Đề 4: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPH Học Mãi năm 2017-2018

Bài 1:

Cho biểu thức: $A = dfrac{{2x + 2}}{{sqrt x }} + dfrac{{xsqrt x  – 1}}{{x – sqrt x }} – dfrac{{{x^2} + sqrt x }}{{xsqrt x  + x}};left( {x > 0;;x ne 1} right).$ 

1. Rút gọn biểu thức $A.$

2. Tính giá trị của $A$ khi $x=6-2sqrt{5}.$

3. Tìm giá trị của $x$ để $dfrac{7}{A}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 2:

1. Cho phương trình: ${{x}^{2}}-left( 3m+1 right)x+2{{m}^{2}}+m-1=0 left( 1 right)$ với $m$ là tham số.

a. Chứng minh phươn trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m.$

b. Gọi ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình (1). TÌm $m$ để biểu thức $B={{x}_{1}}^{2}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất

2. Giải phương trình: $left{ begin{array}{l}
2{left( {x – 1} right)^2} + sqrt {y + 1}  = 2\
3{x^2} – 6x – 2sqrt {y + 1}  =  – 7
end{array} right.$

Bài 3:

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một xe máy đi từ $A$ đến $B$ cách nhau 40 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu xe máy đi với vận tốc nhỏ hơn dự định 6 km/h. Trên nửa quãng đường còn lại xe máy đi với vận tốc lớn hơn dự định 12 km/h nên xe máy đến $B$ đúng thời gian đã định. TÌm vận tốc dự định của xe máy.

Bài 4:

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ có hai đường kính $AB, CD$ vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc đoạn $OA$ $left( Mne O,A right).$ Tia $DM$ cắt đường tròn $left( O right)$ tại $N.$

1. Chứng minh rằng bốn điểm $O,M,N,C$ cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh rằng $DM.DN=DO.DC=2{{R}^{2}}.$

3. Đường tròn tâm $M$ bán kính $MC$ cắt $AC, CB$ lần lượt tại $E,F.$ Chứng minh ba điểm $E, M, F$ thẳng thàng và tổng $CE+CF$ không đổi khi $M$ di động trên $OA.$

4. Nối $B$ với $N$ cắt $OC$ tại $P.$ Tìm vị trí của điểm $M$ để $dfrac{OM}{AM}+dfrac{OP}{CP}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5:

 Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = dfrac{{sqrt {ab + 3c}  + sqrt {2{a^2} + 2{b^2}} }}{{3 + sqrt {ab} }}$.