Giải chi tiết đề thi giữa kì 2 môn Toán 9 THCS Nguyễn Công Trứ Q. Ba Đình Hà Nội năm 2017-2018

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: $2điểm$

a) Thay x = 9 $TMĐK$ vào biểu thức A ta được:

                         $A=dfrac{2sqrt{9}}{sqrt{9}-2}=dfrac{6}{3-2}=6$

   Vậy khi x = 9 thì A = 6

b)

$begin{array}{l}
B = dfrac{x}{{x – 4}} + dfrac{1}{{sqrt x  + 2}}\
 = dfrac{x}{{$sqrtx+2$$sqrtx–2$}} + dfrac{1}{{sqrt x  + 2}}\
 = dfrac{{x + sqrt x  – 2}}{{$sqrtx+2$$sqrtx–2$}}\
 = dfrac{{$sqrtx+2$$sqrtx–1$}}{{$sqrtx+2$$sqrtx–2$}}\
 = dfrac{{sqrt x  – 1}}{{sqrt x  – 2}}
end{array}$

Vậy $B=dfrac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}-2}$ với $xge 0; xne 4$

c)

$dfrac{A}{B} = dfrac{{2sqrt x }}{{sqrt x  – 2}}:dfrac{{sqrt x  – 1}}{{sqrt x  – 2}}$.

$begin{array}{l}
 = dfrac{{2sqrt x }}{{sqrt x  – 2}}.dfrac{{sqrt x  – 2}}{{sqrt x  – 1}}\
 = dfrac{{2sqrt x }}{{sqrt x  – 1}}\
 = 2 + dfrac{2}{{sqrt x  – 1}}
end{array}$

Để biểu thức $dfrac{A}{B}$ có giá trị là số nguyên$Leftrightarrow dfrac{2}{sqrt{x}-1}$ có giá trị nguyên

$Rightarrow 2 vdots $sqrtx-1$$ hay $sqrt{x}-1in $ Ư$2$

Mà Ư$2$ $in left{ pm 1;pm 2 right}$

Ta có bảng sau:

Vì $xge 0;xne 4$

Vậy $xin left{ 0;9 right}$ thì $dfrac{A}{B}$ có giá trị là số nguyên.

Bài 2 $2điểm$

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất được là x

             $sảnphẩm;\$xin{N}^{\ast }\$;x<1100$

Số sản phẩm thực tế phân xưởng làm được trong một ngày là : x + 5 $sảnphẩm$

Thời gian phân xưởng hoàn thành công việc theo kế hoạch là $dfrac{1100}{x}$ $ngày$

Thời gian phân xưởng hoàn thành công việc theo thực tế là $dfrac{1100}{x+5}$ $ngày$

Vì phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày nên ta có phương trình :

$dfrac{1100}{x}-dfrac{1100}{x+5}=2$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow 1100$x+5$ – 1100x = 2x$x+5$\
 Leftrightarrow 1100x + 5500 – 1100x = 2{x^2} + 10x\
 Leftrightarrow 2{x^2} + 10x – 5500 = 0\
 Leftrightarrow {x^2} + 5x – 2750 = 0\
 Leftrightarrow {x^2} + 55x – 50x – 2750 = 0\
 Leftrightarrow x$x+55$ – 50$x+55$ = 0\
 Leftrightarrow $x+55$$x–50$ = 0
end{array}$

$Rightarrow {{x}_{1}} = -55$ $loại$ ; x₂ =50 $TMĐK$

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất được 50 sản phẩm.

Bài 3 $2điểm$

1. Giải hệ phương trinh: $left{ begin{array}{l}
   sqrt {x + 1}  – dfrac{2}{{y – 2}} = 4\
   sqrt {x + 1}  + dfrac{1}{{y – 2}} = 5
   end{array} right.$  

ĐKXĐ: $xge -1;yne 2$

Đặt $a=sqrt{x+1}$  ;    $b=dfrac{1}{y-2}$  ĐK: $age 0;bne 0$.  Ta có hệ phương trình:

$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
3a – 2b = 4\
2a + b = 5
end{array} right.\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3a – 2b = 4\
4a + 2b = 10
end{array} right.\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
7a = 14\
2a + b = 5
end{array} right.\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 2\
b = 1
end{array} right.$TM$
end{array}$.

Thay

$left{ begin{array}{l}
sqrt {x + 1}  = 2\
dfrac{1}{{y – 2}} = 1
end{array} right.$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + 1 = 4\
y – 2 = 1
end{array} right.\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 3\
y = 3
end{array} right.$TM$
end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm $$x;y$ = $3;3$.$

3) Cho phương trình: ${{x}^{2}}-mx-4=0$ $1$

  a)Ta có:

                 $Delta ={{$-m$}^{2}}-4.1.$-4$$

    = m² + 16 > 0 với mọi giá trị của $m$

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với mọi giá trị của $m$.

 b)Vì phương trình $1$ luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với mọi giá trị của m nên theo định lý Vi-ét ta có :

$left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\
{x_1}{x_2} =  – 4
end{array} right.$

Mà ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=-13$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow {x_1}{x_2} – $x_1^2+x_2^2$ =  – 13\
 Leftrightarrow {x_1}{x_2} – left$${(x_1^{}+x_2^{})}^2–2x_1{x}_{2}right$$ =  – 13\
 Rightarrow  – 4 – left$$m^2–2.(–4)right$$ =  – 13
end{array}$

$Thay\$x_1+x_2=m;x_1{x}_2=-4\$$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow {m^2} = 1\
 Leftrightarrow m =  pm 1
end{array}$

Vậy $m=pm 1$ thì thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 4 $3,5điểm$

a. Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp

          Vì AM , AN là tiếp tuyến của $O$ nên :

                      $widehat{AMO}=widehat{ANO}={{90}^{0}}$

          Xét tứ giác AMON có:

                   $widehat{AMO}+widehat{ANO}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$

Vì 2 góc này ở vị trí đối nhau nên Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh :$A{{M}^{2}}=AB.AC$

              Xét  $Delta AMB$ và $Delta ACM$có:

                            $widehat{CAM}$ chung

                            $widehat{AMB}=widehat{ACM}$ $Vìcùngbằng\$dfrac12sdoversetfrownMB\$$

                 $Rightarrow Delta AMBsim Delta ACM$$g-g$

          $Rightarrow dfrac{AM}{AC}=dfrac{AB}{AM}$ $tỉsốđồngdạng$ $Rightarrow A{{M}^{2}}=AB.AC$

c) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.

Ta có:  OM = ON = R$Rightarrow Delta OMN$cân tại O có OA là tia phân giác của $widehat{MON}$$Tínhchất2tiếptuyếncắtnhau$ nên OA đồng thời là đường trung trực của MN

Áp dụng hệ thức lượng vào $Delta ANO$ vuông tại N có:

$A{{N}^{2}}=AH.AO$                                                            

Mà $A{{M}^{2}}=AB.AC$$cmt$                                      

Và $AM=AN$ $Tínhchất2tiếptuyếncắtnhau$

$begin{array}{l}
 Rightarrow AH.AO = AB.AC\
 Rightarrow dfrac{{AH}}{{AC}} = dfrac{{AB}}{{AO}}
end{array}$

             Xét  $Delta ABH$và $Delta AOC$có:

                                   $widehat{OAC}$ chung

                                   $dfrac{AH}{AC}=dfrac{AB}{AO}$$cmt$

                      $Rightarrow Delta ABHsim Delta AOC$$c-g-c$$Rightarrow widehat{AHB}=widehat{ACO}$

       Mà $widehat{AHB}+widehat{BHO}={{180}^{0}}$$2góckềbù$

$Rightarrow widehat{AOC}+widehat{BHO}={{180}^{0}}$

Do đó tứ giác BHOC  có tổng 2 góc đối diện bằng ${{180}^{0}}$

                    Vậy Tứ giác BHOC nội tiếp .

d)Chứng minh rằng HN là tia phân giác của $widehat{BHC}$.                

Vì tứ giác BHOC nội tiếp $Rightarrow widehat{OHC}=widehat{OBC}$ $2gócnộitiếpcùngchắn\$oversetfrownOC\$$

Mà OB = OC = R $Rightarrow Delta OBC$ cân tại O$Rightarrow widehat{OBC}=widehat{OCB}$

Theo chứng minh câu c: $widehat{AHB}=widehat{OCB}Rightarrow widehat{AHB}=widehat{OHC}$

Mặt khác: $MNbot OA$tại H $Rightarrow widehat{AHB}+widehat{BHN}=widehat{ANH}={{90}^{0}}$

                                                $widehat{OHC}+widehat{CHN}=widehat{OHN}={{90}^{0}}$

               $Rightarrow widehat{BHN}=widehat{CHN}$

 Vậy HN là tia phân giác của $widehat{BHC}$

Bài 5 $0,5điểm$. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn $sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1$

  Chứng minh rằng: $dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}ge dfrac{1}{2}$

Giải

Ta có : a, b , c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương ta có:

$dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + dfrac{{a + b}}{4} ge 2sqrt {dfrac{{{a^2}}}{{a + b}}.dfrac{{a + b}}{4}}  = 2.dfrac{a}{2} = a$

Tương tự:

                                      $dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+dfrac{b+c}{4}ge b$

                                     $dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}+dfrac{c+a}{4}ge c$

Cộng vế với vế ta được:

$dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}+dfrac{2$a+b+c$}{4}ge a+b+c$

Hay

$dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}ge dfrac{a+b+c}{2}$

Mặt khác: Theo bất đẳng thức côsi :

                              $dfrac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$

                             $dfrac{b+c}{2}ge sqrt{bc}$

                           $dfrac{c+a}{2}ge sqrt{ca}$

       $Rightarrow dfrac{a+b}{2}+dfrac{b+c}{2}+dfrac{c+a}{2}ge sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}$ 

                          $begin{array}{l}
 Leftrightarrow a + b + c ge 1\
 Rightarrow dfrac{{a + b + c}}{2} ge dfrac{1}{2}
end{array}$

Dấu đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} = dfrac{{a + b}}{4}\
dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} = dfrac{{b + c}}{4}\
dfrac{{{c^2}}}{{c + a}} = dfrac{{c + a}}{4}\
a = b = c\
sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca}  = 1
end{array} right. Leftrightarrow a = b = c = dfrac{1}{3}$