Câu 34: Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Ta có điều kiện: $dfrac{x-2}{x}>0$
Bất phương trình đã cho: ${{5}^{{{log }_{dfrac{1}{3}}}left( dfrac{x-2}{x} right)}}<1Leftrightarrow {{log }_{dfrac{1}{3}}}left( dfrac{x-2}{x} right)<0Leftrightarrow dfrac{x-2}{x}>1Leftrightarrow dfrac{-2}{x}>0Leftrightarrow x<0$
Câu 35: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Dễ dàng có được ${9^x} – {4.3^x} – 45{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{3^x} = – 5\
{3^x} = 9
end{array} right. Leftrightarrow x = 2$
Câu 36: Đáp án C
Hướng dẫn giải:
Ta có $sleft( t right)=int{vleft( t right)}dt=int{left( 10t-{{t}^{2}} right)}dt=-dfrac{{{t}^{3}}}{3}+5{{t}^{2}}+C$
Do ta tính thời điểm ban đầu vật tại vị trí 0 nên $C=0$
$-dfrac{{{t}^{3}}}{3}+5{{t}^{2}}=162Leftrightarrow t=9Rightarrow vleft( 9 right)=9left( m/p right)$
Câu 37: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có $int {fleft( x right)} = int {frac{{{{sin }^3}x}}{{co{s^4}x}}} dx = int {frac{{left( {1 – co{s^2}x} right)sin x}}{{co{s^4}x}}} dx = frac{1}{{3co{s^3}x}} – frac{1}{{cosx}} + C$
Câu 38: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có $z={{left( l-i right)}^{2}}+{{(l+i)}^{2}}=-2i+2i=0$
Câu 39: Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Ta có $overline{z}=dfrac{1+3i}{1-i}=-1+2iRightarrow z=-1-2i$
Và $w=i.overline{z}+z=i.dfrac{1+3i}{1-i}+left( -1-2i right)=-3-3iRightarrow left| z right|=3sqrt{2}$
Câu 40: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có $C’C//left( ABB’A’ right)Rightarrow dleft( CC’,AB’ right)=dleft( C’C,left( ABB’A’ right) right)=dleft( C’,left( ABB’A’ right) right)=a$
Lại có $C’A’bot BB’,C’A’bot A’B’Rightarrow C’A’bot left( ABB’A’ right)Rightarrow C’A’=a$
Khi đó $B’C’=asqrt{2}$
Mà BCC’B’ là hình vuông nên chiều cao của hình lăng trụ $BB’=B’C’=asqrt{2}$
Kết luận ${{V}_{ABC.A’B’C’}}=dfrac{1}{2}{{a}^{2}}.asqrt{2}=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{2}$
Câu 41: Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Ta có ${{S}_{ABC}}=dfrac{{{a}^{2}}}{2},SA=sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=asqrt{3}$
${{V}_{S.ABC}}=dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=dfrac{1}{3}asqrt{3}.dfrac{{{a}^{2}}}{2}=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$
Ta lại có $dfrac{{{V}_{B.NAM}}}{{{V}_{B.CAS}}}=dfrac{BN}{BC}.dfrac{BM}{BS}=dfrac{1}{4}Rightarrow {{V}_{B.NAM}}=dfrac{1}{4}{{V}_{B.CAS}}$
Kết luận ${{V}_{A.SCNM}}={{V}_{S.ABC}}-{{V}_{B.NAM}}={{V}_{S.ABC}}-dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=dfrac{3}{4}{{V}_{S.ABC}}=dfrac{3}{4}dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$
Câu 42: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Dễ dàng ta tính được $overrightarrow{AB}=left( 2;l;l right);text{ }overrightarrow{AC}=left( -2;-l;-l right),$ suy ra A là trung điểm cúa BC.
Câu 43: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng $left( Oxy right).$
Khi đó $B’left( 0;l;2 right)$ và $left| MA-MB right|=left| MA-MB’ right|.$ Ta có $left| MA-M{B}’ right|le AB’$
Dấu bằng xảy ra khi $Mequiv I$ (giao điểm của AB’ với mặt phẳng $left( Oxy right)).$
Khi đó $left| MA-MB right|=AB’=sqrt{{{left( 1-0 right)}^{2}}+{{left( -1-1 right)}^{2}}+{{left( 1-2 right)}^{2}}}=sqrt{6}$
Câu 44: Đáp án A
Hướng dẫn giải: Lấy 2 điểm $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ bất kì trong mặt phẳng. Xét
$left{ begin{array}{l}
{F_1}left( A right) = {A_1}left( { – {y_1};{x_1}} right)\
{F_1}left( B right) = {B_1}left( { – {y_2};{x_2}} right)
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB} = left( {{x_2} – {x_1};{y_2} – {y_1}} right)\
overrightarrow {{A_1}{B_1}} = left( {{y_1} – {y_2};{x_2} – {x_1}} right)
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
AB = sqrt {{{left( {{x_2} – {x_1}} right)}^2} + {{left( {{y_2} – {y_1}} right)}^2}} \
{A_1}{B_1} = sqrt {{{left( {{y_1} – {y_2}} right)}^2} + {{left( {{x_2} – {x_1}} right)}^2}}
end{array} right.$
Dễ suy được ${{A}_{1}}{{B}_{1}}=ABRightarrow {{F}_{1}}$ là phép dời hình
Xét tiếp $left{ begin{array}{l}
{F_2}left( A right) = {A_2}left( {2{x_1};2{y_1};} right)\
{F_2}left( B right) = {B_2}left( {2{x_2};2{y_2};} right)
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB} = left( {{x_2} – {x_1};{y_2} – {y_1}} right)\
overrightarrow {{A_2}{B_2}} = left( {2{x_2} – 2{x_1};2{y_2} – 2{y_1};} right)
end{array} right.$ khi đó dễ dàng suy ra được $left{ begin{array}{l}
AB = sqrt {{{left( {{x_2} – {x_1}} right)}^2} + {{left( {{y_1} – {y_2}} right)}^2}} \
{A_1}{B_1} = sqrt {4{{left( {{x_2} – {x_1}} right)}^2} + 4{{left( {{y_2} – {y_1}} right)}^2}}
end{array} right.$ khi $left{ begin{array}{l}
{x_1} ne {x_2}\
{y_1} ne {y_2}
end{array} right.$ thì ${{F}_{2}}$ không là phép dời hình
Câu 45: Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Gọi $Mleft( {{x}_{M}};{{y}_{M}} right)in left( C right)Leftrightarrow {{left( {{x}_{M}}-1 right)}^{2}}+{{left( {{y}_{M}}-2 right)}^{2}}=4left( * right)$
Với $Fleft( x right)=M’left( x’;y’ right),$ theo quy tắc $left{ begin{array}{l}
x’ = {x_M}\
y’ = – {y_M}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_M} = x’\
{y_M} = y’
end{array} right.$ thay vào (*) ta có được: ${{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( -y-2 right)}^{2}}=4Rightarrow {M}’in left( {{C}’} right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=4$
Câu 46: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có $left( Q right)$ đi qua $A,B,CRightarrow left( Q right):dfrac{x}{2}+dfrac{y}{a}+dfrac{z}{b}=1,$ mà $Din left( Q right)$ $Rightarrow dfrac{1}{2}+dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}=1Leftrightarrow 2left( a+b right)=ab$
Ta có:$overrightarrow{AB}left( 0;-a;b right),overrightarrow{AC}left( 2;-a;0 right)Rightarrow left| overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} right|=left( ab;2b;2a right)Rightarrow S=dfrac{1}{2}sqrt{{{left( ab right)}^{2}}+4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}$ . Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: $S=dfrac{1}{2}sqrt{{{left( ab right)}^{2}}+4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}ge dfrac{1}{2}sqrt{9{{left( ab right)}^{2}}}$
Ta lại có: $ab=2left( a+b right)ge 4sqrt{ab}Rightarrow abge 16.$
Do đó $Sge dfrac{1}{2}sqrt{9{{left( ab right)}^{2}}}ge 24$ tại $a=b=4$
Câu 47: Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi $CA+CB$ nhỏ nhất.
Gọi $Cleft( t;0;2-t right).$ Ta có $CA=sqrt{2{{left( t-2 right)}^{2}}+{{3}^{2}}},CB=sqrt{2{{left( 1-t right)}^{2}}+{{2}^{2}}}$
Đặt $overrightarrow{u}=left( sqrt{2}tleft( t-2 right);3 right),overrightarrow{v}=left( sqrt{2}left( 1-t right);2 right)Rightarrow overrightarrow{u}+overrightarrow{v}=left( -sqrt{2};5 right)$
Áp dụng tính chất $left| overrightarrow{u} right|+left| overrightarrow{v} right|ge left| overrightarrow{u}+overrightarrow{v} right|$
Dấu “=” xảy ra khi $overrightarrow{u}$ cùng hướng với $overrightarrow{v}$
$CA+CB=left| overrightarrow{u} right|+left| overrightarrow{v} right|ge left| overrightarrow{u}+overrightarrow{v} right|=sqrt{2+25}=3sqrt{3}$
Dấu “=” xảy ra khi $dfrac{sqrt{2}left( t-2 right)}{sqrt{2}left( t-1 right)}=dfrac{3}{2}Leftrightarrow t=dfrac{7}{5}Rightarrow a+b+c=2$
Câu 48: Đáp án A
${rm{w}} = ileft( { – 3 – 4i} right) + frac{{25}}{{ – 3 – 4i}} = – 3i – 4{i^2} – frac{{25left( {3 – 4i} right)}}{{left( {3 + 4i} right)left( {3 – 4i} right)}} $
$begin{array}{l}
= – 3i + 4 – frac{{75 – 100i}}{{9 – 16{i^2}}} = – 3i + 4 – left( {3 – 4i} right) = 1 + i\
Rightarrow left| {rm{w}} right| = sqrt {{1^2} + {1^2}} = sqrt 2
end{array}$
Câu 49: Đáp án B
Ta có $a=intlimits_{1}^{3e}{frac{1}{x}}dx=left. left( ln left| x right| right) right|_{1}^{3e}=3$
$ Rightarrow {x^3} – 3x + 2 = 0 Leftrightarrow {left( {x – 1} right)^2}left( {x + 2} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = – 2
end{array} right.$
Câu 50: Đáp án B
Điều kiện ${x^2} + 3x + 2 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x < – 2\
x > – 1
end{array} right.$
Vậy là ta đã xong bài toán!
