Đáp án – đề 15 – trang 1

Bài

Điểm

1

2.0

a) Cho biểu thức $A=left$dfracx+3sqrtx+2xsqrtx-8-dfrac1sqrtx-2right$:dfrac{1}{sqrt{x}}$ với $x>0$ và $xne 4$. Tìm giá trị của $A$ tại $x=14+6sqrt{5}$.

Với $x>0;xne 4$, ta có:

$A=left$dfracx+3sqrtx+2xsqrtx-8-dfrac1sqrtx-2right$:dfrac{1}{sqrt{x}}$$=left$$dfracx+3sqrtx+2left(sqrtx-2right)left(x+2sqrtx+4right)-dfracx+2sqrtx+4left(sqrtx-2right)left(x+2sqrtx+4right)right$$sqrt{x}$.

$=dfrac{sqrt{x}-2}{left$sqrtx-2right$left$x+2sqrtx+4right$}sqrt{x}=dfrac{sqrt{x}}{x+2sqrt{x}+4}.$

0.5

Ta có $x=14+6sqrt{5}=9+2.3.sqrt{5}+5={{left$3+sqrt5right$}^{2}}Rightarrow sqrt{x}=sqrt{{{left$3+sqrt5right$}^{2}}}=left| 3+sqrt{5} right|=3+sqrt{5}.$

0.25

Khi đó, ta có: $A=dfrac{3+sqrt{5}}{14+6sqrt{5}+2.left$3+sqrt5right$+4}=dfrac{3+sqrt{5}}{24+8sqrt{5}}=dfrac{3+sqrt{5}}{8left$3+sqrt5right$}=dfrac{1}{8}.$

0.25

b) Tính giá trị biểu thức $A=sqrt{12-sqrt{80-32sqrt{3}}}-sqrt{12+sqrt{80-32sqrt{3}}}$.

Ta có ${{A}^{2}}=24-8sqrt{4+2sqrt{3}}={{left$2sqrt3-2right$}^{2}}$

0.5

$Rightarrow A=pm left$2sqrt3-2right$$

0.25

Do $A<0$ nên $A=2-2sqrt{3}$.

0.25

2

Cho phương trình ${{x}^{2}}+left$2m-3right$x-{{m}^{2}}-1=0$  $1$  ($x$ là ẩn số, $m$ là tham số)

1.0

a) Chứng tỏ rằng phương trình $1$ có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

Ta có $ac=1.left$-m^2-1right$<0$ nên phương trình $1$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị $m$.

0.25

b) Giả sử ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $1$. Tìm $m$để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{x}_{1}} right|-left| {{x}_{2}} right|=3$.

Do phương trình $1$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$

Suy ra ${{x}_{1}}<0$, ${{x}_{2}}>0$

0.25

$Rightarrow left| {{x}_{1}} right|=-{{x}_{1}},left| {{x}_{2}} right|={{x}_{2}}$

0.25

$Rightarrow left| {{x}_{1}} right|-left| {{x}_{2}} right|=3Leftrightarrow -left$x_1+x_{2}right$=3Leftrightarrow 2m-3=3Leftrightarrow m=3$

0.25

3

1.5

a) Giải phương trình ${{left$x^2-9right$}^{2}}=12x+1$.

Biến đổi tương đương phương trình ta được

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 9 = 6x + 1\
{x^2} + 9 =  – 6x – 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} – 6x + 8 = 0\
{x^2} + 6x + 10 = 0{rm{ }}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x{rm{  =  4}}
end{array} right.$

0.25

0.5

b) Giải hệ phương trình

$left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{sqrt {2x – y – 9}  – 36 + {x^2} = 0}\
{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{y^2} – xy + 9 = 0}
end{array}} right.$

Điều kiện $2x-y-9ge 0$, ta có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{sqrt {2x – y – 9}  – 36 + {x^2} = 0,,,,$1$}\
{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{y^2} – xy + 9 = 0,,,,$2$}
end{array}} right.$

Phương trình $2$ $Leftrightarrow $ ${{left$2y-xright$}^{2}}={{x}^{2}}-36$

0.25

Suy ra $1$ $sqrt {2x – y – 9}  + {left$2y–xright$^2} = 0 Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{2x – y – 9 = 0}\
{,,,,,,,2y – x = 0}
end{array}} right.$

0.25

 $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6}\
{y = 3}
end{array}} right.$

 thỏa điều kiện. Vậy hệ phương trình có nghiệm $Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6}\
{y = 3}
end{array}} right.$

0.25.