Câu 42: Đáp án D
Hình vẽ tham khảo
Nối $left{ begin{array}{l}
NE cap AD = I\
IM cap BD = F
end{array} right. Rightarrow $ Thiết diện là hình thang MNEF như hình vẽ trên.
Câu 43: Đáp án D
Vẽ đồ thị hàm số $fleft( x right)={{x}^{3}}-3xRightarrow $ Đồ thị hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ như hình vẽ dưới đây.
Do đó, phương trình ${{m}^{2}}+m=left| fleft( x right) right|$ có 6 nghiệm phân biệt $ Leftrightarrow 0 < {m^2} + m < 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– 2 < m < – 1\
0 < m < 1
end{array} right..$
Câu 44: Đáp án A
Ta có $vleft( t right)=int{aleft( t right)dt=int{left( -4+2t right)dt={{t}^{2}}-4t+C}}$ mà $vleft( 0 right)=20Rightarrow C=20.$
Khi đó $vleft( t right)={{t}^{2}}-4t+20={{left( t-2 right)}^{2}}+16ge 16.$ Suy ra ${{v}_{min }}=16Leftrightarrow t=2.$
Vậy quãng đường vật đi được trong 2s là $S=intlimits_{0}^{2}{left( {{t}^{2}}-4t+20 right)dt=dfrac{104}{3}m.}$
Câu 45: Đáp án A
Gọi $M=(Delta )cap (d)Rightarrow Min dRightarrow M(2t-1;t;3t-2)$
Mà $Min (P)Rightarrow 2t-1+2t+3t-2-4=0Leftrightarrow t=1.$Suy ra $M(1;1;1).$
Ta có $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{overrightarrow {{u_Delta }} {rm{ ;}} bot overrightarrow {{n_{(P)}}} }\
{overrightarrow {{u_Delta }} {rm{ ;}} bot overrightarrow {{u_d}} {rm{;}}}
end{array}} right. Rightarrow overrightarrow {{u_Delta }} {rm{ ;}} = left[ {overrightarrow {{n_{(P)}}} ;overrightarrow {{u_d}} } right] = (5; – 1; – 3) Rightarrow $
Phương trình $Delta :dfrac{x-1}{5}=dfrac{y-1}{-1}=dfrac{z-1}{-3}.$
Câu 46: Đáp án B
Ta có $g(x)=f(x)+2text{x}xrightarrow{{}}{{g}^{‘}}(x)={{f}^{‘}}(x)+2=0Leftrightarrow {{f}^{‘}}(x)=-2.$
Dựa vào ĐTHS, phương trình ${{f}^{‘}}(x)=-2$ có 2 nghiệm phân biệt $x=-1,x={{x}_{0}}.$
Mà ${{g}^{‘}}(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x=-1$. Suy ra $y=g(x)$ có duy nhất 1 điểm cực trị.
Câu 47: Đáp án C
Gọi M là trung điểm của $BCRightarrow BCbot left( A’AM right)Rightarrow oversetfrown{left( A’BC right);left( ABC right)}=oversetfrown{A’AM}$.
Tam giác A’AM vuông tại A, có $tan oversetfrown{A’AM}=dfrac{AA’}{AM}Rightarrow AA’=tan 60{}^circ .dfrac{asqrt{3}}{2}=dfrac{3text{a}}{2}$.
Vậy thể tích cần tính là $V=AA’.{{S}_{Delta ABC}}=dfrac{3text{a}}{2}.dfrac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=dfrac{3{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}.$
Câu 48: Đáp án A
Xét khai triển ${{left( x-dfrac{1}{4} right)}^{n}}=sumlimits_{k-0}^{n}{C_{n}^{k}.{{x}^{n-k}}}.{{left( -dfrac{1}{4} right)}^{k}}$. Hệ số của ${{x}^{n-2}}$ ứng với $k=2$.
Khi đó $C_{n}^{2}.{{left( dfrac{1}{4} right)}^{2}}=31Leftrightarrow C_{n}^{2}=496Leftrightarrow dfrac{n!}{left( n-2 right)!.2!}=496Leftrightarrow {{n}^{2}}-n-992=0Leftrightarrow n=32.$
Câu 49: Đáp án C
Kẻ $SHbot (ABC)$ mà $left{ begin{array}{l}
SB bot AB\
SC bot AC
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
AB bot (SBH)\
AC bot (SCH)
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
AB bot BH\
AC bot CH
end{array} right. Rightarrow HBAC$ là hình chữ nhật.
Ta có $HC//(SAB)Rightarrow d(C;(SAB))=d(H;(SAB))=HK$, với $K$ là hình chiếu của $H$ trên $SB$.
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ đi qua điểm $H$.
$Rightarrow {{R}_{S.ABC}}=sqrt{R_{HBAC}^{2}+dfrac{S{{H}^{2}}}{4}}=dfrac{sqrt{B{{C}^{2}}+S{{H}^{2}}}}{2}=dfrac{sqrt{5}}{2}Rightarrow SH=1.$
Tam giác $SBH$ vuông tại $H$, có
$dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=dfrac{1}{{{1}^{2}}}+dfrac{1}{{{left( sqrt{3} right)}^{2}}}=dfrac{4}{3}Rightarrow HK=dfrac{sqrt{3}}{2}.$
Vậy khoảng cách cần tính là $d(C;(SAB))=dfrac{sqrt{3}}{2}cm.$
Câu 50: Đáp án D
Gọi H là trung điểm của $BCRightarrow {{B}^{‘}}Hbot (ABC).$
Gắn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ bên.
Với $text{A(0;0;0),},,text{B(3;0;0),},,text{C(0;4;0),} text{H}left( dfrac{3}{2};2;0 right)$.
Và ${{A}^{‘}}left( -dfrac{3}{2};2;3 right),,,{{C}^{‘}}left( dfrac{3}{2};2;3 right)text{,},,{{C}^{‘}}left( -dfrac{3}{2};6;3 right)Rightarrow Mleft( 0;2;3 right).$
Khi đó [cos a = frac{{left| {overrightarrow {{n_{(AMC’)}}} .overrightarrow {{n_{(A’BC)}}} } right|}}{{left| {{{overrightarrow n }_{(AMC’)}}} right|.left| {overrightarrow {{n_{(A’BC)}}} } right|}} = frac{{33}}{{sqrt {3157} }}]
