Câu 30: Đáp án B
Ta có: $f(log (ln 10))=fleft( log left( dfrac{1}{log e} right) right)=f(-log e)$
Mặt khác $f(-x)=aln left( sqrt{{{x}^{2}}+1}-x right)-bsin ,x+6=aln dfrac{1}{sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}-bsin ,x+6$
$=-aln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-bsin ,x+6=-f(x)+6+6=-f(x)+12$
Do đó $f(-log e)=-f(log e)+12=10$.
Câu 31: Đáp án B
Ta có: ${{y}^{‘}}=({{m}^{2}}-1){{x}^{2}}+2(m+1)x+3$
- Với $m=-1Rightarrow {{y}^{‘}}=3>0(forall xin mathbb{R})$ thỏa mãn hàm số đồng biến trên$mathbb{R}$
- Với $m=1Rightarrow y’=4x+3>0Leftrightarrow x>-dfrac{3}{4}$
- Với $mne pm 1$để hàm số đồng biến trên $R Leftrightarrow y’ ge 0(forall x in R) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 1 > 0\
Delta ‘ = {(m + 1)^2} – 3({m^2} – 1) le 0
end{array} right.$ - $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 1 > 0\
– 2{m^2} + 2m + 4 le 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 1 > 0\
{m^2} – m – 2 le 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m ge 2\
m < – 1
end{array} right.$
Kết hợp $min text{ }!![!!text{ }-2;4]$ và cả 3 TH trên suy có 5 giá trị nguyên của $m$ là $-2;-1;2;3;4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Đáp án D
Ta có: $left{ begin{array}{l}
y = frac{{{x^2} + 3}}{x} = x + frac{3}{x}\
2{rm{x}} + 3y le 14
end{array} right.$
Khi đó: $P=x(3xy-{{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+2text{x}=x(x-y)(y-2x)+2x$
$=(y-2text{x})({{x}^{2}}-xy)+2text{x}=-3(y-2text{x})+2text{x}=8text{x}-3y=8text{x}-3dfrac{{{x}^{2}}+3}{x}=5text{x}-dfrac{9}{x}=f(x)$
Mặt khác: $2x+3left( x+dfrac{3}{x} right)le 14Leftrightarrow 5text{x}+dfrac{9}{x}le 14Leftrightarrow 1le xle dfrac{9}{5}Rightarrow xin left[ 1;dfrac{9}{5} right]$
Xét hàm số $f(x)=5text{x}-dfrac{9}{x}$ trên khoảng $left[ 1;dfrac{9}{5} right]$ ta có:
${{f}^{‘}}(x)=5+dfrac{9}{{{x}^{2}}}>0left( forall xin left[ 1;dfrac{9}{5} right] right)Rightarrow M+m=f(1)+fleft( dfrac{9}{5} right)=0.$
Câu 33: Đáp án C
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 4mx = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
{x^2} = – m
end{array} right.$
+) Để hàm số có CĐ, CT$Leftrightarrow m<0$. Khi đó gọi $Aleft( 0;-1 right),Bleft( sqrt{-m};-{{m}^{2}}-1 right),Cleft( -sqrt{m};-{{m}^{2}}-1 right)$là 3 điểm cực trị. Gọi H là trung điểm của BC ta có: $Hleft( 0;-{{m}^{2}}-1 right)$
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AH đồng thời là đường cao do đó:
${{S}_{ABC}}=dfrac{1}{2}AH.BC=dfrac{1}{2}left| {{m}^{2}} right|.2sqrt{-m}={{m}^{2}}sqrt{-m}=4sqrt{2}Leftrightarrow m=-2left( tm right)$
Câu 34: Đáp án D
Trước hết ta tính số cách chọn 3 số phân biệt từ tập A sao cho không có 2 số nào liên tiếp (gọi số cách đó là M).
+) Ta hình dung có 13 quả cầu xếp thành 1 hàng dọc (tượng trưng cho 13 số còn lại của A)
+) Giữa 13 quả cầu đó và 2 đầu có tất cả 14 chỗ trống.
Số cách M cần tìm chính là số cách chọn 3 trong 14 chỗ trống đó, tức là bằng $C_{14}^{3}$.
Xác suất cần tính là $P=dfrac{C_{14}^{3}}{C_{16}^{3}}=dfrac{13}{20}.$
Câu 35: Đáp án C
Ta có: $PTLeftrightarrow 2{{cos }^{2}}x-1+sqrt{3}sin2x=2Leftrightarrow sqrt{3}sin 2x+cos2x=2Leftrightarrow 2sin left( 2x+dfrac{pi }{6} right)=2$
$Leftrightarrow sin left( 2x+dfrac{pi }{6} right)=1Leftrightarrow 2x+dfrac{pi }{6}=dfrac{pi }{2}+k2pi Leftrightarrow x=dfrac{pi }{6}+kpi ,,left( kin mathbb{Z} right)$
Với $xin left( 0;dfrac{5pi }{2} right]Rightarrow x=dfrac{pi }{6};x=dfrac{7pi }{6};x=dfrac{13pi }{6}$ suy ra tổng các nghiệm là: $dfrac{7pi }{2}.$
