Câu 34: Đáp án C
Ta có phương trình mặt phẳng $left( P right)$ đi qua M và vuông góc với d
$2left( x-2 right)-1left( y+3 right)+2left( z-1 right)=0Leftrightarrow 2text{x}-y+2text{z}-9=0$
Gọi I là giao điểm của đường tahửng d và $left( P right),$ khi đó tạo độ I là nghiệm của hệ
$left{ begin{array}{l}
frac{{x + 1}}{2} = frac{{y – 2}}{{ – 1}} = frac{z}{2}\
2{rm{x}} – y + 2{rm{z}} – 9 = 0
end{array} right. Rightarrow Ileft( {1; – 3;2} right)$
M’ đối xứng với M qua d thì I là trung điểm của MM’$Rightarrow $ $M’left( 0;-3;3 right)$
Câu 35: Đáp án A
Trong $left( A’D’DA right)$ kẻ $MQ//NP$ và cắt $DD’$ tại Q
Lấy N’, M’ lần lượt trên $CC’,DD’$ sao cho $NN’//BC$ và $MM’//CA$
Suy ra hai tam giác NN’P, MM’Q bằng nhau
Suy ra
$M’Q = N’P = PC – N’C = PC – NB = frac{{CC’}}{2} – frac{{BB’}}{3} = frac{1}{6}CC’$
$M’Q = D’M’ – D’Q Rightarrow D’Q = D’M’ – M’Q = frac{{DD’}}{3} – frac{{CC’}}{6} = frac{1}{6}{rm{DD}}’ Rightarrow frac{{D’Q}}{{DD’}} = frac{1}{6}$
Chú ý: $frac{{{V}_{A’B’C’D’.MNPQ}}}{{{V}_{A’B’C’D’.ABCtext{D}}}}=frac{1}{2}left( frac{B’N}{BB’}+frac{C’P}{CC’} right)=frac{1}{2}left( frac{A’M}{AA’}+frac{D’Q}{DD’} right)Leftrightarrow frac{D’Q}{DD’}=frac{1}{6}$
Câu 36: Đáp án A
Gọi A là trung điểm BC, do tam giác ABC đều nên $AMbot BC,$ mà $AMbot BB’$ và $AMbot left( BCC’B’ right).$ Suy ra hình chiếu vuông góc của AB trên $left( BCC’B’ right)$là B’M
Vậy góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng $left( BCC’B’ right)$ là góc $widehat{AB’M}$ và $widehat{AB’M}=30{}^circ $
$begin{array}{l}
AM = frac{{asqrt 3 }}{2} Rightarrow AB = asqrt 3 \
Rightarrow AA’ = sqrt {AB{‘^2} – A’B{‘^2}} = asqrt 2 \
Rightarrow V = frac{{{a^3}sqrt 6 }}{4}
end{array}$
Câu 37: Đáp án C
$begin{array}{l}
AC = AB.cosalpha = 2{rm{R}}cosalpha \
CH = AC.sin alpha = 2{rm{R}}cosalpha .sin alpha \
AH = ACcosalpha = 2{rm{R}}co{s^2}alpha
end{array}$
Thể tích vật thể xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là:
$V=dfrac{1}{3}AH.C{{H}^{2}}=dfrac{8}{3}{{R}^{3}}co{{s}^{4}}alpha .{{sin }^{2}}alpha $
Đặt $t=co{{s}^{2}}alpha left( 0<t<1 right)$
$Rightarrow V=dfrac{8}{3}{{R}^{3}}{{t}^{2}}.left( 1-t right)=dfrac{8}{6}{{R}^{3}}t.t.left( 2-2t right)le dfrac{8}{6}{{R}^{3}}{{left( dfrac{t+t+2-2t}{3} right)}^{3}}$
Vậy V lớn nhất khi $t=dfrac{2}{3}$ khi $alpha =text{ar}ctan dfrac{1}{sqrt{2}}$
Câu 38: Đáp án A
Ta có ${{V}_{SBCtext{D}}}=dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCtext{D}}}=dfrac{1}{2}$
$dfrac{{{V}_{SEBtext{D}}}}{{{V}_{SCBtext{D}}}}=dfrac{SE.SB.Stext{D}}{SC.SB.Stext{D}}=dfrac{2}{3}$
Do đó ${V_{SEBD}} = frac{1}{3}$
Câu 39: Đáp án D
Số cạnh của hình bát diện đều là 12 cạnh
Câu 40: Đáp án C
$Fleft( x right)=int{{{e}^{3text{x}}}}dtext{x}=dfrac{1}{3}{{e}^{3text{x}}}+C$
Vì $Fleft( 0 right)=1Rightarrow dfrac{1}{3}+C=1Rightarrow C=dfrac{2}{3}$
$Fleft( x right)=dfrac{1}{3}{{e}^{3text{x}}}+dfrac{2}{3}$
Câu 41: Đáp án B
Gọi A là biến cố “học sinh đăng ký Toán”
Gọi B là biến cố “học sinh đăng ký Lý”
$Acap B$ “học sinh đăng ký Toán, Lý”
A u B là biến cố “học sinh có đăng ký học phụ đạo”
$Pleft( Acup B right)=Pleft( A right)+Pleft( B right)-Pleft( Acap B right)=dfrac{38}{50}+dfrac{30}{50}-dfrac{25}{50}=dfrac{43}{50}$
$overline{Acup B}$ là biến cố “học sinh không đăng ký môn nào cả”
$Pleft( overline{Acup B} right)=1-Qleft( Acup B right)=dfrac{8}{50}=0,14$
Câu 42: Đáp án C
Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động là $t=text{ }0,$ thời điểm khí cầu bắt đầu tiếp đất là ${{t}_{1}}.$
Quãng đường khí cầu đi được từ thời điểm $ttext{ }=0$ đến thời điểm khí cầu bắt đầu tiếp đất là$~{{t}_{l}}$ là: $intlimits_{0}^{{{t}_{1}}}{left( 10-t right)}dt=5t_{1}^{2}-dfrac{t_{1}^{3}}{3}=162$
$Leftrightarrow text{ }tapprox -4,93vee tapprox 10,93vee t=9.$ Do $uleft( t right)ge 0Leftrightarrow 0le tle 10$ nên chọn $t=9$
Vậy khi bắt đầu tiếp đất vận tốcVcủa khí cầu là $vleft( 9 right)=10.9-{{9}^{2}}=9(m/p)$
Câu 43: Đáp án
$begin{array}{l}
xsqrt {ln left( {x + 1} right)} = 0 Rightarrow x = 0\
V = pi intlimits_0^1 {{{left( {xsqrt {ln left( {x + 1} right)} } right)}^2}d{rm{x}}} = pi intlimits_0^1 {{x^2}ln left( {x + 1} right)d{rm{x}}} = frac{pi }{{18}}left( {12ln 2 – 5} right)
end{array}$
Câu 44: Đáp án
Muốn thành một hình bình hành thì cần lấy 2 đường thẳng của nhóm 2017 cắt với 2 đường thẳng của nhóm 2018. Chọn 2 đường thẳng trong nhóm 2017 có $C_{2017}^{2}$cách chọn. Chọn 2 đường thẳng trong nhóm 2018 có $C_{2018}^{2}$cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân có $C_{2017}^{2}.C_{2018}^{2}$ cách chọn
Câu 45: Đáp án D
$begin{array}{l}
intlimits_1^5 {frac{3}{{{x^2} + 3{rm{x}}}}d{rm{x}}} = intlimits_1^5 {left( {frac{1}{x} – frac{1}{{x + 3}}} right)d{rm{x}}} = left. {left( {ln left| x right| – ln left| {x + 3} right|} right)} right|_1^5 = ln 5 – ln 2\
Rightarrow a = 1,b = – 1
end{array}$
Câu 46: Đáp án C
$begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = frac{1}{9}left( {{u_n} + 2sqrt {4{u_n} + 1} + 2} right) Leftrightarrow 9left( {4{u_{n + 1}} + 1} right) = {left( {sqrt {4{u_n} + 1} + 4} right)^2}\
Leftrightarrow 3sqrt {4{u_{n + 1}} + 1} = sqrt {4{u_n} + 1} + 4 Leftrightarrow 3left( {sqrt {4{u_{n + 1}} + 1} – 2} right) = sqrt {4{u_n} + 1} – 2left( * right)
end{array}$
Đặt ${{v}_{n}}=sqrt{4{{u}_{n}}+1}-2$
Lúc này $left( * right)Leftrightarrow {{v}_{n+1}}=dfrac{1}{3}{{v}_{n}},$ đây là cấp số nhân với $q=dfrac{1}{3},{{v}_{1}}=1$
Do đó ${{v}_{n}}={{left( dfrac{1}{3} right)}^{n-1}}Rightarrow {{u}_{n}}=dfrac{{{left( {{v}_{n}}+2 right)}^{2}}-1}{4}=dfrac{{{left( 2+{{left( dfrac{1}{3} right)}^{n-1}} right)}^{2}}-1}{4},forall nin mathbb{N}*$
Vậy $lim {{u}_{n}}=dfrac{3}{4}$
Câu 47: Đáp án C
Ta có: Số hạng tổng quát ${{u}_{n}}={{u}_{n}}+left( n-1 right)d=2018-5left( n-1 right)$
Gọi ${{u}_{k}}$ là số hạng đầu tiên nhận gía trị âm, ta có:
${{u}_{k}}={{u}_{k}}+left( k-1 right)d=2018-5left( k-1 right)<0Leftrightarrow 2018<5k-5Leftrightarrow k>dfrac{2023}{5}$
Vì $kin mathbb{Z}$ nên ta chọn $k=405.$
Vậy bắt đầu số hạng ${{u}_{405}}$ thì nó nhận giá trị âm
Câu 48: Đáp án B
Tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AM nên tam giác AMB vuông tại M, với M là trung điểm BC
Đặt $BC=aRightarrow AM=aq,AB=a{{q}^{2}}.$
Theo định lí Py-ta-go, ta có:
$begin{array}{l}
A{B^2} = B{M^2} + A{M^2} = frac{{BC}}{4} + A{M^2}\
Leftrightarrow {a^2}{q^4} = frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}{q^2} Leftrightarrow {q^4} – {q^2} – frac{1}{4} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{q^2} = frac{{1 + sqrt 2 }}{2}\
{q^2} = frac{{1 – sqrt 2 }}{2}left( L right)
end{array} right.
end{array}$
$ Leftrightarrow {q^2} = frac{{1 + sqrt 2 }}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
q = frac{{sqrt {2 + 2sqrt 2 } }}{2}\
q = – frac{{sqrt {2 + 2sqrt 2 } }}{2}
end{array} right.$
Câu 49: Đáp án C
${V_{left( {C;2} right)}}left( {IGHF} right) = left( {{rm{AIFD}}} right);{D_I}left( {{rm{AIFD}}} right) = CIEB$
Câu 50: Đáp án A
Đặt $r=0,6%$
Sau tháng 1 đước số tiền là $Tleft( 1+r right)$
Sau tháng 2 đước số tiền là $T{{left( 1+r right)}^{2}}+Tleft( 1+r right)$
Sau tháng n đước số tiền là
$T{{left( 1+r right)}^{n}}+…+Tleft( 1+r right)=Tleft[ frac{{{left( 1+r right)}^{16}}-1}{r}-1 right]=10.000.000Leftrightarrow T=635.000$
