Đáp án – đề 12 – trang 1

Câu

ý

Nội dung

Điểm

Câu 1

(2,0đ)

1.

 (1,0đ)

Với 0 < a < 1, ta có:

$Q=left( dfrac{sqrt{1+a}}{sqrt{1+a}-sqrt{1-a}}+dfrac{1-a}{sqrt{1-{{a}^{2}}}-1+a} right).left( sqrt{dfrac{1}{{{a}^{2}}}-1}-dfrac{1}{a} right)sqrt{{{a}^{2}}-2a+1}$

$=left( dfrac{sqrt{1+a}}{sqrt{1+a}-sqrt{1-a}}+dfrac{sqrt{{{left( 1-a right)}^{2}}}}{sqrt{left( 1-a right)left( 1+a right)}-sqrt{{{left( 1-a right)}^{2}}}} right).left( sqrt{dfrac{1-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-dfrac{1}{a} right)sqrt{{{left( a-1 right)}^{2}}}$

$=left( dfrac{sqrt{1+a}}{sqrt{1+a}-sqrt{1-a}}+dfrac{sqrt{{{left( 1-a right)}^{2}}}}{sqrt{left( 1-a right)}left( sqrt{1+a}-sqrt{1-a} right)} right).left( dfrac{sqrt{left( 1-a right)left( 1+a right)}}{a}-dfrac{1}{a} right)left| a-1 right|$

0,5

$=left( dfrac{sqrt{1+a}}{sqrt{1+a}-sqrt{1-a}}+dfrac{sqrt{1-a}}{sqrt{1+a}-sqrt{1-a}} right).dfrac{sqrt{left( 1-a right)left( 1+a right)}-1}{a}left( 1-a right)$

$=dfrac{sqrt{1+a}+sqrt{1-a}}{sqrt{1+a}-sqrt{1-a}}.dfrac{2sqrt{left( 1-a right)left( 1+a right)}-left( 1+a right)-left( 1-a right)}{2a}left( 1-a right)$

0,5

$=dfrac{sqrt{1+a}+sqrt{1-a}}{sqrt{1+a}-sqrt{1-a}}.dfrac{-{{left( sqrt{1+a}-sqrt{1-a} right)}^{2}}}{2a}left( 1-a right)$

$=-dfrac{left( sqrt{1+a}+sqrt{1-a} right)left( sqrt{1+a}-sqrt{1-a} right)}{2a}left( 1-a right)$

$=-dfrac{left( 1+a right)-left( 1-a right)}{2a}left( 1-a right)=-dfrac{2a}{2a}left( 1-a right)=a-1.$

0,5

2.

(1,0đ)

Do $1>a>0Rightarrow 0>a-1>-1Rightarrow 1>{{left( a-1 right)}^{2}}>0.$

0,25

Xét ${{Q}^{3}}-Q=left( a-1 right)left( {{left( a-1 right)}^{2}}-1 right)>0$ .Vậy ${{Q}^{3}}>Q.$

0,25

Câu 2

(2,0đ)

1.

(1,0đ)

Đk: $left{ begin{array}{l}
x + 9 ge 0\
9 – x ge 0
end{array} right. Leftrightarrow  – 9 le x le 9.$

0,25

Với đk trên, pt đã cho tương đương với $xleft( sqrt{9-x}+3 right)=2xleft( sqrt{x+9}+3 right)$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
sqrt {9 – x}  = 2sqrt {x + 9}  + 3,,,,,left( * right)
end{array} right.$

0,25

Đặt $a=sqrt{9-x},,b=sqrt{9+x}$ ta có $a,,bge 0.$Từ (*), ta có hệ phương trình  $left{ begin{array}{l}
a = 2b + 3,,,,,,,,,,,,left( 1 right)\
{a^2} + {b^2} = 18,,,,,,,,left( 2 right)
end{array} right.$

Thay  (1) vào (2) suy ra ${left( {2b + 3} right)^2} + {b^2} + 18 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
b = 3/5\
b =  – 3
end{array} right.$

0,25

Với $b=-3$  loại.

Với $b=dfrac{3}{5}Rightarrow x=dfrac{-216}{25}$ .

Thử lại, phương trình có tập nghiệm $S=left{ dfrac{-216}{25};0 right}.$

0,25

2.

(1,0đ)

Tính được $Aleft( -sqrt{m};m right),Bleft( sqrt{m};m right),Cleft( m;{{m}^{2}} right),Dleft( -m;{{m}^{2}}. right)$

0,25

Tính được ${{S}_{Delta OCD}}={{m}^{3}}$ ;${{S}_{ABCD}}=left( m-{{m}^{2}} right)left( sqrt{m}+m right)$ .( do $1>m>0$)

0,25

Do ${{S}_{ABCD}}=9.{{S}_{Delta OCD}}Leftrightarrow left( m-{{m}^{2}} right)left( sqrt{m}+m right)=9{{m}^{3}}$

                                  $Leftrightarrow 10msqrt{m}+m-sqrt{m}-1=0$

0,25

Đặt $sqrt{m}=t>0Rightarrow 10{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t-1=0Leftrightarrow left( t-dfrac{1}{2} right)left( 10{{t}^{2}}+6t+2 right)=0Leftrightarrow t=dfrac{1}{2}$

Suy ra $m=dfrac{1}{4}$. Kết luận, $m=dfrac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

0,25

Câu 3

(1,0đ)

TH1: nếu  $x=2k,+1,left( kin mathbb{Z},kge 0 right)$, ta có pt : ${{7}^{2k+1}}={{3.2}^{y}}+1.$

+)Nếu $k=0$  suy ra $x=1,y=1$  là nghiệm cần tìm.

0,25

+)Nếu $kge 1$  suy ra ${{3.2}^{y}}+1ge {{7}^{3}}Rightarrow yge 2Rightarrow {{2}^{y}}equiv 0left( motext{d}4 right).$

 Xét mod 4 cả hai vế thì có:

    ${{7}^{2k+1}}={{49}^{k}}.7equiv 3left( motext{d}4 right).$

    ${{3.2}^{y}}+1equiv 1left( motext{d}4 right).$  Suy ra pt vô nghiệm.

0,25

TH2: $x=2k$ ( với $kin mathbb{Z},kge 1$) khi đó

   ${{7}^{2k}}={{3.2}^{y}}+1Leftrightarrow {{7}^{2k}}-1={{3.2}^{y}}Leftrightarrow left( {{7}^{k}}-1 right)left( {{7}^{k}}+1 right)={{3.2}^{y}},,,,,,,left( 1 right).$ 

Do ${{7}^{k}}-1equiv 0left( motext{d}3 right)$kết hợp với (1)  suy ra ${{7}^{k}}+1={{2}^{m,,,,}},left( min {{mathbb{Z}}_{+}} right)$

Vậy $left( 1 right)Leftrightarrow left( {{2}^{m}}-2 right){{2}^{m}}={{3.2}^{y}}Leftrightarrow left( {{2}^{m-1}}-1 right){{2}^{m+1}}={{3.2}^{y}}$

0,25

Do ${{2}^{m-1}}-1$  lẻ và ${2^{m + 1}}$ chia hết cho $3$ suy ra

$left{ begin{array}{l}
{2^{m – 1}} – 1 = 3\
{2^{m + 1}} = {2^y}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
m = 3\
y = 4
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2\
y = 4
end{array} right.$

Thử lại, suy ra có hai cặp nghiệm $left( 1;1 right),,,left( 2;4 right)$  thỏa mãn yêu cầu.

( có thể không cần trình bày theo ngôn ngữ mod)

0,25