Câu 1: Đáp án B
Câu 2: Đáp án C
Có $M(b;a)Rightarrow z=b+ai$
Câu 3: Đáp án A
Câu 4: Đáp án C
Câu 5: Đáp án B
Câu 6: Đáp án A
Câu 7: Đáp án A
Câu 8: Đáp án D
Có ${{log }_{a}}sqrt{asqrt{a}}={{log }_{a}}sqrt{sqrt{{{a}^{3}}}}={{log }_{a}}sqrt[4]{{{a}^{3}}}={{log }_{a}}{{a}^{dfrac{3}{4}}}=dfrac{3}{4}{{log }_{a}}a=dfrac{3}{4}.$
Câu 9: Đáp án C
Có ${{V}_{S.ACD}}=dfrac{1}{3}{{S}_{ACD}}.h=dfrac{1}{3}.dfrac{1}{2}S.h=dfrac{Sh}{6}.$
Câu 10: Đáp án B
Câu 11: Đáp án B
Câu 12: Đáp án B
Câu 13: Đáp án C
Có ${{2}^{{{x}^{2}}}}>1Leftrightarrow {{x}^{2}}>0Leftrightarrow xne 0.$
Câu 14: Đáp án B
Câu 15: Đáp án A
Có $intlimits_{1}^{2}{f(x)dx}=left. left( 3{{x}^{2}}+C right) right|_{1}^{2}=9.$
Câu 16: Đáp án C
Câu 17: Đáp án B
Câu 18: Đáp án D
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác này là trung điểm đoạn thẳng AB, tức điểm $Qleft( 1;0;2 right)$
Câu 19: Đáp án C
Kẻ đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ lần lượt $0<{{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$. Phương trình $fleft( x right)=-1$ có hai nghiệm.
Câu 20: Đáp án B
Gọi M là trung điểm cạnh $BCRightarrow BCbot (SAM)Rightarrow left( (SBC),(ABC) right)=widehat{SMA}.$
Có $AM=dfrac{asqrt{3}}{2},SA=sqrt{3}aRightarrow SM=sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=sqrt{3{{a}^{2}}+dfrac{3}{4}{{a}^{2}}}=dfrac{asqrt{15}}{2}.$
Do đó $cos widehat{SMA}=dfrac{AM}{SM}=dfrac{dfrac{asqrt{3}}{2}}{dfrac{asqrt{15}}{2}}=dfrac{sqrt{5}}{5}.$
Câu 21: Đáp án A
Câu 22: Đáp án A
Câu 23: Đáp án B
Tổng số tiền người đó thu về sau n năm là
$S=20{{(1+0,06)}^{n}}+20{{(1+0,06)}^{n-1}}+…+20(1+0,06)$
$=20(1+0,06)dfrac{{{(1+0,06)}^{n}}-1}{0,06}>400Rightarrow n>12,993Rightarrow nge 13.$
Vậy sau ít nhất 13 năm thì số tiền người đó thu về lớn hơn 400 triệu đồng
Câu 24: Đáp án B
Có ${B}'{C}’//BCRightarrow (A{B}’,BC)=(A{B}’,{B}'{C}’).$
Có $cos widehat{A{B}'{C}’}=dfrac{A{{{{B}’}}^{2}}+{B}'{{{{C}’}}^{2}}-A{{{{C}’}}^{2}}}{2A{B}’.{B}'{C}’}=dfrac{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}{2.sqrt{2}a.a}=dfrac{sqrt{2}}{4}.$
Cách 2: Có $overrightarrow{A{B}’}.overrightarrow{BC}=overrightarrow{A{B}’}left( overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB} right)=dfrac{A{{{{B}’}}^{2}}+A{{C}^{2}}-{B}'{{C}^{2}}}{2}-dfrac{A{{{{B}’}}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{{{B}’}}^{2}}}{2}=-dfrac{{{a}^{2}}}{2}.$
Do đó $cos left( A{B}’,BC right)=left| cos left( overrightarrow{A{B}’},overrightarrow{BC} right) right|=dfrac{left| overrightarrow{A{B}’}.overrightarrow{BC} right|}{A{B}’.BC}=dfrac{dfrac{{{a}^{2}}}{2}}{sqrt{2}a.a}=dfrac{sqrt{2}}{4}.$
Câu 25: Đáp án D
Số tập con của S là ${{2}^{6}}=64.$ Số tập con có đúng hai phần tử của S là $C_{6}^{2}=15.$
Mỗi người đều có 64 cách chọn nên Số phần tử không gian mẫu là $64times 64.$
Mỗi người có 15 cách chọn để được tập con gồm đúng hai phần tử của S nên Số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất là $15times 15.$
Xác suất cần tính bằng $dfrac{15times 15}{64times 64}=dfrac{225}{4096}.$
Câu 26: Đáp án B
Có $BC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=sqrt{{{x}^{2}}+1}.$ Vì vậy
$underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( AB+AC-BC right)=underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( x+1-sqrt{{{x}^{2}}+1} right)=underset{xto +infty }{mathop{lim }},dfrac{{{(x+1)}^{2}}-({{x}^{2}}+1)}{x+1+sqrt{{{x}^{2}}+1}}=1.$
Câu 27: Đáp án D
Có ${{u}_{3}}+{{u}_{98}}=left( {{u}_{1}}+2d right)+left( {{u}_{1}}+97d right)=2{{u}_{1}}+99d=12.$
Do đó ${{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{100}}=dfrac{100}{2}left[ 2{{u}_{1}}+(100-1)d right]=50(2{{u}_{1}}+99d)=50.12=600.$
Câu 28: Đáp án D
Gọi O là tâm mặt đáy có $SObot (ABCD)$ và$widehat{SAO}={{60}^{0}}Rightarrow SO=AOtan {{60}^{0}}=dfrac{asqrt{2}}{2}sqrt{3}=dfrac{asqrt{6}}{2}.$
Do đó
$BC//ADRightarrow BC//(SAD)Rightarrow d(BC,SA)=d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))=2d(O,(SAD)).$
Tứ diện O.SAD vuông tại O nên
$dfrac{1}{{{d}^{2}}(O,(SAD))}=dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+dfrac{1}{O{{D}^{2}}}+dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=dfrac{2}{{{a}^{2}}}+dfrac{2}{{{a}^{2}}}+dfrac{2}{3{{a}^{2}}}=dfrac{14}{3{{a}^{2}}}Rightarrow d(O,(SAD))=asqrt{dfrac{3}{14}}.$
Vậy $d(SA,BC)=dfrac{asqrt{42}}{7}.$
Câu 29: Đáp án B
Vì (P) cách đều hai điểm C, D và hai điểm C, D nằm về cùng một phía so với mặt phẳng (P). Nên (P) song song với đường CD. Vậy $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{CD} right]=(3;5;7).$ Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm $A(1;2;1)$ có phương trình là $3x+5y+7z-20=0.$ Do đó $S=3+5+7=15.$
Câu 30: Đáp án B
Có ${y}’=m+dfrac{3}{{{x}^{4}}}+6{{x}^{2}}ge 0,forall x>0Leftrightarrow mge -3left( 2{{x}^{2}}+dfrac{1}{{{x}^{4}}} right),forall x>0$
$Leftrightarrow mge underset{(0;+infty )}{mathop{max }},left{ y=-3left( 2{{x}^{2}}+dfrac{1}{{{x}^{4}}} right) right}=y(1)=-9.$
Vậy $min left{ -9,…,-1 right}$ có tất cả 9 số nguyên âm thoả mãn.
Câu 31: Đáp án A
Có $S=underset{0}{overset{6}{mathop int }},left| {{x}^{2}}(x-6) right|dx=108.$
Câu 32: Đáp án D
Có $underset{1}{overset{2}{mathop int }},dfrac{6sqrt{x}}{sqrt{x+1}+sqrt{x}+1}dx=underset{1}{overset{2}{mathop int }},dfrac{6sqrt{x}left( sqrt{x+1}-sqrt{x}-1 right)}{x+1-{{left( sqrt{x}+1 right)}^{2}}}dx=underset{1}{overset{2}{mathop int }},3left( sqrt{x+1}-sqrt{x}-1 right)dx$
$=left. left( 2sqrt{{{(x+1)}^{3}}}-2sqrt{{{x}^{3}}}-3x right) right|_{1}^{2}=1+8sqrt{2}-6sqrt{3}=1+sqrt{128}-sqrt{108}.$
Vậy $a+b+c=1+128+108=237.$
Câu 33: Đáp án B
Có $sin alpha =dfrac{d(C,({A}’BD))}{{A}’C}=dfrac{d(A,({A}’BD))}{{A}’C}=dfrac{dfrac{6}{7}}{sqrt{14}}=dfrac{3sqrt{14}}{49}.$
Trong đó ${A}’C=sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=sqrt{14}$ và tứ diện A.A′BD vuông tại A có
$dfrac{1}{{{d}^{2}}(A,({A}’BD))}=dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+dfrac{1}{A{{{{A}’}}^{2}}}=dfrac{1}{1}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{9}Rightarrow d(A,({A}’BD))=dfrac{6}{7}.$
Cách 2: Chọn gốc toạ độ tại A, các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các tia $AD,AB,A{A}’.$
Có $D(2;0;0),B(0;1;0),{A}'(0;0;3),C(2;1;0).$
Mặt phẳng (A′BD) có véctơ pháp tuyến $vec{n}=left( dfrac{1}{2};dfrac{1}{1};dfrac{1}{3} right).$ Đường thẳng A′C có véctơ chỉ phương $overrightarrow{{A}’C}(2;1;-3).$
Do đó $sin alpha =dfrac{left| dfrac{1}{2}.2+dfrac{1}{1}.1+dfrac{1}{3}.(-3) right|}{sqrt{{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( dfrac{1}{1} right)}^{2}}+{{left( dfrac{1}{3} right)}^{2}}}sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=dfrac{3sqrt{14}}{49}.$
Câu 34: Đáp án D
Có $z=left| z right|(2+i)-(3+i)=left( 2left| z right|-3 right)+ileft( left| z right|-1 right).$
Lấy môđun hai vế có $left| z right|=left| left( 2left| z right|-3 right)+ileft( left| z right|-1 right) right|=sqrt{{{left( 2left| z right|-3 right)}^{2}}+{{left( left| z right|-1 right)}^{2}}}.$
Đặt $t=left| z right|(t>1),$ ta có phương trình $t = sqrt {{{(2t – 3)}^2} + {{(t – 1)}^2}} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1(l)}\
{t = frac{5}{2}(t/m)}
end{array}} right..$
Vậy $left| z right|=dfrac{5}{2}$ và thay ngược lại đẳng thức có $z=2+dfrac{3}{2}i.$ Vậy $a=2,b=dfrac{3}{2}$ và $a+2b=5.$
Câu 35: Đáp án C
Phương trình tương đương với:
$m+4sqrt{m+4sin x}={{sin }^{2}}xLeftrightarrow m+4sin x+4sqrt{m+4sin x}={{sin }^{2}}x+4sin x$
$ Leftrightarrow sqrt {m + 4sin x} = sin x Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{sin x ge 0}\
{m = {{sin }^2}x – 4sin x in [ – 3;0]}
end{array}} right..$
Vậy $min left{ -3,-2,-1,0 right}.$
Câu 36: Đáp án A
Đặt $t=sin x+1in [0;2],$ khi đó$y=left| f(sin x+1)+2 right|=left| f(t)+2 right|=left| {{t}^{3}}-3t+2 right|.$
Xét $u={{t}^{3}}-3t+2$ trên đoạn $[0;2]$ có ${u}’=3{{t}^{2}}-3;{u}’=0Leftrightarrow t=pm 1.$
Do đó $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{mathop {max }limits_{[0;2]} {mkern 1mu} u = max { u(0),u(2),u(1)} = max { 2,4,0} = 4}\
{mathop {min }limits_{[0;2]} {mkern 1mu} u = min { u(0),u(2),u(1)} = min { 2,4,0} = 0}
end{array}} right..$
Do đó $M=underset{[0;2]}{mathop{max }},left| u right|=4;m=underset{[0;2]}{mathop{min }},left| u right|=0Rightarrow M+m=4+0=4.$
*Chú ý. Các em nên nhập hàm $F(X)=left| {{(sin X+1)}^{3}}-3(sin X+1)+2 right|$ và MODE 7 trên đoạn $[0;2pi ].$
Câu 37: Đáp án B
Dựa vào đồ thị của ${f}’left( x right)$ suy ra bảng biến thiên của hàm số $fleft( x right)$ như hình vẽ sau
Do $f(-1)=f(4)=0Rightarrow f(x)ge 0,forall xin mathbb{R}.$ Vậy
$y’ = 2f(x)f'(x) < 0 Leftrightarrow f'(x) < 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x < – 1\
1 < x < 4
end{array} right.$
Câu 38: Đáp án A
Ta có $dfrac{1}{{{d}^{2}}(O,(P))}=dfrac{1}{{{h}^{2}}}+dfrac{1}{{{r}^{2}}-dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}Rightarrow dfrac{1}{{{left( dfrac{sqrt{5}a}{5} right)}^{2}}}=dfrac{1}{{{h}^{2}}}+dfrac{1}{4{{a}^{2}}-dfrac{12{{a}^{2}}}{4}}Leftrightarrow h=dfrac{a}{2}.$
Do đó $V=dfrac{pi {{r}^{2}}h}{3}=dfrac{2pi {{a}^{3}}}{3}.$
Câu 39: Đáp án C
Theo giả thiết ta có $f(x) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{f(1) + intlimits_1^x {{e^x}dx} = left. {e + {e^x}} right|begin{array}{*{20}{c}}
x\
1
end{array} = e + ({e^x} – e) = {e^x}(x ge 1)}\
{f(1) + intlimits_1^x {{e^{ – x}}dx} = left. {e – {e^{ – x}}} right|begin{array}{*{20}{c}}
x\
1
end{array} = e – left( {{e^{ – x}} – frac{1}{e}} right) = e + frac{1}{e} – {e^{ – x}}(x le 1)}
end{array}} right..$
Do đó với $ln 3>1;ln 2<1;-ln 2<1;-ln 3<1$ có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{f( – ln 3) = e + frac{1}{e} – {e^{ln 3}} = e + frac{1}{e} – 3}\
{f( – ln 2) = e + frac{1}{e} – {e^{ln 2}} = e + frac{1}{e} – 2}\
{f(ln 2) = e + frac{1}{e} – {e^{ – ln 2}} = e + frac{1}{e} – frac{1}{2}}\
{f(ln 3) = {e^{ln 3}} = 3}
end{array}} right..$
Vì vậy $f(-ln 3)+f(-ln 2)+f(ln 2)+f(ln 3)=3left( e+frac{1}{e} right)-frac{5}{2}.$
