Đáp án – đề 15 – trang 2

4

1.5

a) Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa mãn biểu thức $P=-{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+14x+49$ là số nguyên tố

$P=left( 7+x+{{x}^{2}} right)left( 7+x-{{x}^{2}} right)$

0.25

Ta có $7+x+{{x}^{2}}>1$

Vì P là số nguyên tố nên $7+x-{{x}^{2}}=1$$ Leftrightarrow {x^2} – x – 6 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3,,,,,,,,,,,,,,}\
{x =  – 2,,,,(L)}
end{array}} right.$

Vậy $x=3Rightarrow P=19$ (thỏa mãn).

0.5

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $P =  – {x^4} + {x^2} + 14x + 49;$.

${x^2} – xy + {y^2} = 2x – 3y – 2 Leftrightarrow {x^2} – left( {y + 2} right)x + {y^2} + 3y + 2 = 0;;;left( 1 right)$

$Delta  = {left( {y + 2} right)^2} – 4left( {{y^2} + 3y + 2} right) =  – 3{y^2} – 8y – 4$

Để phương tình (1) có nghiệm thì $Delta  ge 0$

$ Rightarrow  – 3{y^2} – 8y – 4 ge 0 Leftrightarrow 3{y^2} + 8y + 4 le 0 Leftrightarrow  – 2 le y le  – frac{2}{3}$

0.5

Vì y nguyên nên $y =  – 2$ hoặc $y =  – 1$

Với $y =  – 2$,$left( 1 right) Leftrightarrow {x^2} = 0 Leftrightarrow x = 0$

Với $y =  – 1$, $left( 1 right) Leftrightarrow {x^2} – x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 1
end{array} right.$  

Vậy nghiệm của phương trình: $left( {0; – 2} right),left( {0; – 1} right),left( {1; – 1} right)$.

0.25

      5

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=6cm$,$AC=8cm$. Các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc $B$ lần lượt cắt đường thẳng $AC$ tại $M$ và $N$. Tính diện tích của tam giác $BMN$.

1.0

$Delta ABC$ vuông tại $A$$Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$$Rightarrow BC=10(cm)$

0.25

$BM$ là đường phân giác trong của $Delta ABC$$Rightarrow dfrac{MA}{BA}=dfrac{MC}{BC}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$dfrac{MA}{BA}=dfrac{MC}{BC}=dfrac{MA+MC}{BA+BC}=dfrac{AC}{BA+BC}=dfrac{8}{6+10}=dfrac{1}{2}$$Rightarrow MA=3(cm)$

0.25

$BN$ là đường phân giác ngoài của $Delta ABC$$Rightarrow dfrac{NA}{BA}=dfrac{NC}{BC}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$dfrac{NA}{BA}=dfrac{NC}{BC}=dfrac{NC-NA}{BC-BA}=dfrac{AC}{BC-BA}=dfrac{8}{10-6}=2$$Rightarrow NA=12(cm)$

0.25

$NM=NA+MA=15(cm)$

${{S}_{Delta BMN}}=dfrac{1}{2}BA.NM=45,,(c{{m}^{2}})$.

0.25

6

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$$left( AB<AC right)$ và đường cao$AH$. Vẽ đường tròn $left( O right)$ đường kính $BC$. Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $E$ ($Ene $$A$, $Ene $$C$) sao cho hai tia $AE$ và $BC$ cắt nhau tại $I$; $AC$ cắt $BE$ tại $N$. Kéo dài $AH$ cắt đường tròn $left( O right)$ tại điểm thứ hai là $D$, $DE$ cắt $BC$ tại $M$.

2.0

a) Chứng minh $MN$ song song $AD$.

Chứng minh tứ giác $MNEC$nội tiếp

0.5

$widehat{NEC}={{90}^{0}}Rightarrow widehat{NMC}={{90}^{0}}$

0.25

Ta có $MNbot BC,ADbot BC$ suy ra $MN//AD$

0.25

b) Chứng minh $Delta OME$∽$Delta OEI$.

Gọi F là giao điểm của OE với đường tròn (O) ($F$ khác $E$)

Ta  có $widehat{BOF}=widehat{EOC}Rightarrow oversetfrown{EC}=oversetfrown{BF}$

0.25

$widehat{DEF}=dfrac{1}{2}stilde{n}oversetfrown{FD}=dfrac{1}{2}left( stilde{n}oversetfrown{BD}-stilde{n}oversetfrown{BF} right)$

0.25

$widehat{AIB}=dfrac{1}{2}left( stilde{n}oversetfrown{AB}-stilde{n}oversetfrown{EC} right)$(tính chất góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)

0.25

Suy ra $widehat{AIB}=$$widehat{DEF}$

Xét hai tam giác $OME$ và $OEI$

$widehat{EOI}$ chung

$widehat{EIO}=widehat{MEO}$$Rightarrow Delta OME$∽$Delta OEI$.

0.25

7

Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng:

a) $dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}ge a-dfrac{b}{2}$.

b) $dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}ge dfrac{a+b+c}{3}$.

1.0

a) Ta có : $dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{^{2}}}}=dfrac{a({{a}^{2}}+{{b}^{2}})-a{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=a-dfrac{a{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}ge a-dfrac{a{{b}^{2}}}{2ab}=a-dfrac{b}{2}$

0.25

b) Tương tự theo câu a), ta có: $dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}ge b-dfrac{c}{2}$ , $dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}ge c-dfrac{a}{2}$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:

$dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}ge dfrac{a+b+c}{2}$

0.25

Ta có: $dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}ge dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+{{b}^{2}}}=dfrac{2}{3}.dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Và $dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}ge dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}+{{c}^{2}}}=dfrac{2}{3}.dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$$dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ac+{{a}^{2}}}ge dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+dfrac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}}=dfrac{2}{3}.dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:

$dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}ge dfrac{2}{3}left( dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}} right)ge dfrac{a+b+c}{3}$

0.5