Câu 1: Đáp án C
Với $x=0,,y=1Rightarrow $ loại A và D.
Đồ thị hàm số đi lên $+infty Rightarrow a>0to $ loại B $to $ Chọn đáp án C.
Câu 2: Đáp án D
$y’ = – 4{x^3} + 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = pm 1
end{array} right. to $ Chọn đán án D.
Câu 3: Đáp án A
$underset{xto pm infty }{mathop{lim }},y=2to $ loại C, D.
Hàm số không xác định tại $x=2to $ loại B
Câu 4: Đáp án D
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Chọn đán án D.
Câu 5: Đáp án D
B sai vì hai biểu thức không tương đương.
Câu 6: Đáp án A
Ta có $int{frac{2x+2}{{{left( x+1 right)}^{2}}}}dx=int{frac{2}{x+1}}dx=2ln left( x+1 right)=ln {{left( x+1 right)}^{2}}$
Câu 7: Đáp án C
$int{frac{{{e}^{2x}}}{2}}dx=frac{1}{2}.frac{{{e}^{2x}}}{2}+C=frac{{{e}^{2x}}}{4}+C$
Câu 8: Đáp án A
Ta có $z.overline{z}=left( a+bi right)left( a-bi right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$
Câu 9: Đáp án D
Dễ thấy A,B,C đúng. Chọn D.
Câu 10: Đáp án A
Câu 11: Đáp án A
Ta có $R=sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}-5}=3$
Câu 12: Đáp án B
Cách 1. Ta có $left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB} = left( { – 1; – 2;0} right)\
overrightarrow {AC} = left( { – 1;0; – 5} right)
end{array} right. Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] = left( {10, – 5, – 2} right)$
$overrightarrow{n}=dfrac{1}{10}=left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=left( 1;-dfrac{1}{2};-dfrac{1}{5} right)$
Cách 2.
Theo công thức phương trình đoạn chắn ta có phương trình $left( ABC right):dfrac{x}{1}=dfrac{y}{-2}+dfrac{z}{-5}=1$
Suy ra phương trình pháp tuyến của $left( ABC right)$là $overrightarrow{n}=left( 1;-dfrac{1}{2};-dfrac{1}{5} right)$
Câu 13: Đáp án A
Số phần tử của không gian mẫu là ${{n}_{Omega }}=C_{10}^{2}$
Số cách lấy ra hai viên bi đỏ là $C_{4}^{2}$
$Rightarrow P=dfrac{C_{10}^{2}}{C_{4}^{2}}$
Câu 14: Đáp án A
Ta có $lim dfrac{1}{{{n}^{k}}}=0left( kin N* right)$
Câu 15: Đáp án C
Ta có $y=dfrac{2x-1}{x-3}=2+dfrac{5}{x-3}Rightarrow yin ZRightarrow x-3in {{U}_{left( 5 right)}}=left{ 1;-1;5;-5 right}$
Vậy có 4 điểm có tọa độ nguyên.
Câu 16: Đáp án C
ĐK $x<2,y’=1-dfrac{1}{sqrt{2-x}}Rightarrow y’>0Leftrightarrow sqrt{2-x}>1Leftrightarrow x<1$
$y'<0Leftrightarrow sqrt{2-x}<1Leftrightarrow x>1$
Kết hợp điều kiện ta có. Khoảng đồng biến là $left( -infty ;1 right)Rightarrow left( -infty ;0 right)$ cũng là khoảng đồng biến của hàm số.
Câu 17: Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{2}}-2x-4=0Rightarrow {{x}_{I}}=dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=dfrac{2}{2}=1$
Câu 18: Đáp án B
Ta có $PT Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2} – 3x + 3 > 0\
{x^2} – 3x + 3 < 1
end{array} right. Leftrightarrow 1 < x < 2$
Câu 19: Đáp án D
Sử dụng Casio nhập $dfrac{{{A}^{sqrt{7}+1}}.{{B}^{sqrt{2}}}.sqrt{{{C}^{5}}}}{{{A}^{2+sqrt{7}}}.{{B}^{2cosdfrac{7pi }{4}}}.{{C}^{dfrac{1}{2}}}}xrightarrow{CACL}A=2,,B=3,,C=4$ được kết quả là $8$. Sau đó thay A, B, C vào các phương án ta chọn được đáp án D.
Câu 20: Đáp án B
Xét ${{x}^{3}}+1=0Rightarrow x=-1Rightarrow S=intlimits_{-1}^{1}{left| {{x}^{3}}+1 right|dx=2}$
Câu 21: Đáp án B
Gọi $z=x+yi,left( x,yin R right)$. Theo giả thiết
$left| iz+3-i right|=2Leftrightarrow left| left( x-1 right)i+3-y right|=2Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-3 right)}^{2}}=4$
Câu 22: Đáp án B
Dễ chứng minh $SObot left( ABCD right),,SO=sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=dfrac{asqrt{3}}{2}Rightarrow {{V}_{chop}}=dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$
Câu 23: Đáp án C
Do $AB’cap A’B$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Do đó ${{d}_{B’}}={{d}_{A}}={{d}_{C}}$
+) Dựng $CHbot BDRightarrow CHbot left( A’BD right)$
+) Do đó $dleft( B’;A’BD right)=dleft( C;A’BD right)=CH=dfrac{BC.CD}{BD}=dfrac{asqrt{3}}{2}$
Câu 24: Đáp án B
Ta có mặt bên là hình chữ nhật có diện tích bằng $3{{a}^{2}}Rightarrow $ chiều cao của lăng trụ là $dfrac{3{{a}^{2}}}{a}=3a$. Có diện tích đáy hình trụ bằng $S=pi {{a}^{2}}$
Vậy $V=3a.pi {{a}^{2}}=3pi {{a}^{3}}$.
Câu 25: Đáp án B
Lấy $Mleft( 2;0;1 right)in {{d}_{1}}$ và $Nleft( -1;0;1 right)in left( {{d}_{2}} right)$. Ta có $dleft( {{d}_{1}};{{d}_{2}} right)=dfrac{left| left[ overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}},overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} right]overrightarrow{MN} right|}{left| left[ overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}},overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} right] right|}=dfrac{15}{sqrt{35}}$
Câu 26: Đáp án A
Ta có $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left[ overrightarrow{AC},overrightarrow{AB} right]=left( 1;1;1 right)$. Phương trình $left( P right)$ là $x+y+z-3=0$
Câu 27: Đáp án C
Số các số tự nhiên có 5 chữ số là $9.9.8.7.6=27216$
Số thỏa mãn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải (là $overline{abcde}$ suy ra $ane 0Rightarrow b,c,d,ene 0$
Với mỗi cách chọn ra $5$ số trong $9$ số từ $1$ đến $9$ ta được $1$ số thỏa mãn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước. Vậy có $C_{9}^{5}=126$ số.
Vậy xác suất là $dfrac{126}{27216}=dfrac{1}{126}$.
Câu 28: Đáp án D
Ta có ${{left( 1+x right)}^{3n}}=sumlimits_{k=0}^{3n}{C_{n}^{k}{{x}^{3n}}}$
Chọn $x=1$. Ta có tổng hệ số bằng $C_{3n}^{0}+C_{3n}^{1}+…C_{3n}^{3n}={{2}^{3n}}=64Rightarrow n=2$
Ta có ${{left( 2nx+dfrac{1}{2n{{x}^{2}}} right)}^{3n}}=sumlimits_{k=0}^{3n}{C_{3n}^{k}}{{left( 2nx right)}^{3n-k}}{{left( dfrac{1}{2n{{x}^{2}}} right)}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{3n}{C_{3n}^{k}}.{{left( 2n right)}^{3n-2k}}.{{x}^{3n-3k}}$
Số hạng không chứa $x$ suy ra ${{x}^{3n-3k}}={{x}^{0}}Leftrightarrow n=k=2$.
Do đó số hạng không chứa $x$ là $C_{6}^{2}.{{left( 4 right)}^{2}}=240$.
Câu 29: Đáp án A
Để đồ thị hàm số có 2 cực trị cách đều trục tung thì chắc chắn 2 cực trị đó phải nằm về 2 phía của trục tung $|{{x}_{1}}|=|{{x}_{2}}|<=>{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0<=>{{m}^{2}}-1=0<=>m=pm 1$
Thay m=1 và m= -1 và để xem m bằng bao nhiêu thì có 2 cực trị => m= -1
Câu 30: Đáp án A
$(*)<=>|{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}|=m$
Vẽ đồ thị của hàm số $|{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}|$ ta nhận biết ngay được để có 6 nghiệm phân biệt thì 0<m<1
Câu 31: Đáp án D
Đồ thị hàm số đã có 2 tiệm cận $y=pm 1.$ Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì phương trình ${{x}^{2}}-2x+m=0$ phải có 1 nghiệm. Do đó $m=1.$
Thử lại: Với$m = 1 Rightarrow y = frac{{x – 1}}{{sqrt {{{left( {x – 1} right)}^2}} }} = left{ begin{array}{l}
1,x > 1.\
– 1,x < 1.
end{array} right.$
Nên hàm số không có 3 tiệm cận.
Vậy, không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Đáp án C
Đặt $MN=x>0$. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. $MNcap AB=left{ H right}.$ Dễ dàng tính được:
$begin{array}{l}
MP = xsqrt 2 Rightarrow MH = frac{{5 – xsqrt 2 }}{2};MO = frac{{MP}}{2} = frac{{xsqrt 2 }}{2}\
Rightarrow M{B^2} = M{H^2} + H{B^2} = frac{{{x^2}}}{2} – frac{{5xsqrt 2 }}{2} + frac{{25}}{2}.
end{array}$
Chiều cao hình chóp là: $h=sqrt{M{{B}^{2}}-M{{O}^{2}}}=sqrt{dfrac{25}{2}-dfrac{5xsqrt{2}}{2}}$
Khi đó: ${{V}_{A.MNPQ}}=dfrac{1}{3}{{x}^{2}}sqrt{dfrac{25}{2}-dfrac{5xsqrt{2}}{2}}=dfrac{1}{3sqrt{2}}sqrt{25{{x}^{4}}-5sqrt{2}{{x}^{5}}}.$
Đặt $fleft( x right)=25{{x}^{4}}-5sqrt{2}{{x}^{5}}Rightarrow f’left( x right)=100{{x}^{3}}-25sqrt{2}{{x}^{4}}.$
$Rightarrow {{V}_{A.MNPQ}}maxLeftrightarrow fleft( x right)maxLeftrightarrow f’left( x right)=0Leftrightarrow x=dfrac{100}{25sqrt{2}}=2sqrt{2}(cm).$
Câu 33: Đáp án C
ĐK: $left{ begin{array}{l}
x + 2 > 0\
frac{{2x + 1}}{x} > 0
end{array} right.$
$(*)<=>{{log }_{2}}sqrt{x+2}+{{(sqrt{x+2}-1)}^{2}}={{log }_{2}}(2+dfrac{1}{x})+{{(1+dfrac{1}{x})}^{2}}$
Đặt $sqrt{x+2}=t;2+dfrac{1}{x}=u(t,u>0)$
$begin{array}{l}
< = > {log _2}t + {(t – 1)^2} = {log _2}u + {(u – 1)^2}\
< = > left{ begin{array}{l}
f(t) = f(u)\
t,u > 0
end{array} right.
end{array}$
Xét
$begin{array}{l}
f(v) = {log _2}v + {(v – 1)^2}(v > 0)\
f'(v) = frac{1}{{vln 2}} + 2(v – 1) = frac{{1 + 2(v – 1)vln 2}}{{vln 2}} = frac{{1 + 2{v^2}ln 2 – 2vln 2}}{{vln 2}} = frac{{{{(1 – vln 2)}^2} + 2{v^2}ln 2 – {v^2}{{ln }^2}2}}{{vln 2}}
end{array}$
$ = frac{{{{(1 – vln 2)}^2} + {v^2}(2ln 2 – {{ln }^2}2)}}{{vln 2}} > 0forall v > 0$
=> Hàm số f(v) đồng biến với mọi v>0
=> $t=u<=>sqrt{x+2}=2+dfrac{1}{x}<=>x=dfrac{1pm sqrt{13}}{2}$
=> Tổng các nghiệm dương S=$dfrac{1+sqrt{13}}{2}$
Câu 34: Đáp án D
Thử từng đáp án ta tìm được đáp án D ứng với hàm ố thỏa mãn. Thật vậy:
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị hàm số:${x^2} = 2x Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.$
Khi đó, thể tích khối tròn xoay tạo bởi 2 đồ thị hàm số khi quay quanh trục Ox là:
$V=pi intlimits_{0}^{2}{left| {{left( {{x}^{2}} right)}^{2}}-{{left( 2x right)}^{2}} right|}dx=pi intlimits_{0}^{2}{4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}dx=frac{64pi }{15}}$(đvtt)
$Rightarrow $Thỏa mãn.
Câu 35: Đáp án C
Ta có: $f’left( x right)=-3a{{left( x+1 right)}^{-4}}+bleft( x{{e}^{x}}+{{e}^{x}} right).$ Do $f’left( 0 right)=-22Leftrightarrow 3a-b=22$ $left( 1 right)$
Mặt khác:
$intlimits_0^1 {fleft( x right)dx = 5 Leftrightarrow intlimits_0^1 {a{{left( {x + 1} right)}^{ – 3}} + bx{e^x}dx} } = 5$$ Leftrightarrow left. {left[ {frac{{ – a{{left( {x + 1} right)}^{ – 2}}}}{2} + bleft( {x{e^x} – {e^x}} right)} right]} right|_0^1 = 5 Leftrightarrow frac{{3a}}{8} + b = 5$ $left( 2 right)$
Từ $left( 1 right)$ và $left( 2 right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 8\
b = 2
end{array} right. Rightarrow {a^2} + {b^2} = 68.$
