Câu 45: Đáp án D
$left| z-5+3i right|=3Leftrightarrow left| dfrac{3iz-9-15i}{3i} right|=3Leftrightarrow left| 3iz-9-15i right|=3left| 3i right|=9$
$left| iw+4+2i right|=2Leftrightarrow left| dfrac{-i}{2}left( -2w-4+8i right) right|=2Leftrightarrow left| dfrac{-i}{2} right|.left| -2w-4+8i right|=2Leftrightarrow left| -2w-4+8i right|=4$
Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của 3iz và $-2wRightarrow $ A, B lần lượt thuộc các đường tròn tâm $O(9;15)$ bán kính bằng 9 và đường tròn tâm $I(4;-8)$ bán kính bằng $4Rightarrow OI=sqrt{554}text{ }$
Khi đó $T=left| 3iz+2w right|=left| 3iz-left( -2w right) right|=AB$
Yêu cầu bài toán trở thành tìm $A{{B}_{max}}$
Vì $OI=sqrt{554}>4+9$
$Rightarrow A{{B}_{max}}=AO+OI+IB=sqrt{554}+13$
Câu 46: Đáp án C
$y=dfrac{x+m}{mx+4}Rightarrow y’=dfrac{4-{{m}^{2}}}{{{left( mx+4 right)}^{2}}}$
Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì $y’ge 0Leftrightarrow dfrac{4-{{m}^{2}}}{{{left( mx+4 right)}^{2}}}ge 0Leftrightarrow 4-{{m}^{2}}ge 0Leftrightarrow -2le mle 2$
$m=pm 2Rightarrow y=dfrac{1}{2}$ hoặc $y=-dfrac{1}{2}$ là hàm hằng, không biến thiên.
Vậy giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $min left{ -1;0;1 right}$
Câu 47: Đáp án A
Gọi $hleft( h>0 right)$ là chiều cao của lăng trụ.
$Delta ABC$ vuông cân tại A, cạnh huyền $BC=asqrt{6}Rightarrow AB=AC=asqrt{3}$
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $Aequiv O,$ tia AB trùng với Ox, AC trùng với Oy, AA’ trùng với Oz.
Khi đó: $Aleft( 0;0;0 right),Bleft( asqrt{3};0;0 right),Cleft( 0;asqrt{3};0 right),$
$B’left( asqrt{3};0;h right)$
$Rightarrow overrightarrow{AC}=left( 0;asqrt{3};0 right),overrightarrow{BC}=left( -asqrt{3};asqrt{3};0 right),$
$overrightarrow{B’C}=left( asqrt{3};-asqrt{3};h right)$
$Rightarrow overrightarrow{{{n}_{1}}}=left[ overrightarrow{AC};overrightarrow{B’C} right]=left( hasqrt{3};0;-3{{a}^{2}} right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $left( AB’C right)$
$overrightarrow{{{n}_{2}}}=left[ overrightarrow{BC};overrightarrow{B’C} right]=left( hasqrt{3};hasqrt{3};0 right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $left( BCC’B’ right)$
Vì $left( left( AB’C right),left( BCC’B’ right) right)=60{}^circ Rightarrow cosleft( left( AB’C right),left( BCC’B’ right) right)=left| cosleft( overrightarrow{{{n}_{1}}},overrightarrow{{{n}_{2}}} right) right|$
[begin{array}{l}
Leftrightarrow frac{1}{2} = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{3{a^2}{h^2}}}{{sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} sqrt {6{a^2}{h^2}} }} Leftrightarrow sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} sqrt {6{a^2}{h^2}} = 6{a^2}{h^2} Leftrightarrow sqrt {3{a^2}{h^2} + 9{a^4}} = sqrt {6{a^2}{h^2}} \
Leftrightarrow 3{a^2}{h^2} + 9{a^4} = 6{a^2}{h^2} Leftrightarrow 9{a^4} = 3{a^2}{h^2} Leftrightarrow {h^2} = 3{a^2} Leftrightarrow h = asqrt 3 \
Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = asqrt 3 .frac{1}{2}{left( {asqrt 3 } right)^2} = frac{{{a^3}3sqrt 3 }}{2},{V_{B’.ABC}} = frac{1}{3}asqrt 3 .frac{1}{2}{left( {asqrt 3 } right)^2} = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{2}\
Rightarrow {V_{AB’CA’C’}} = {V_{ABC.A’B’C’}} – {V_{B’.ABC}} = {a^3}sqrt 3
end{array}]
Câu 48: Đáp án D
$left| z-1 right|=5Leftrightarrow left| overline{z}-1 right|=5.$ Ta có:
$w=left( 2+3i right).overline{z}+3+4iLeftrightarrow overline{z}=frac{text{w}-3-4i}{2+3i}Leftrightarrow overline{z}-1=frac{text{w}-5-7i}{2+3i}Leftrightarrow left| overline{z}-1 right|=left| frac{text{w}-5-7i}{2+3i} right|=5$
$Leftrightarrow frac{left| text{w}-5-7i right|}{left| 2+3i right|}=5Leftrightarrow frac{left| text{w}-5-7i right|}{sqrt{13}}=5Leftrightarrow left| text{w}-5-7i right|=5sqrt{13}$
Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $(5;7),$ bán kính $5sqrt{13}$
Câu 49: Đáp án C
$I=intlimits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{left( 2ax+b right)}^{2}}.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}dx}=intlimits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{left( 2ax+b right)}^{2}}.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}left( 2ax+b right)dx}$
Đặt $a{x^2} + bx + c = t Rightarrow left( {2ax + b} right)dx = dt,{left( {2ax + b} right)^2} = gleft( t right),left{ begin{array}{l}
x = {x_1} Rightarrow t = ax_1^2 + b{x_1} + c = 0\
x = {x_2} Rightarrow t = ax_2^2 + b{x_2} + c = 0
end{array} right.$
$ Rightarrow intlimits_0^0 {gleft( t right).{e^t}.dt} = 0$
Câu 50: Đáp án A
Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác trong góc C. Ta có:
$CE:frac{{x – 2}}{2} = frac{{y – 4}}{{ – 1}} = frac{{z – 2}}{{ – 1}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2 + 2t\
y = 4 – t\
z = 2 – t
end{array} right. Rightarrow Cleft( {2 + 2t;4 – t;2 – t} right).$
Mà $A(2;3;3),$
$Rightarrow Mleft( 2+t;dfrac{7-t}{2};dfrac{5-t}{2} right).$ Vì M thuộc đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình $dfrac{x-3}{-1}=dfrac{y-3}{2}=dfrac{z-2}{-1}$
$Rightarrowdfrac{2+t-3}{-1};dfrac{dfrac{7-t}{2}-3}{2};dfrac{dfrac{5-t}{2}-2}{-1}Leftrightarrow t=1Rightarrow Cleft( 4;3;1 right)$
Kẻ AH vuông góc với CE tại H, cắt BC tại $DRightarrow Delta ACD$
cân tại C vậy H là trung điểm của AD.
$Hin CERightarrow Hleft( 2+2m;4-m;2-m right)Rightarrow overrightarrow{AH}=left( 2m;1-m;-1-m right),$ vectơ chỉ phương của CE là
$begin{array}{l}
overrightarrow {AH} .overrightarrow u = 0 Leftrightarrow 4m + m – 1 + m + 1 = 0 Leftrightarrow m = 0 Rightarrow Hleft( {2;4;2} right) Rightarrow Dleft( {2;5;1} right) Rightarrow overrightarrow {CD} = left( { – 2;2;0} right)\
Rightarrow left{ begin{array}{l}
x = 4 – 2k\
y = 3 + 2k\
z = 1
end{array} right.,,,,,M = CD cap BM Rightarrow frac{{4 – 2k – 3}}{{ – 1}} = frac{{3 + 2k – 3}}{2} = frac{{1 – 2}}{{ – 1}} Leftrightarrow k = 1 Rightarrow D equiv Bleft( {2;5;1} right)
end{array}$
$Rightarrow overrightarrow{AB}=left( 0;2;-2 right).overrightarrow{u}=left( m;n;-1 right)$ là một vectơ chỉ phương của $ABRightarrow overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{u}$ cùng phương.
$Rightarrow overrightarrow{u}=left( 0;1;-1 right)Rightarrow m=0;n=1.$ Vậy $T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=1$
