|
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC |
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2018 – 2019 Môn: Toán (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi có 01 trang) |
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức
$Q=left( dfrac{sqrt{1+a}}{sqrt{1+a}-sqrt{1-a}}+dfrac{1-a}{sqrt{1-{{a}^{2}}}-1+a} right)left( sqrt{dfrac{1}{{{a}^{2}}}-1}-dfrac{1}{a} right)sqrt{{{a}^{2}}-2a+1}$(với $0<a<1$).
1) Rút gọn $Q.$
2) So sánh $Q$ và ${{Q}^{3}}.$
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Giải phương trình $left( sqrt{x+9}-3 right)left( sqrt{9-x}+3 right)=2x.$
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) có phương trình $y={{x}^{2}}$ và hai đường thẳng (d):$y=m$; (d’): $y={{m}^{2}}$ (với $0<m<1$). Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt C, D (với hoành độ điểm A và D là số âm). Tìm $m$ sao cho diện tích hình thang ABCD gấp 9 lần diện tích tam giác OCD.
Câu 3. (1,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn ${{7}^{x}}={{3.2}^{y}}+1$.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm chung). Điểm P di động trên đường thẳng d. Từ điểm P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B thuộc đường tròn $(O)$). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC, E là giao điểm của hai đường thẳng CP và AH. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng CP và đường tròn $(O)$.
1) Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AH.
2) Vẽ dây cung CN của đường tròn $(O)$ sao cho CN song song với AB. Gọi I là giao của hai đường thẳng NF và AB. Chứng minh $dfrac{IF}{IB}=dfrac{AF}{AC}$ và $IA=IB.$
3) Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường cố định khi P di động trên d.
Câu 5. (1,0 điểm)
Một học sinh chấm tùy ý 6 điểm phân biệt vào trong hình tròn bán kính bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm A, B trong 6 điểm đã cho thỏa mãn $ABle 1.$
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho các số thực dương $x,,y,,z$ thỏa mãn $xy+yz+zxge x+y+z.$
Chứng minh rằng $dfrac{{{x}^{2}}}{sqrt{{{x}^{3}}+8}}+dfrac{{{y}^{2}}}{sqrt{{{y}^{3}}+8}}+dfrac{{{z}^{2}}}{sqrt{{{z}^{3}}+8}}ge 1.$
— HẾT —
