. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong $
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đưa phương trình $y=f
$ về dạng phương trình theo ẩn $m$ có dạng sau:$Am+B=0$ hoặc $A{{m}^{2}}+Bm+C=0$. - Bước 2: Cho các hệ số bằng $0$, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:
- $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{A = 0}\
{B = 0}
end{array}} right.$ hoặc $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{A = 0}\
{B = 0}\
{C = 0}
end{array}} right.$. - Bước 3: Kết luận:
– Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong $
– Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của $
9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên
Cho đường cong $
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
- Bước 2: Lập luận để giải bài toán.
9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
Cho đường cong $
Bài toán 1: Cho đồ thị $left
Phương pháp giải:
- Gọi $Mleft
,,,Nleft $ là hai điểm trên $left $ đối xứng nhau qua điểm $I$. - Ta có $left{ begin{array}{l}
a + b = 2{x_I}\
A + Bleft + Cleft + 2D = 2{y_I}
end{array} right.$
Giải hệ phương trình tìm được $a,b$ từ đó tìm được toạ độ M, N.
Bài toán 2: Cho đồ thị $left
Phương pháp giải:
- Gọi $Mleft
,Nleft $ là hai điểm trên $left $ đối xứng nhau qua gốc tọa độ. - Ta có $left{ begin{array}{l}
a + b = 0\
A + Bleft + Cleft + 2D = 0
end{array} right.$ - Giải hệ phương trình tìm được$a,,b$ từ đó tìm được toạ độ $M,N$.
Bài toán 3: Cho đồ thị $left
Phương pháp giải:
- Gọi $Mleft
,,,Nleft $ là hai điểm trên $left $ đối xứng nhau qua đường thẳng $d$. - Ta có: $left{ begin{array}{l}
I in d,,,,,,,,,,,,,,, \
overrightarrow {MN} .{overrightarrow u _d}, = 0,,
end{array} right.$ - Giải hệ phương trình tìm được M, N.
9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách
9.4.1. Lý thuyết:
- Cho hai điểm $Aleft
;Bleft $ $Rightarrow AB=sqrt{{{left }^{2}}+{{left }^{2}}}$ - Cho điểm $Mleft
$ và đường thẳng $d:Ax+By+C=0$, thì khoảng cách từ $M$ đến $d$ là $hleft =frac{left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$. - Cho hàm phân thức: $y=frac{ax+b}{cx+d}$ tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M là trung điểm của AB. Thì diện tích tam giác $MAB$ không đổi: ${{S}_{MAB}}=frac{2}{{{c}^{2}}}left| ad-bc right|$.
9.4.2. Các bài toán thường gặp
Bài toán 1: Cho hàm số $y=frac{ax+b}{cx+d},,,left
Phương pháp giải:
- $left
$ có tiệm cận đứng $x=-frac{d}{c}$ do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số $alpha ,beta $ là hai số dương. - Nếu $A$ thuộc nhánh trái: ${{x}_{A}}<-frac{d}{c}Rightarrow {{x}_{A}}=-frac{d}{c}-alpha <-frac{d}{c}$; ${{y}_{A}}=f
$. - Nếu $B$ thuộc nhánh phải: ${{x}_{B}}>-frac{d}{c}Rightarrow {{x}_{B}}=-frac{d}{c}+beta >-frac{d}{c}$; ${{y}_{B}}=f
$. - Sau đó tính:
$A{{B}^{2}}={{left
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số $left
Phương pháp giải:
- Gọi $Mleft
$và tổng khoảng cách từ $M$đến hai trục tọa độ là $d$ thì $d=left| x right|+left| y right|.$ - Xét các khoảng cách từ $M$đến hai trục tọa độ khi $M$ nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.
- Sau đó xét tổng quát, những điểm $M$có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của $M$ khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
- Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của $d$.
Bài toán 3: Cho đồ thị $
Phương pháp giải:
Theo đầu bài ta có $left| y right| = kleft| x right| Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = kx\
y = – kx
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
fleft
fleft
end{array} right.$
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số $
Phương pháp giải:
- Tiệm cận đứng $x=frac{-d}{c}$; tiệm cận ngang $y=frac{a}{c}$.
- Ta tìm được tọa độ giao điểm $Ileft
$của hai tiệm cận. - Gọi $Mleft
$ là điểm cần tìm, thì:$I{{M}^{2}}={{left }^{2}}+{{left }^{2}}=gleft $ - Sử dụng phương pháp tìm GTLN – GTNN cho hàm số $g$ để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số $
Phương pháp giải:
- Gọi $I$ thuộc $
$$Rightarrow Ileft ; {{y}_{0}}=f $. - Khoảng cách từ $I$ đến $d$ là $g
=hleft =frac{left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$ - Khảo sát hàm số $y=g
$ để tìm ra điểm $I$ thỏa mãn yêu cầu.