Câu 33: Đáp án A
Dễ dàng tính được: $AB=AC=a.$ Gọi D là trung điểm của SA
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
BD = DC = frac{{asqrt 3 }}{2}\
BD bot SA;CD bot SA.
end{array} right.$
$ Rightarrow left( {(SAB);(SAC)} right) = left( {BD;CD} right) = widehat {BDC.}$
$cos widehat {BDC} = frac{{B{D^2} + D{C^2} – B{C^2}}}{{2.BD.DC}} = frac{{{{left( {frac{{asqrt 3 }}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{asqrt 3 }}{2}} right)}^2} – {{left( {asqrt 2 } right)}^2}}}{{2.left( {frac{{asqrt 3 }}{2}} right).left( {frac{{asqrt 3 }}{2}} right)}} = frac{{ – 1}}{3}.$
Câu 34: Đáp án A
Ta có:$P(t)=100.{{left( 0,5 right)}^{dfrac{t}{5750}}}=65Leftrightarrow {{left( 0,5 right)}^{dfrac{t}{5750}}}=0,65$
$Leftrightarrow dfrac{t}{5750}={{log }_{0,5}}0,65Leftrightarrow t=5750.{{log }_{0,5}}0,65approx 3574$ năm.
Câu 35: Đáp án B
Ta có:
+ Số cách lập một số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 là:
$5.5.4.3.2.1=5.5!$ (cách).
+ Chọn 2 chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau, có 2 cách thay đổi vị trí 2 chữ số này (23 và 32). Khi đó số cách lập một số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 mà chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau là:
$2.left( 4.4.3.2.1 right)=8.4!$ (cách).
Vậy xác suất là: $dfrac{8.4!}{5.5!}=dfrac{8}{25}.$ (cách).
Câu 36: Đáp án A
Ta có: $2{{log }_{4}}left( 2{{x}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} right)+{{log }_{frac{1}{2}}}left( {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} right)=0$
ĐKXĐ: $2{{x}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}}>0;{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}>0.$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow {log _2}left( {2{x^2} – x + 2m – 4{m^2}} right) = {log _2}left( {{x^2} + mx – 2{m^2}} right)\
Leftrightarrow 2{x^2} – x + 2m – 4{m^2} = {x^2} + mx – 2{m^2}
end{array}$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow {x^2} – left( {m + 1} right)x + 2m – 2{m^2} = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_1} = – m + 1\
{x_2} = 2m
end{array} right.
end{array}$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1$ thì:
$left{ begin{array}{l}
– m + 1 ne 2m\
{left( { – m + 1} right)^2} + {left( {2m} right)^2} > 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ne frac{1}{3}\
5{m^2} – 2m > 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m > frac{2}{5}\
m < 0
end{array} right.$ $left( 1 right)$
Mặt khác, từ điều kiện xác định của phương trình nên ta có:
$left{ begin{array}{l}
x_1^2 + m{x_1} – 2{m^2} > 0\
x_2^2 + m{x_2} – 2{m^2} > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {1 – m} right)^2} + mleft( {1 – m} right) – 2{m^2} > 0\
{left( {2m} right)^2} + mleft( {2m} right) – 2{m^2} > 0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 2{m^2} – m + 1 > 0\
2{m^2} > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 1 < m < frac{1}{2}\
m ne 0
end{array} right.$ $left( 2 right)$
Từ $left( 1 right)$ và $left( 2 right)$ ta có: $left[ begin{array}{l}
– 1 < m < 0\
frac{2}{5} < m < frac{1}{2}
end{array} right..$
Câu 37: Đáp án C
Ta có: $I=intlimits_{0}^{dfrac{pi }{3}}{{{cos }^{n}}x.sin xdx=}intlimits_{0}^{dfrac{pi }{3}}{-{{cos }^{n}}xd(cos x)=left. dfrac{-{{cos }^{n+1}}x}{n+1} right|_{0}^{dfrac{pi }{3}}=dfrac{1-dfrac{1}{{{2}^{n+1}}}}{n+1}.}$
Mà $I=dfrac{15}{64}Leftrightarrow dfrac{1-dfrac{1}{{{2}^{n+1}}}}{n+1}=dfrac{15}{64}Leftrightarrow 49-{{2}^{5-n}}=15n.$
Thử các giá trị của $n$ từ $0$đến $5$ ta tìm được $n=3.$
Câu 38: Đáp án A
Ta có:$f(x) = {ln ^2}x Rightarrow f'(x) = 2frac{{ln x}}{x}.$
$ Rightarrow I = intlimits_1^e {f”(x)dx = left. {f'(x)} right|_1^e = } left. {2frac{{ln x}}{x}} right|_1^e = frac{2}{e}.$
Câu 39: Đáp án A
Ta có: $v(t)=int{a(t)dt=dfrac{{{t}^{3}}}{3}+dfrac{3{{t}^{2}}}{2}+C.}$
Tại $t=0Rightarrow v=10$ nên $C=10.$
Do đó: $s=intlimits_{0}^{10}{v(t)dt=intlimits_{0}^{10}{left( dfrac{{{t}^{3}}}{3}+dfrac{3{{t}^{2}}}{2}+10 right)}}dt=dfrac{4300}{3}(m).$
Câu 40: Đáp án B
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ nên:
$widehat{SAH}=widehat{SBH}=widehat{SCH}={{60}^{0}}Rightarrow HA=HB=HCleft( =dfrac{SH}{tan {{60}^{0}}} right).$
$Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$
$Rightarrow H$là trung điểm của $BC.$
Ta có:
$AB=AC=asqrt{2};HA=dfrac{BC}{2}=aRightarrow SH=HA.tan {{60}^{0}}=asqrt{3}.$
Do đó thể tích hình chóp S.ABC là: $V={{S}_{Delta ABC}}.dfrac{SH}{3}=dfrac{{{left( asqrt{2} right)}^{2}}}{2}.dfrac{asqrt{3}}{3}=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$(đvtt).
Câu 41: Đáp án A
Chuẩn hóa $a=1Rightarrow AB=sqrt{3};BC=2.$ Giả sử $AA’=h.$
Gắn hệ trục tọa độ $Axyz$với $A$ là gốc tọa độ; tia $Ax$ trùng với tia $AB$; tia $Ay$ trùng với tia $AC$; tia $Az$ trùng với tia $AA’$. Khi đó:
$(ACC’A’)equiv (Ayz)$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}left( 1;0;0 right);Bleft( sqrt{3};0;0 right);C’left( 0;1;h right)Rightarrow overrightarrow{BC’}left( -sqrt{3};1;h right).$
$left( BC’;(ACC’A’) right)={{30}^{0}}Leftrightarrow dfrac{left| n.BC right|}{left| n right|.left| BC
right|}=sin {{30}^{0}}.$
$Leftrightarrow dfrac{left| -sqrt{3} right|}{1.sqrt{4+{{h}^{2}}}}=dfrac{1}{2}Rightarrow h=2sqrt{2}.$
Do đó:
${{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{Delta ABC}}.AA’=dfrac{AB.AC.AA’}{2}=dfrac{sqrt{3}.1.2sqrt{2}}{2}=sqrt{6}.$
Câu 42: Đáp án B
Do (P)//(Q) nên (P) có phương trình dạng: $x+2y-2z+c=0$ $left( cne -1 right)$.
Do $Aleft( -1;2;-1 right)$ cách đều (P) và (Q) nên:
${d_{left( {A;(P)} right)}} = {d_{left( {A;(Q)} right)}} Leftrightarrow frac{{left| { – 1 + 2.2 – 2left( { – 1} right) + c} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} }} = frac{{left| { – 1 + 2.2 – 2left( { – 1} right) – 1} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} }}$
$ Leftrightarrow left| {5 + c} right| = 4 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
c = – 1(l)\
c = – 9(t/m)
end{array} right. Rightarrow (P):x + 2y – 2z – 9 = 0.$
Câu 43: Đáp án D
${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{1}}}(2;2;-1);$${{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{2}}}(3;2;-2).$
Giả sử $Aleft( 4+2t;4+2t;-3-t right)in {{d}_{1}}$ và $Bleft( 1+3s;-1+2s;2-2s right)in {{d}_{2}}$ với $ABbot {{d}_{1}};ABbot {{d}_{2}}.$
$Rightarrow ABequiv Delta .$ Ta có:
$left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB} bot overrightarrow {{u_1}} Leftrightarrow left( {3s – 2t – 3} right).2 + left( {2s – 2t – 5} right).2 + left( { – 2s + t + 5} right)left( { – 1} right) = 0\
overrightarrow {AB} bot overrightarrow {{u_2}} Leftrightarrow left( {3s – 2t – 3} right).3 + left( {2s – 2t – 5} right).2 + left( { – 2s + t + 5} right)left( { – 2} right) = 0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
s = 1\
t = – 1
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
Aleft( {2;2; – 2} right)\
Bleft( {4;1;0} right)
end{array} right. Rightarrow overrightarrow {AB} left( {2; – 1;2} right).$
Vậy phương trình đường thẳng $left( Delta right)$ là: $dfrac{x-4}{2}=dfrac{y-1}{-1}=dfrac{z}{2}.$
Câu 44: Đáp án C
Thể tích hộp là: ${{x}^{2}}h=500Leftrightarrow h=dfrac{500}{{{x}^{2}}}.$
Diện tích bìa để làm hộp là: $S={{x}^{2}}+4xh={{x}^{2}}+4x.dfrac{500}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+dfrac{2000}{x}=f(x).$
$Smin Rightarrow f'(x)=0Leftrightarrow 2x-dfrac{2000}{{{x}^{2}}}=0Leftrightarrow 2{{x}^{3}}=2000Leftrightarrow x=10.$
Câu 45: Đáp án B
Vì$xin left( -1;1 right)Rightarrow {{2}^{x}}in left( dfrac{1}{2};2 right).$
ĐKXĐ:${2^x} ne m Leftrightarrow m notin left( {frac{1}{2};2} right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m le frac{1}{2}\
m ge 2
end{array} right.$
Ta có: $y=f(x)=dfrac{{{2}^{-x}}-2}{{{2}^{-x}}-m}Rightarrow f'(x)=dfrac{{{2}^{-x}}ln 2left( m-2 right)}{{{left( {{2}^{-x}}-m right)}^{2}}}.$
Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $left( -1;1 right)$ thì:
$f'(x)<0,forall xin left( -1;1 right)Leftrightarrow m-2<0Leftrightarrow m<2.$
Kết hợp với ĐKXĐ ta có: $mle dfrac{1}{2}.$
Câu 46: Đáp án B
+ $(C)$ đi qua các điểm $left( 0;2 right);left( -2;0 right);left( 1;0 right);left( -1;4 right)$ nên:
$left{ begin{array}{l}
d = 2\
– 8a + 4b – 2c + d = 0\
a + b + c + d = 0\
– a + b – c + d = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = 0\
c = – 3\
d = 2
end{array} right. Rightarrow (C):y = {x^3} – 3x + 2.$
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $text{Ox}$ là: $intlimits_{-2}^{1}{left( {{x}^{3}}-3x+2 right)dx}=dfrac{27}{4}$(đvdt).
Câu 47: Đáp án A
Ta có:
$begin{array}{l}
z = frac{{{{left( {1 + i} right)}^{2013}} – 1}}{{left( {1 + i} right) – 1}} = frac{{{{left[ {{{left( {1 + i} right)}^2}} right]}^{1006}}left( {1 + i} right) – 1}}{i} = – left[ {{{left( {2i} right)}^{1006}}left( {1 + i} right) – 1} right]i\
Leftrightarrow z = – left[ { – {2^{1006}}left( {1 + i} right) – 1} right] = – {2^{1006}} + left( {{2^{1006}} + 1} right)i.
end{array}$
Câu 48: Đáp án B
Gọi $O$ là trung điểm của $AB.$
Do $Delta SAB$ đều và vuông góc với mặt phẳng đáy nên suy ra:
$SObot left( ABCD right)Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=dfrac{SO.{{S}_{ABCD}}}{3}={{a}^{3}}.$
Mà $SO=dfrac{asqrt{3}}{2}Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{a}^{2}}sqrt{3}.$
Gọi $CHbot AB=left{ H right}.$ Vì ${{S}_{ABCD}}=2{{a}^{2}}sqrt{3}Rightarrow CH=dfrac{{{S}_{ABCD}}}{AB}=2asqrt{3}.$
Mặt khác, vì $CHbot AB$ và $SObot CH$ (do $SObot (ABCD)$) nên $CHbot (SAB).$
Mà $CD//(SAB).$ Do đó: ${{d}_{(SA;CD)}}={{d}_{left( C;(SAB) right)}}=CH=2asqrt{3}.$
Câu 49: Đáp án A
Gọi $E;F;G;H$ lần lượt là trung điểm của $IA;IB;IC;ID Rightarrow left{ begin{array}{l}
EF = frac{{AB}}{2} = 4\
FG = {d_{(I;AB)}} = frac{{AB}}{2} = 4
end{array} right..$
Do đó: $V=2left( frac{1}{3}pi {{4}^{2}}.4-frac{1}{3}pi {{2}^{2}}.2 right)+pi {{2}^{2}}.4=frac{160pi }{3}$(đvtt).
Câu 50: Đáp án A
Giả sử $left( I;R right)$ là đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC Rightarrow left{ begin{array}{l}
I in left( {ABC} right)\
IA = IB = IC = R.
end{array} right.$
Ta có: $overrightarrow{AB}left( -2;2;0 right);overrightarrow{AC}left( -2;1;1 right).$ Do đó:
$(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right]=left( 2;-2;2 right)//overrightarrow{n}(1;-1;1).$
$Rightarrow left( ABC right):x-y+z+1=0.$
Giả sử $Ileft( t;s;s-t-1 right)in left( ABC right).$ Vì $IA=IB=IC$ nên:
$left{ begin{array}{l}
I{A^2} = I{B^2}\
I{A^2} = I{C^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{(t – 1)^2} + {(s + 1)^2} + {(s – t)^2} = {(t + 1)^2} + {(s – 1)^2} + {(s – t)^2}\
{(t – 1)^2} + {(s + 1)^2} + {(s – t)^2} = {(t + 1)^2} + {s^2} + {(s – t – 1)^2}
end{array} right.$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 4t + 4s = 0\
– 6t + 4s = 0
end{array} right. Leftrightarrow t = s = 0 Rightarrow left{ begin{array}{l}
Ileft( {0;0; – 1} right)\
R = IA = sqrt 2
end{array} right.\
Rightarrow (S):{x^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 2.
end{array}$
