=MD$(ý a) $Rightarrow MI=MC=MD=dfrac{CD}{2}$$Rightarrow Iin (M)$
$Rightarrow ABcap (M)=left{ I right};ABbot MI,$(cách vẽ điểm $I$)$Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của $(M)$
d) Tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông nên ${{S}_{ABCD}}=dfrac{(AD+BC).CD}{2}$
Vì $AD+BC$ có giá trị không đổi nên ${{S}_{ABCD}}$ lớn nhất khi $CD$ lớn nhất
Vì $CDle AB$ (Quan hệ đường vuông góc đường xiên) nên $CD$ lớn nhất khi $CD=AB$, mà $CD$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $AD$ và $BC$ nên khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật suy ra đường trung bình $OM$vuông góc với $AB$ $Rightarrow M$ là điểm chính giữa của cung $AB$.
Vậy $M$ là điểm chính giữa của cung $AB$ thì diện tích tứ giác $ABCD$ lớn nhất.
Bài 5: Cho $x, y$ dương thỏa mãn $xy=1$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$M=(x+y+1)({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+dfrac{4}{x+y}$
Giải: ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}ge 2xyLeftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}ge 2$
$Rightarrow M=(x+y+1)({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+dfrac{4}{x+y}ge 2(x+y+1)+dfrac{4}{x+y}$
Ta có $x+yge 2sqrt{xy}Leftrightarrow x+yge 2Leftrightarrow x+y+2ge 4$
$(x+y)+dfrac{4}{x+y}ge 4$
$Rightarrow 2(x+y+1)+dfrac{4}{x+y}ge 8Rightarrow Mge 8$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M=9$ dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$
