Đề 2: Tỉnh Nam Định

    Câu 1 (2,0 điểm)

     1) Giải phương trình $(x + 1)(2 – x) = 0$

     2) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ gọi $A, B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $,y =  – 2x + 4,,(d)$ với trục $Ox,,Oy$. Tính diện tích tam giác $OAB$.

     3) Cho tam giác $OAB$ có $AB = 6,(cm),,,AC = 8,(cm),,BC = 10,(cm)$. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

     4) Một hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng $8,cm$ và mặt đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt bằng $5,(cm),,12,(cm)$. Tính thể tích của hình lăng trụ đó.

Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức $P = left( {1 – dfrac{1}{{sqrt x }}} right):left( {dfrac{{sqrt x  – 1}}{{sqrt x }} + dfrac{{1 – sqrt x }}{{x + sqrt x }}} right)$, (với $x > 0$ và $x ne 1$).

    1) Rút gọn biểu thức $P$ .

    2) Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x = sqrt {2022 + 4sqrt {2018} }  – sqrt {2022 – 4sqrt {2018} } $

Câu 3 (2,5 điểm)

1) Cho phương trình ${x^2} – mx – {m^2} – 4 = 0{rm{ }}$  (1)(với $m$ là tham số).

    a) Giải phương trình (1) với $m=6$.

    b) Tìm tất cả các giá trị của tham số  $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1},,,{x_2}$ sao cho $left| {{x_1} – {x_2}} right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Giải phương trình $3sqrt {x + 5}  + 6sqrt {5 – x}  = 15 – 3x + 4sqrt {25 – {x^2}} $.

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O,R)$. Đường tròn $(O,R)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, AB$ lần lượt tại $D, N$. Kẻ đường kính $DI$ của đường tròn (O,R). Tiếp tuyến của đường tròn $(O, R)$ tại $I$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E, F$.

    1) Chứng minh tứ giác $OIEN$ nội tiếp được trong một đường tròn.

    2) Chứng minh tam giác $BOE$ vuông và $EI.BD = FI.CD = {R^2}$.

   3) Gọi ${A_1}$ là giao điểm của $AO$ với cạnh $BC$, ${B_1}$ là giao điểm của $BO$ với cạnh $AC$, ${C_1}$ là giao điểm của $CO$ với cạnh $AB$ . Chứng minh: $dfrac{{AO}}{{A{A_1}}} + dfrac{{BO}}{{B{B_1}}} + dfrac{{CO}}{{C{C_1}}} = 2$.

Câu 5 (1,0 điểm)

    1) Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
{x^3} – {y^3} – 6{x^2} + 13x – y = 10,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)\
sqrt {2x + y + 5}  – sqrt {3 – x – y}  = (2x – 5)y + 2,,,,,,,(2).
end{array} right.,,,$

    2) Cho $a, b,c $ là các số thực dương thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$.

Chứng minh rằng: $2a + b + c le dfrac{9}{2}.$

——— HẾT———