Đáp án – đề 14

Bài I:

1.

$A=sqrt{29-12sqrt{5}}+dfrac{5}{5+2sqrt{5}}=sqrt{20-2.2sqrt{5}.3+9}+dfrac{5}{5+2sqrt{5}}=sqrt{{{left$2sqrt5-3right$}^{2}}}+dfrac{5}{sqrt{5}left$sqrt5+2right$}$

$=2sqrt{5}-3+5-2sqrt{5}=2$

2. $10sqrt{left$x-2right$left$x+4right$}=3{{x}^{2}}+6x-21$

Điều kiện xác định $left{ begin{array}{l}
left$x–2right$left$x+4right$ ge 0\
3{x^2} + 6x – 21 ge 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left$x–2right$left$x+4right$ ge 0\
3left$x^2+2x–8right$ + 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left$x–2right$left$x+4right$ ge 0\
3left$x–2right$left$x+4right$ + 3 ge 0
end{array} right.$

$Leftrightarrow left$x-2right$left$x+4right$ge 0Leftrightarrow xle -4$ hoặc $xge 2$.

$10sqrt{left$x-2right$left$x+4right$}=3{{x}^{2}}+6x-21Leftrightarrow 10sqrt{left$x-2right$left$x+4right$}=3left$x-2right$left$x+4right$+3$.

Đặt $t=sqrt{left$x-2right$left$x+4right$},,,tge 0$. Phương trình trở thành $10t = 3{t^2} + 3 Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 3\
t = frac{1}{3}
end{array} right.$

+ $t = 3 Rightarrow sqrt {left$x–2right$left$x+4right$}  = 3 Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 = 9 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x =  – 1 + 3sqrt 2 ,,,,left$nright$\
x =  – 1 – 3sqrt 2 ,,,,left$nright$
end{array} right.$

+ $t = frac{1}{3} Rightarrow sqrt {left$x–2right$left$x+4right$}  = frac{1}{3} Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 = frac{1}{9} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – 3 + sqrt {82} }}{3},,,,left$nright$\
x = frac{{ – 3 – sqrt {82} }}{3},,,,left$nright$
end{array} right.$

3. $left{ begin{array}{l}
2{x^2} + xy = {y^2} – 3y + 2,,,,,left$1right$\
{x^2} – {y^2} = 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left$2right$
end{array} right.$

Từ $1$ ta có ${{y}^{2}}-yleft$x+3right$+2-2{{x}^{2}}=0$ . Ta xem là phương trình bậc hai theo biến y (x là tham số).

$Delta ={{left$x+3right$}^{2}}-4left$2-2x^{2}right$={{x}^{2}}+6x+9-8+8{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}+6x+1={{left$3x+1right$}^{2}}ge 0$.

Suy ra phương trình có 2 nghiệm là $y=dfrac{x+3+3x+1}{2}=2x+2$ và $y=dfrac{x+3-3x-1}{2}=-x+1$.

+ Nếu $y=2x+2$. Thay vào phương trình $2$ ta được ${{x}^{2}}-{{left$2x+2right$}^{2}}=3Leftrightarrow {{x}^{2}}-4{{x}^{2}}-8x-4=3Leftrightarrow -3{{x}^{2}}-8x-7=0$  $phươngtrìnhvônghiệm$.

+ Nếu $y=-x+1$. Thay vào phương trình $2$ ta được

${{x}^{2}}-{{left$-x+1right$}^{2}}=3Leftrightarrow 2x-1=3Leftrightarrow x=2Rightarrow y=-1$ .

Vậy tập nghiệm $S=left{ left$2;-1right$ right}$.

Bài II:

1.

a)  Ta có $left$dright$:y=dfrac{1}{2}x+6$.

Phương trình hoành độ giao điểm $dfrac{1}{4}{x^2} = dfrac{1}{2}x + 6 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 6 Rightarrow y = 9\
x =  – 4 Rightarrow y = 4
end{array} right.$

Vậy 2 giao điểm $Aleft$6;9right$,,,Bleft$-4;4right$$.

b)

Cách 1.

Gọi $Cleft$c,,;,,dfrac1,4c^{2}right$in left$Pright$$ $cne 6,,,cne -4$  là điểm cần tìm.

Ta có $A{{B}^{2}}=125$ ;  $A{{C}^{2}}={{left$c-6right$}^{2}}+{{left$dfrac14c^2-9right$}^{2}}=dfrac{1}{16}{{c}^{4}}-dfrac{7}{2}{{c}^{2}}-12c+117$ ;

$B{{C}^{2}}={{left$c+4right$}^{2}}+{{left$dfrac14c^2-4right$}^{2}}=dfrac{1}{16}{{c}^{4}}-{{c}^{2}}+8c+32$ .

Tam giác $ABC$ vuông tại C khi và chỉ khi $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow 125 = frac{1}{{16}}{c^4} – frac{7}{2}{c^2} – 12c + 117 + frac{1}{{16}}{c^4} – {c^2} + 8c + 32\
 Leftrightarrow frac{1}{8}{c^4} – frac{9}{2}{c^2} – 4c + 24 = 0 Leftrightarrow frac{1}{8}{c^4} – frac{1}{4}{c^3} + frac{1}{4}{c^3} – frac{1}{2}{c^2} – 4{c^2} + 8c – 12c + 24 = 0\
 Leftrightarrow frac{1}{8}{c^3}left$c–2right$ + frac{1}{4}{c^2}left$c–2right$ – 4left$c–2right$ – 12left$c–2right$ = 0\
 Leftrightarrow left$c–2right$left$frac18c^3+frac14c^2–4c–12right$ = 0\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
c – 2 = 0\
frac{1}{8}{c^3} + frac{1}{4}{c^2} – 4c – 12 = 0
end{array} right.
end{array}$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
c = 2,,,,,,left$nright$\
c =  – 4,,,left$lright$\
c = 6,,,,,,left$lright$
end{array} right.$

Vậy $Cleft$2;1right$$ là điểm thỏa đề bài.

Cách 2:

Gọi $Cleft$c,,;,,dfrac1,4c^{2}right$in left$Pright$$ $cne 6,,,cne -4$.

Ta gọi M là trung điểm của AB, suy ra $Mleft$1;dfrac132right$$.

Ta có $Delta ABC$ vuông tại C nên $MC=dfrac{1}{2}AB=dfrac{5sqrt{5}}{2}$ $đườngtrungtuyếnứngvớicạnhhuyềnbằngnửacạnhhuyền$

Suy ra ${{left$c-1right$}^{2}}+{{left$dfrac14c^2-dfrac132right$}^{2}}=dfrac{125}{4}$.

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow frac{1}{{16}}{c^4} – frac{9}{4}{c^2} – 2c + 12 = 0 Leftrightarrow frac{1}{{16}}{c^4} – frac{1}{8}{c^3} + frac{1}{8}{c^3} – frac{1}{4}{c^2} – 2{c^2} + 4c – 6c + 12 = 0\
 Leftrightarrow frac{1}{{16}}{c^3}left$c–2right$ + frac{1}{8}{c^2}left$c–2right$ – 2cleft$c–2right$ – 6left$c–2right$ = 0\
 Leftrightarrow left$c–2right$left$frac116c^3+frac18c^2–2c–6right$ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2,,,,,left$nright$\
x = 6,,,,,,left$lright$\
x =  – 4,,,left$lright$
end{array} right.
end{array}$

Vậy điểm $Cleft$2;1right$$ là điểm thỏa đề bài.

2.

Ta có $Delta ‘={{m}^{2}}-4$.

Phương trình có 2 nghiệm ${{x}_{1}},,{{x}_{2}}Leftrightarrow Delta ‘>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-4ge 0Leftrightarrow mge 2$ hoặc $mle -2$.

Theo định lý viet ta có

$begin{array}{l}
{x_1}^4 + {x_2}^4 le 32 Leftrightarrow {left${x_1}^2+{x_2}^{2}right$^2} – 2{x_1}^2{x_2}^2 le 32 Leftrightarrow {left$S^2–2Pright$^2} – 2{P^2} le 32 Leftrightarrow {S^4} – 4{S^2}P + 2{P^2} le 32\
 Leftrightarrow 16{m^4} – 16{m^2}.4 + {2.4^2} le 32 Leftrightarrow 16{m^4} – 64{m^2} + 32 le 32 Leftrightarrow {m^2}left$m^2–4right$ le 0\
 Leftrightarrow  – 2 le m le 2
end{array}$

Kết hợp với điều kiện có nghiệm ta có $m=-2$ hoặc $m=2$.

Bài III:

Gọi x $giờ$ là thời gian máy cày 1 làm một mình xong khu đất.

       y $giờ$ là thời gian máy cày 2 làm một mình xong khu đất. Điều kiện $x,y>12$.

Mỗi giờ máy 1 và máy 2 làm được tương ứng là $dfrac{1}{x}$ và $dfrac{1}{y}$ khu đất.

Do 2 máy cùng cáy trong 12 giờ thì được $dfrac{1}{10}$ khu đất nên ta có phương trình $dfrac{12}{x}+dfrac{12}{y}=dfrac{1}{10}$.

Nếu máy 1 làm một mình 42 giờ và máy 2 làm một mình 22 giờ thì làm được $25%=dfrac{1}{4}$ khu đất nên ta có phương trình $dfrac{42}{x}+dfrac{22}{y}=dfrac{1}{4}$.

Suy ra $left{ begin{array}{l}
frac{{12}}{x} + frac{{12}}{y} = frac{1}{{10}}\
frac{{42}}{x} + frac{{22}}{y} = frac{1}{4}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
frac{1}{x} = frac{1}{{300}}\
frac{1}{y} = frac{1}{{200}}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 300\
y = 200
end{array} right.$

Vậy máy 1 làm một mình trong 300 giờ thì xong khu đất. Máy 2 làm một mình trong 200 giờ thì xong khu đất.

Bài IV:

a) Xét tứ giác $BCPI$ có:

$widehat{ACB}={{90}^{0}}$  $gócnộitiếpchắnnửađườngtròn$

Và $widehat{PIB}={{90}^{0}}$ $giảthiết$

Suy ra tứ giác $BCPI$ nội tiếp đường tròn đường kính $BP$.

b) Xét tam giác $MAB$ có:

$MIbot AB$ và $ACbot MB$ , suy ra $MI,,AC$  là 2 đường cao. Mà $P$ là giao điểm của $MI,,AC$. Nên P là trực tâm tam giác $MAB$.

Ta lại có $widehat{BKA}={{90}^{0}}$ $gócnộitiếpchắnnửađườngtròn$.

Nên $BKbot MARightarrow BK$ là đường cao thứ 3 trong tam giác $MAB$. Do đó $BK$ đi qua điểm $P$ hay $B,,P,,K$ thẳng hàng.

c)

Ta có $AQ//MI$  $docùngvuônggócvớiAB$ nên $QAIM$ là hình thang vuông.

$BC=R$ nên $Delta OBC$ đều. Do đó $widehat{ABC}={{60}^{0}}$.

Ta có $QA,,QC$ là 2 tiếp tuyến của $left$Oright$$ nên $widehat{QAC}=widehat{QCA}=widehat{ABC}={{60}^{0}}$ $gócnộitiếpvàgóctạobởitiếptuyếnvàdâycungcùngchắn1cung$.

Do đó $Delta QAC$ đều.

$Delta ABC$ vuông tại C có $AC=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=sqrt{{{left$2Rright$}^{2}}-{{R}^{2}}}=Rsqrt{3}Rightarrow QA=Rsqrt{3}$.

Ta có I là trung điểm của bán kính OA nên $AI=dfrac{1}{2}R$ và $BI=dfrac{3}{2}R$.

Xét tam giác $MIB$ vuông tại I có: $MI=BI.tan ABC=dfrac{3}{2}R.tan ,{{60}^{0}}=dfrac{3Rsqrt{3}}{2}$.

Vậy diện tích hình thang vuông $QAIM$ là: ${{S}_{QAIM}}=dfrac{left$QA+IMright$.AI}{2}=dfrac{left$Rsqrt3+dfrac3Rsqrt32right$.dfrac{1}{2}R}{2}=dfrac{5{{R}^{2}}sqrt{3}}{8}$.