Câu 1: Đáp án D
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên R
Câu 2: Đáp án D
Ta có: $int{f(x)dx=int{x+dfrac{1}{x}dx=dfrac{{{x}^{2}}}{2}+ln left| x right|+C.}}$
Câu 3: Đáp án A
Ta có: ${{z}^{2}}-3z+4=0Leftrightarrow z=dfrac{3pm isqrt{7}}{2}.$
Câu 4: Đáp án D
Ta có: $h=dfrac{V}{{{S}_{ABCD}}}=dfrac{3{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}}=3a.$
Câu 5: Đáp án A
Ta có: $R=sqrt{dfrac{S}{4pi }}=sqrt{dfrac{dfrac{8pi {{a}^{2}}}{3}}{4pi }}=adfrac{sqrt{6}}{3}.$
Câu 6: Đáp án A
Ta có: $z=left( 2-3i right)left( 1+i right)=5-iRightarrow overline{z}=5+i.$
Câu 7: Đáp án C
Ta có: ${{(2+2i)}^{2}}=8i$là số thuần ảo.
Câu 8: Đáp án A
Xét góc phần tư thứ nhất, ta thấy trên hình vẽ, thứ tự đồ thị có nhánh thấp nhất đến cao nhất lần lượt là $({{C}_{4}});({{C}_{3}});({{C}_{2}});({{C}_{1}}).$ Mặt khác:
Với $x = 1 Rightarrow left{ begin{array}{l}
y = {left( {sqrt 2 } right)^x} = sqrt 2 approx 1,41\
y = {left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^x} = frac{1}{{sqrt 2 }} approx 0,71\
y = {5^x} = 5\
y = {left( {frac{1}{4}} right)^x} = 0,25
end{array} right. Rightarrow 0,25 < 0,71 < 1,41 < 5.$
Do đó $({{C}_{1}});({{C}_{2}});({{C}_{3}});({{C}_{4}})$ lần lượt là: $y={{5}^{x}}$; $y={{left( sqrt{2} right)}^{x}}$; $y={{left( dfrac{1}{sqrt{2}} right)}^{x}}$; $y={{left( dfrac{1}{4} right)}^{x}}$.
Câu 9: Đáp án D
Ta có: $I=intlimits_{0}^{4}{f'(x-2)dx}+intlimits_{0}^{2}{f'(x+2)dx}=left. f(x-2) right|_{0}^{4}+left. f(x+2) right|_{0}^{2}$
$Leftrightarrow I=f(2)-f(-2)+f(4)-f(2)=f(4)-f(-2)=4-(-2)=6.$
Câu 10: Đáp án B
Ta có: $begin{array}{l}
y’ = {x^4} – {x^2};y” = 4{x^3} – 2x.\
y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 1\
x = – 1
end{array} right.\
y(0) = 0;y(1) = 2 > 0;y( – 1) = – 2 < 0.
end{array}$
Do đó: ${{x}_{CT}}=1Rightarrow {{y}_{CT}}=frac{{{1}^{5}}}{5}-frac{{{1}^{3}}}{3}+2=1frac{13}{15}.$
Câu 11: Đáp án A
Ta có: $y’=6{{x}^{2}}+2mx+n.$
Do $A(1;-6)$ là điểm cực trị của hàm số nên $left{ begin{array}{l}
y'(1) = 0\
y(1) = – 6
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2m + n = – 6\
m + n = – 9
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m = 3\
n = – 12
end{array} right..$
Câu 12: Đáp án C
Ta có: $sqrt {2x + 1} – x = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2x + 1 = {x^2}\
x ge 0
end{array} right. Leftrightarrow x = 1 + sqrt 2 .$
Do đó đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x=1+sqrt{2}$.
Câu 13: Đáp án D
Ta có:
begin{array}{l}
y’ = 6{x^2} – 6x = 6{left( {x – frac{1}{2}} right)^2} – frac{3}{2} ge frac{{ – 3}}{2}.\
Rightarrow y’min = frac{{ – 3}}{2} Leftrightarrow x = frac{1}{2} Rightarrow Mleft( {frac{1}{2};frac{1}{2}} right).
end{array}
Câu 14: Đáp án A
Xác suất để chọn ra đúng 1 quả đỏ là: $dfrac{C_{2}^{1}.C_{7}^{4}}{C_{9}^{5}}=dfrac{5}{9}.$
Câu 15: Đáp án B
Ta có: ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}=21Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=21Leftrightarrow {{2}^{x}}=3Leftrightarrow x={{log }_{2}}3.$
Câu 16: Đáp án C
ĐKXĐ:
$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
3x – 5 > 0\
x + 1 > 0
end{array} right. Leftrightarrow x > frac{5}{3}\
pt Leftrightarrow 3x – 5 < x + 1 Leftrightarrow 2x < 6 Leftrightarrow x < 3\
Rightarrow S = left( {frac{5}{3};3} right).
end{array}$
Câu 17: Đáp án C
Ta có: $left( {{m}^{2}}+2 right){{cos }^{2}}x-2msin 2x+1=0Leftrightarrow left( {{m}^{2}}+2 right)cos 2x-4msin 2x+{{m}^{2}}+4=0.$
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
${left( {{m^2} + 2} right)^2} + {left( { – 4m} right)^2} ge {left( {{m^2} + 4} right)^2} Leftrightarrow 12{m^2} – 12 ge 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m ge 1\
m le – 1
end{array} right..$
Mà $left{ begin{array}{l}
m in left[ { – 3;3} right]\
m in
end{array} right. Rightarrow m in left{ { – 3; – 2; – 1;1;2;3} right}.$
Câu 18: Đáp án C
Ta có: $C_n^{n – 2} + C_n^{n – 1} + C_n^n = 22 Leftrightarrow frac{1}{2}nleft( {n – 1} right) + n + 1 = 22 Leftrightarrow {n^2} + n – 42 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
n = – 7\
n = 6
end{array} right. Rightarrow n = 6.$
Khi đó: ${{left( {{2}^{x}}+{{2}^{frac{1}{2}-x}} right)}^{6}}=sumlimits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{left( {{2}^{x}} right)}^{6-k}}{{left( {{2}^{frac{1}{2}-x}} right)}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{.2}^{frac{k}{2}}}{{.2}^{(6-2k)x}}.}}$
Tổng số hạng thứ 3 và 5 là:
$begin{array}{l}
C_6^2{.2^{frac{2}{2}}}{.2^{(6 – 2.2)x}} + C_6^4{.2^{frac{4}{2}}}{.2^{(6 – 2.4)x}} = 135 Leftrightarrow {30.2^{2x}} + {60.2^{ – 2x}} = 135\
Leftrightarrow {2.2^{4x}} – {9.2^{2x}} + 4 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{2^{2x}} = 4\
{2^{2x}} = frac{1}{2}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = frac{{ – 1}}{2}
end{array} right.\
Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = frac{{ – 1}}{2} Rightarrow T = {x_1} + {x_2} = frac{1}{2}.
end{array}$
Câu 19: Đáp án A
Từ đồ thị của $f'(x)$ ta thấy:
+$f'(x)ge 0$trên các khoảng $left( -infty ;2 right)cup left( 3;+infty right)$ nên $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;2 right)cup left( 3;+infty right).$
+$f'(x)<0$trên khoảng $left( 2;3 right)$ nên $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $left( 2;3 right).$
Câu 20: Đáp án C
Ta có: [intlimits_0^1 {left( {frac{1}{{2x + 1}} – frac{1}{{3x + 1}}} right)dx = } left. {left( {frac{1}{2}ln left| {2x + 1} right| – frac{1}{3}ln left| {3x + 1} right|} right)} right|_0^1][ = frac{1}{2}left( {ln 3 – ln 1} right) – frac{1}{3}left( {ln 4 – ln 1} right)]
[ = frac{1}{2}ln 3 – frac{1}{3}ln 4 = frac{1}{6}ln 27 – frac{1}{6}ln 16 = frac{1}{6}ln frac{{27}}{{16}}.]
$Rightarrow a=27;b=16Rightarrow a+b=27+16=43>22.$
Câu 21: Đáp án C
$V=pi intlimits_{-2}^{2}{left( 4-{{x}^{2}} right)dx=pi intlimits_{-2}^{2}{left( {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16 right)dx}}=pi left. left( dfrac{1}{5}{{x}^{5}}-dfrac{8}{3}{{x}^{3}}+16x right) right|_{-2}^{2}=dfrac{512}{15}pi .$
Câu 22: Đáp án A
Ta có: $z=dfrac{{{left( 2+i right)}^{2}}}{i}=4-3iRightarrow left| z right|=5.$
Câu 23: Đáp án D
Giả sử $z=a+bi$, với $a;bin mathbb{R}$, ta có:
$2z = ileft( {overline z + 3} right) Leftrightarrow 2a + 2bi = i(a + 3 – bi) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2a = b\
2b = a + 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = 2
end{array} right. Rightarrow z = 1 + 2i.$
Câu 24: Đáp án B
Kẻ CH vuông góc với AB
=> CH chính là khoảng cách của C đến (ABB’A’)
$begin{array}{l}
{S_{ACB}} = frac{1}{2}AB.CH = frac{1}{2}AC.BC.sin120\
A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} – 2.CA.CB.c{rm{os120 = }}7{a^2} = > AB = asqrt 7 \
= > CH = frac{{AC.BC.sin120}}{{AB}} = frac{{asqrt {21} }}{7}
end{array}$
Câu 25: Đáp án C
Gắn hệ trục tọa độ $Bxyz$với $B$ là gốc tọa độ; tia $Bx$ trùng với tia $BA$; tia $By$ trùng với tia $BC$; tia $Bz$ cùng hướng với tia $AS$. Chuẩn hóa a=1. Khi đó:
$Bleft( 0;0;0 right);Aleft( 1;0;0 right);Cleft( 0;1;0 right);Sleft( 1;0;sqrt{6} right).$
$Rightarrow overrightarrow{AC}left( -1;1;0 right);overrightarrow{BC}left( 0;1;0 right);overrightarrow{BS}left( 1;0;sqrt{6} right)Rightarrow {{overrightarrow{n}}_{(SBC)}}=left[ overrightarrow{BC};overrightarrow{BS} right]=left( sqrt{6};0;-1 right).$
Do đó: $sin left( AC;(SBC) right)=dfrac{left| overrightarrow{AC}.{{overrightarrow{n}}_{(SBC)}} right|}{left| overrightarrow{AC} right|.left| {{overrightarrow{n}}_{(SBC)}} right|}=dfrac{sqrt{3}}{sqrt{7}}.$
Câu 26: Đáp án D
Ta có: ${{u}_{n+1}}=2{{left( -sqrt{3} right)}^{n+2}}=-sqrt{3}.left[ 2.{{left( -sqrt{3} right)}^{n+1}} right]=-sqrt{3}{{u}_{n}}.$
Câu 27: Đáp án A
Ta có:$overrightarrow{{{n}_{P}}}=left( 1;2;-5 right);overrightarrow{{{n}_{Q}}}=left( 2;-1;3 right)Rightarrow overrightarrow{u}=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}};overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]=left( 1;-13;-5 right).$
Câu 28: Đáp án A
Gọi $Mleft( x;0;0 right)in Ox.$
Ta có:
$M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}Leftrightarrow {{left( x-3 right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}={{left( x+2 right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}Leftrightarrow 10x=-10Leftrightarrow x=-1Rightarrow Mleft( -1;0;0 right).$
Câu 29: Đáp án C
Gọi $Mleft( t-3;t+2;2t-7 right).$ Có $overrightarrow{AB}left( -6;2;-6 right)//(3;-1;3)$ nên $OMbot AB$ khi và chỉ khi: $left( t-3 right).3+left( t+2 right)left( -1 right)+left( 2t-7 right).3=0Leftrightarrow 8t-32=0Leftrightarrow t=4Rightarrow Mleft( 1;6;1 right).$
Câu 30: Đáp án A
Ta có: $overrightarrow{{{u}_{1}}}left( 1;-1;2 right);overrightarrow{{{u}_{2}}}left( 1;m;4 right)$ không cùng phương $,forall mRightarrow {{d}_{1}};{{d}_{2}}$ chéo nhau khi và chỉ khi ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ không cắt nhau. Do đó, hệ phương trình:
$left{ begin{array}{l}
– 1 + t = 1 + s\
1 – t = – 1 + ms\
1 + 2t = 3 + 4s
end{array} right.$ vô nghiệm $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t = 3\
s = 1\
ms + t = 2
end{array} right.$ vô nghiệm $ Leftrightarrow m + 3 ne 2 Leftrightarrow m ne – 1.$
Câu 31: Đáp án A
${{x}^{2}};frac{1}{2};{{y}^{2}}$lập thành một cấp số cộng nên ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2.frac{1}{2}=1.$
Do $x=0$không thỏa mãn điều kiện trên nên đặt $y=txleft( tne 0 right).$ Ta có:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1Rightarrow left( {{t}^{2}}+1 right){{x}^{2}}=1Rightarrow {{x}^{2}}=frac{1}{{{t}^{2}}+1}.$
Khi đó:$P=sqrt{3}xy+{{y}^{2}}=sqrt{3}t{{x}^{2}}+{{t}^{2}}{{x}^{2}}=left( sqrt{3}t+{{t}^{2}} right){{x}^{2}}=frac{sqrt{3}t+{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}$
$Leftrightarrow left( 1-P right){{t}^{2}}+sqrt{3}t-P=0$ có nghiệm
$begin{array}{l}
Leftrightarrow Delta = – 4{P^2} + 4P + 3 ge 0 Leftrightarrow frac{{ – 1}}{2} le P le frac{3}{2}.\
Rightarrow M = Pmax = frac{3}{2};m = Pmin = frac{{ – 1}}{2} Rightarrow S = M + m = frac{3}{2} + frac{{ – 1}}{2} = 1.
end{array}$
Câu 32: Đáp án A
Ta có $2f(x) – m = 0 Leftrightarrow f(x) = frac{m}{2}$ có nghiệm $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
frac{m}{2} > 3\
frac{m}{2} < – 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m > 6\
m < – 2
end{array} right..$
