Bài 6: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

6.1.1. Hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dtext{  }left( ane 0 right)$

TRƯỜNG HỢP

$a>0$

$a<0$

Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có

2 nghiệm phân biệt

Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có  nghiệm kép

Phương trình ${{y}^{/}}=0$ vô nghiệm

6.1.2. Hàm số trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+ctext{  }left( ane 0 right)$

TRƯỜNG HỢP

$a>0$

$a<0$

Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có

3 nghiệm phân biệt

(ab<0)

Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có

 1 nghiệm.

6.1.3. Hàm số nhất biến $y=frac{ax+b}{cx+d}text{   }left( cne 0,text{ }ad-bcne 0 right)$

$D=ad-bc>0$

$D=ad-bc<0$

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị

6.2.1. Dạng 1

Từ đồ thị $left( C right):y=fleft( x right)$ suy ra đồ thị $left( {{C}’} right):y=fleft( left| x right| right)$.

Ta có:$y = fleft( {left| x right|} right) = left{ begin{array}{l}
fleft( x right){rm{    khi  }}x ge 0\
fleft( { – x} right){rm{  khi  }}x < 0
end{array} right.$

và $y=fleft( left| x right| right)$ là hàm chẵn nên đồ thị $left( {{C}’} right)$ nhận Oy làm trục đối xứng.

.* Cách vẽ $left( {C’} right)$ từ $left( {C} right)$:

  • Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$.
  • Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của $left( {C} right)$, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

Ví dụ: Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right) = {x^3} – 3x$ suy ra đồ thị $left( {C’} right):y = {left| x right|^3} – 3left| x right|$.

Biến đổi $left( {C} right)$:

  • Bỏ phần đồ thị của $left( {C} right)$ bên trái $Oy,$  giữ nguyên $left( {C} right)$ bên phải $Oy,$  
  • Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua $Oy,$.

$left( C right):y = {x^3} – 3x$ $left( {C’} right):y = {left| x right|^3} – 3left| x right|$ 

 

6.2.2. Dạng 2

Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ suy ra đồ thị $left( {C’} right):y = left| {fleft( x right)} right|$.

Ta có: $y = left| {fleft( x right)} right| = left{ begin{array}{l}
fleft( x right){rm{     khi  }}fleft( x right) ge 0\
 – fleft( x right){rm{   khi  }}fleft( x right) < 0
end{array} right.$

* Cách vẽ $left( {C’} right)$ từ $left( {C} right)$:

  • Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):$y = fleft( x right)$.
  • Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Ví dụ: Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right) = {x^3} – 3x$ suy ra đồ thị $y = left| {{x^3} – 3x} right|$.

Biến đổi $left( C right)$:

  • Bỏ phần đồ thị của $left( C right)$ dưới $Ox,$ giữ nguyên $left( C right)$ phía trên $Ox,$ 
  •  Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua $Ox,$.

$left( {C’} right):y = left| {{x^3} – 3x} right|$ $left( C right):y = {x^3} – 3x$ 

 

$left( {C”} right):y = left| {{{left| x right|}^3} – 3left| x right|} right|$Chú ý với dạng: $y=left| fleft( left| x right| right) right|$ ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị $y=fleft( left| x right| right)$ và $y=left| fleft( x right) right|$

Ví dụ: Từ đồ thị $left( C right):y=fleft( x right)={{x}^{3}}-3x$ suy ra đồ thị $y=left| {{left| x right|}^{3}}-3left| x right| right|$. Biến đổi $left( C right)$ để được đồ thị $left( {{C}’} right):y={{left| x right|}^{3}}-3left| x right|$. Biến đổi $left( {{C}’} right):y={{left| x right|}^{3}}-3left| x right|$ ta được đồ thị $left( {{{C}’}’} right):y=left| {{left| x right|}^{3}}-3left| x right| right|$.

.

 

6.2.3. Dạng 3

Từ đồ thị $left( C right):y=uleft( x right).vleft( x right)$ suy ra đồ thị $left( {{C}’} right):y=left| uleft( x right) right|.vleft( x right)$.

Ta có:$y = left| {uleft( x right)} right|.vleft( x right) = left{ begin{array}{l}
uleft( x right).vleft( x right) = fleft( x right){rm{     khi }}uleft( x right) ge 0\
 – uleft( x right).vleft( x right) = fleft( x right){rm{   khi }}uleft( x right) < 0
end{array} right.$

* Cách vẽ $left( {{C}’} right)$ từ $left( C right)$:

  • Giữ nguyên phần đồ thị trên miền $uleft( x right)ge 0$ của đồ thị $left( C right):y=fleft( x right)$.
  • Bỏ phần đồ thị trên miền $uleft( x right)<0$của $left( C right)$, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ  qua Ox.

 

Ví dụ

a) Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right) = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ suy ra đồ thị $left( {C’} right):y = left| {x – 1} right|left( {2{x^2} – x – 1} right)$

b) Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right) = frac{x}{{x – 1}}$ suy ra đồ thị $left( {C’} right):y = frac{x}{{left| {x – 1} right|}}$

$y = left| {x – 1} right|left( {2{x^2} – x – 1} right) = left{ begin{array}{l}
fleft( x right){rm{    khi }}x ge 1\
 – fleft( x right){rm{  khi }}x < 1
end{array} right.$

Đồ thị (C’):

  • Giữ nguyên (C) với $x ge 1$.
  • Bỏ (C) với $x < 1$. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

$y = frac{x}{{left| {x – 1} right|}} = left{ begin{array}{l}
frac{x}{{x – 1}}{rm{     khi }}x in left( {1; + infty } right)\
 – frac{x}{{x – 1}}{rm{   khi }}x in left( { – infty ;1} right){rm{ }}
end{array} right..$Đồ thị (C’):

  • Bỏ phần đồ thị của $left( C right)$ với $x < 1,$ giữ nguyên $left( C right)$ với  $x > 1.$
  • Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua $Ox.$ 

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác.

 

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *