Đề 11: Chuyên Quảng Ngãi

Bài 1. (2.5 điểm)

a. Cho x≠1, hãy rút gọn biểu thức $A=dfrac{5x+1}{{{x}^{3}}-1}-dfrac{1-2x}{{{x}^{2}}+x+1}-dfrac{2}{1-x}$.

b. Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện ${{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+2y-4xy-3=0$.

c. Cho a, b, c  là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện $left{ begin{array}{l}
{a^2} + a = {b^2}\
{b^2} + b = {c^2}\
{c^2} + c = {a^2}
end{array} right.$

    Chứng minh rằng (a-b)(b-c)(c-a)=1 .

Bài 2. (1.5 điểm)

a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n³–9n+27  không chia hết cho 81.

b. Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp 99 lần tổng tất cả các chữ số của nó. Tìm số may mắn đó.

Bài 3. (2.0  điểm)

a. Giải phương trình x+1+1-3x=x+2.

b. Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
x – 2y + xy = 2\
{x^2} + 4{y^2} = 4
end{array} right.$

Bài 4. (3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC (M khác B và C), N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Gọi H, I lần lượt là giao điểm của AM với BN, DC.

a. Chứng minh tứ giác AHND nội tiếp và MN vuông góc với BI.

b. Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn MN ngắn nhất.

c. Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại P (P khác D). Gọi S là giao điểm của AP và BD. Chứng minh SM song song AC.

Bài 5. (1.0 điểm)

Trên biểu tượng Olympic có 9 miền được ký hiệu a, b, …, k  (như hình minh họa). Người ta điền 9 số 1, 2, …, 9  vào 9 miền trên sao cho mỗi miền được điền bởi một số, miền khác nhau được điền bởi số khác nhau và tổng các số trong cùng một hình tròn đều bằng 14.

a. Tính tổng các số trong các miền b, d, f và h.

b. Xác định cách điền thỏa mãn yêu cầu trên.

HẾT

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.