Bài I:
1.
$A=sqrt{29-12sqrt{5}}+dfrac{5}{5+2sqrt{5}}=sqrt{20-2.2sqrt{5}.3+9}+dfrac{5}{5+2sqrt{5}}=sqrt{{{left( 2sqrt{5}-3 right)}^{2}}}+dfrac{5}{sqrt{5}left( sqrt{5}+2 right)}$
$=2sqrt{5}-3+5-2sqrt{5}=2$
2. $10sqrt{left( x-2 right)left( x+4 right)}=3{{x}^{2}}+6x-21$
Điều kiện xác định $left{ begin{array}{l}
left( {x – 2} right)left( {x + 4} right) ge 0\
3{x^2} + 6x – 21 ge 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left( {x – 2} right)left( {x + 4} right) ge 0\
3left( {{x^2} + 2x – 8} right) + 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left( {x – 2} right)left( {x + 4} right) ge 0\
3left( {x – 2} right)left( {x + 4} right) + 3 ge 0
end{array} right.$
$Leftrightarrow left( x-2 right)left( x+4 right)ge 0Leftrightarrow xle -4$ hoặc $xge 2$.
$10sqrt{left( x-2 right)left( x+4 right)}=3{{x}^{2}}+6x-21Leftrightarrow 10sqrt{left( x-2 right)left( x+4 right)}=3left( x-2 right)left( x+4 right)+3$.
Đặt $t=sqrt{left( x-2 right)left( x+4 right)},,,tge 0$. Phương trình trở thành $10t = 3{t^2} + 3 Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 3\
t = frac{1}{3}
end{array} right.$
+ $t = 3 Rightarrow sqrt {left( {x – 2} right)left( {x + 4} right)} = 3 Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 = 9 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1 + 3sqrt 2 ,,,,left( n right)\
x = – 1 – 3sqrt 2 ,,,,left( n right)
end{array} right.$
+ $t = frac{1}{3} Rightarrow sqrt {left( {x – 2} right)left( {x + 4} right)} = frac{1}{3} Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 = frac{1}{9} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – 3 + sqrt {82} }}{3},,,,left( n right)\
x = frac{{ – 3 – sqrt {82} }}{3},,,,left( n right)
end{array} right.$
3. $left{ begin{array}{l}
2{x^2} + xy = {y^2} – 3y + 2,,,,,left( 1 right)\
{x^2} – {y^2} = 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 right)
end{array} right.$
Từ (1) ta có ${{y}^{2}}-yleft( x+3 right)+2-2{{x}^{2}}=0$ . Ta xem là phương trình bậc hai theo biến y (x là tham số).
$Delta ={{left( x+3 right)}^{2}}-4left( 2-2{{x}^{2}} right)={{x}^{2}}+6x+9-8+8{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}+6x+1={{left( 3x+1 right)}^{2}}ge 0$.
Suy ra phương trình có 2 nghiệm là $y=dfrac{x+3+3x+1}{2}=2x+2$ và $y=dfrac{x+3-3x-1}{2}=-x+1$.
+ Nếu $y=2x+2$. Thay vào phương trình (2) ta được ${{x}^{2}}-{{left( 2x+2 right)}^{2}}=3Leftrightarrow {{x}^{2}}-4{{x}^{2}}-8x-4=3Leftrightarrow -3{{x}^{2}}-8x-7=0$ (phương trình vô nghiệm).
+ Nếu $y=-x+1$. Thay vào phương trình (2) ta được
${{x}^{2}}-{{left( -x+1 right)}^{2}}=3Leftrightarrow 2x-1=3Leftrightarrow x=2Rightarrow y=-1$ .
Vậy tập nghiệm $S=left{ left( 2;-1 right) right}$.
Bài II:
1.
a) Ta có $left( d right):y=dfrac{1}{2}x+6$.
Phương trình hoành độ giao điểm $dfrac{1}{4}{x^2} = dfrac{1}{2}x + 6 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 6 Rightarrow y = 9\
x = – 4 Rightarrow y = 4
end{array} right.$
Vậy 2 giao điểm $Aleft( 6;9 right),,,Bleft( -4;4 right)$.
b)
Cách 1.
Gọi $Cleft( c,,;,,dfrac{1}{,4}{{c}^{2}} right)in left( P right)$ $cne 6,,,cne -4$ là điểm cần tìm.
Ta có $A{{B}^{2}}=125$ ; $A{{C}^{2}}={{left( c-6 right)}^{2}}+{{left( dfrac{1}{4}{{c}^{2}}-9 right)}^{2}}=dfrac{1}{16}{{c}^{4}}-dfrac{7}{2}{{c}^{2}}-12c+117$ ;
$B{{C}^{2}}={{left( c+4 right)}^{2}}+{{left( dfrac{1}{4}{{c}^{2}}-4 right)}^{2}}=dfrac{1}{16}{{c}^{4}}-{{c}^{2}}+8c+32$ .
Tam giác $ABC$ vuông tại C khi và chỉ khi $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow 125 = frac{1}{{16}}{c^4} – frac{7}{2}{c^2} – 12c + 117 + frac{1}{{16}}{c^4} – {c^2} + 8c + 32\
Leftrightarrow frac{1}{8}{c^4} – frac{9}{2}{c^2} – 4c + 24 = 0 Leftrightarrow frac{1}{8}{c^4} – frac{1}{4}{c^3} + frac{1}{4}{c^3} – frac{1}{2}{c^2} – 4{c^2} + 8c – 12c + 24 = 0\
Leftrightarrow frac{1}{8}{c^3}left( {c – 2} right) + frac{1}{4}{c^2}left( {c – 2} right) – 4left( {c – 2} right) – 12left( {c – 2} right) = 0\
Leftrightarrow left( {c – 2} right)left( {frac{1}{8}{c^3} + frac{1}{4}{c^2} – 4c – 12} right) = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
c – 2 = 0\
frac{1}{8}{c^3} + frac{1}{4}{c^2} – 4c – 12 = 0
end{array} right.
end{array}$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
c = 2,,,,,,left( n right)\
c = – 4,,,left( l right)\
c = 6,,,,,,left( l right)
end{array} right.$
Vậy $Cleft( 2;1 right)$ là điểm thỏa đề bài.
Cách 2:
Gọi $Cleft( c,,;,,dfrac{1}{,4}{{c}^{2}} right)in left( P right)$ $cne 6,,,cne -4$.
Ta gọi M là trung điểm của AB, suy ra $Mleft( 1;dfrac{13}{2} right)$.
Ta có $Delta ABC$ vuông tại C nên $MC=dfrac{1}{2}AB=dfrac{5sqrt{5}}{2}$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Suy ra ${{left( c-1 right)}^{2}}+{{left( dfrac{1}{4}{{c}^{2}}-dfrac{13}{2} right)}^{2}}=dfrac{125}{4}$.
$begin{array}{l}
Leftrightarrow frac{1}{{16}}{c^4} – frac{9}{4}{c^2} – 2c + 12 = 0 Leftrightarrow frac{1}{{16}}{c^4} – frac{1}{8}{c^3} + frac{1}{8}{c^3} – frac{1}{4}{c^2} – 2{c^2} + 4c – 6c + 12 = 0\
Leftrightarrow frac{1}{{16}}{c^3}left( {c – 2} right) + frac{1}{8}{c^2}left( {c – 2} right) – 2cleft( {c – 2} right) – 6left( {c – 2} right) = 0\
Leftrightarrow left( {c – 2} right)left( {frac{1}{{16}}{c^3} + frac{1}{8}{c^2} – 2c – 6} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2,,,,,left( n right)\
x = 6,,,,,,left( l right)\
x = – 4,,,left( l right)
end{array} right.
end{array}$
Vậy điểm $Cleft( 2;1 right)$ là điểm thỏa đề bài.
2.
Ta có $Delta ‘={{m}^{2}}-4$.
Phương trình có 2 nghiệm ${{x}_{1}},,{{x}_{2}}Leftrightarrow Delta ‘>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-4ge 0Leftrightarrow mge 2$ hoặc $mle -2$.
Theo định lý viet ta có
$begin{array}{l}
{x_1}^4 + {x_2}^4 le 32 Leftrightarrow {left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} right)^2} – 2{x_1}^2{x_2}^2 le 32 Leftrightarrow {left( {{S^2} – 2P} right)^2} – 2{P^2} le 32 Leftrightarrow {S^4} – 4{S^2}P + 2{P^2} le 32\
Leftrightarrow 16{m^4} – 16{m^2}.4 + {2.4^2} le 32 Leftrightarrow 16{m^4} – 64{m^2} + 32 le 32 Leftrightarrow {m^2}left( {{m^2} – 4} right) le 0\
Leftrightarrow – 2 le m le 2
end{array}$
Kết hợp với điều kiện có nghiệm ta có $m=-2$ hoặc $m=2$.
Bài III:
Gọi x (giờ) là thời gian máy cày 1 làm một mình xong khu đất.
y (giờ) là thời gian máy cày 2 làm một mình xong khu đất. Điều kiện $x,y>12$.
Mỗi giờ máy 1 và máy 2 làm được tương ứng là $dfrac{1}{x}$ và $dfrac{1}{y}$ khu đất.
Do 2 máy cùng cáy trong 12 giờ thì được $dfrac{1}{10}$ khu đất nên ta có phương trình $dfrac{12}{x}+dfrac{12}{y}=dfrac{1}{10}$.
Nếu máy 1 làm một mình 42 giờ và máy 2 làm một mình 22 giờ thì làm được $25%=dfrac{1}{4}$ khu đất nên ta có phương trình $dfrac{42}{x}+dfrac{22}{y}=dfrac{1}{4}$.
Suy ra $left{ begin{array}{l}
frac{{12}}{x} + frac{{12}}{y} = frac{1}{{10}}\
frac{{42}}{x} + frac{{22}}{y} = frac{1}{4}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
frac{1}{x} = frac{1}{{300}}\
frac{1}{y} = frac{1}{{200}}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 300\
y = 200
end{array} right.$
Vậy máy 1 làm một mình trong 300 giờ thì xong khu đất. Máy 2 làm một mình trong 200 giờ thì xong khu đất.
Bài IV:
a) Xét tứ giác $BCPI$ có:
$widehat{ACB}={{90}^{0}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Và $widehat{PIB}={{90}^{0}}$ (giả thiết)
Suy ra tứ giác $BCPI$ nội tiếp đường tròn đường kính $BP$.
b) Xét tam giác $MAB$ có:
$MIbot AB$ và $ACbot MB$ , suy ra $MI,,AC$ là 2 đường cao. Mà $P$ là giao điểm của $MI,,AC$. Nên P là trực tâm tam giác $MAB$.
Ta lại có $widehat{BKA}={{90}^{0}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Nên $BKbot MARightarrow BK$ là đường cao thứ 3 trong tam giác $MAB$. Do đó $BK$ đi qua điểm $P$ hay $B,,P,,K$ thẳng hàng.
c)
Ta có $AQ//MI$ (do cùng vuông góc với AB) nên $QAIM$ là hình thang vuông.
$BC=R$ nên $Delta OBC$ đều. Do đó $widehat{ABC}={{60}^{0}}$.
Ta có $QA,,QC$ là 2 tiếp tuyến của $left( O right)$ nên $widehat{QAC}=widehat{QCA}=widehat{ABC}={{60}^{0}}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn 1 cung).
Do đó $Delta QAC$ đều.
$Delta ABC$ vuông tại C có $AC=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=sqrt{{{left( 2R right)}^{2}}-{{R}^{2}}}=Rsqrt{3}Rightarrow QA=Rsqrt{3}$.
Ta có I là trung điểm của bán kính OA nên $AI=dfrac{1}{2}R$ và $BI=dfrac{3}{2}R$.
Xét tam giác $MIB$ vuông tại I có: $MI=BI.tan ABC=dfrac{3}{2}R.tan ,{{60}^{0}}=dfrac{3Rsqrt{3}}{2}$.
Vậy diện tích hình thang vuông $QAIM$ là: ${{S}_{QAIM}}=dfrac{left( QA+IM right).AI}{2}=dfrac{left( Rsqrt{3}+dfrac{3Rsqrt{3}}{2} right).dfrac{1}{2}R}{2}=dfrac{5{{R}^{2}}sqrt{3}}{8}$.
