Đề 3: đề thi vào lớp 10 chuyên Tỉnh Nam Định năm 2016-2017 (đề chung)

Câu 1 (2,0 điểm).

     1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức $A=sqrt{x-1}+dfrac{2}{3-x}.$

     2) Tính giá trị của biểu thức $B=sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}+x$ với $x=3-sqrt{3}.$

     3) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$, biết cạnh $AB=5$cm.

     4) Tìm các tọa độ giao điểm của đường thẳng $y=-x+2$ và parabol $y={{x}^{2}}.$

Câu 2 (1,5 điểm). Cho biểu thức $P=dfrac{3left( x+2sqrt{x} right)}{x+sqrt{x}-2}-dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-1}-dfrac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+2}$ (với $xge 0;,,xne 1$).

    1) Chứng minh $P=dfrac{sqrt{x}+3}{sqrt{x}+2}$.

    2) Chứng minh rằng nếu $xge 0;,,xne 1$ thì $Ple $$dfrac{3}{2}$.

Câu 3 (2,5 điểm).

    1) Cho phương trình ${{x}^{2}}-left( m+1 right)x+2m-2=0$ (với $m$ là tham số).

           a) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},,,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4+{{x}_{1}}{{x}_{2}}$.

           b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 2.

    2) Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
2{x^2} – {y^2} – xy + x – y = 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} \
sqrt {2x + y – 2}  + 2 – 2x = 0.
end{array} right.$

Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chữ nhật $ABCD$, kẻ $AH$ vuông góc với $BD$ tại $H$ và $HE,,,HF$ lần lượt vuông góc với $AB,,,AD$ tại $E$ và $F$. Gọi $K$, $M$ lần lượt là trung điểm của $HD$, $BC$ và $I$ là giao điểm của  $AH$ với $EF$.

    1) Chứng minh $I$ là trực tâm của tam giác $ABK.$

    2) Chứng minh tứ giác $ABMK$ là tứ giác nội tiếp.

    3) Chứng minh $A{{H}^{3}}=BE.BD.DF$.

Câu 5 (1,0 điểm). Xét $x,,y,,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=dfrac{1}{4{{x}^{2}}-yz+2}+dfrac{1}{4{{y}^{2}}-zx+2}+dfrac{1}{4{{z}^{2}}-xy+2}.$

——— HẾT———