Bài 5: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

Đăng vào bởi admin

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

5.1. Tích phân hàm hữu tỉ

5.1.1. Dạng 1

I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{ax+b}}=frac{1}{a}intlimits_{alpha }^{beta }{frac{adx}{ax+b}}left. =frac{1}{a}ln left| ax+b right| right|_{alpha }^{beta }$.    (với a≠0)

 Chú ý: Nếu I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{{{(ax+b)}^{k}}}}=frac{1}{a}intlimits_{alpha }^{beta }{{{(ax+b)}^{-k}}.adx}=frac{1}{a(1-k)}.{{(ax+b)}^{-k+1}}left| _{alpha }^{beta } right.$

5.1.2. Dạng 2

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}quad left( ane 0 right)$    ($a{{x}^{2}}+bx+cne 0$ với mọi $xin left[ alpha ; beta  right]$)

Xét $Delta ={{b}^{2}}-4ac$.

  • Nếu $Delta >0$thì ${{x}_{1}}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a};{{x}_{2}}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}$

$frac{1}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{1}{a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})}=frac{1}{a({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}left( frac{1}{x-{{x}_{1}}}-frac{1}{x-{{x}_{2}}} right)$ thì :

$begin{array}{l}
I = frac{1}{{a({x_1} – {x_2})}}intlimits_alpha ^beta  {left( {frac{1}{{x – {x_1}}} – frac{1}{{x – {x_2}}}} right)} dx = frac{1}{{a({x_1} – {x_2})}}left[ {ln left| {x – {x_1}} right| – ln left| {x – {x_2}} right|} right]left| {begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array}} right.\
,,,, = frac{1}{{a({x_1} – {x_2})}}ln left| {frac{{x – {x_1}}}{{x – {x_2}}}} right|begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array}
end{array}$

  • Nếu $Delta =0$ thì  $frac{1}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{1}{a{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}}quad left( {{x}_{0}}=frac{-b}{2a} right)$

thì I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}=}frac{1}{a}intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}}=-frac{1}{a(x-{{x}_{0}})}left| _{alpha }^{beta } right.}$

  • Nếu $Delta <0$thì $I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{aleft[ {{left( x+frac{b}{2a} right)}^{2}}+{{left( sqrt{frac{-Delta }{4{{a}^{2}}}} right)}^{2}} right]}}$

Đặt $x+frac{b}{2a}=sqrt{frac{-Delta }{4{{a}^{2}}}}tan tRightarrow dx=frac{1}{2}sqrt{frac{-Delta }{{{a}^{2}}}}left( 1+{{tan }^{2}}t right)dt$

5.1.3. Dạng 3

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx,quad left( ane 0 right)}$.

(trong đó $f(x)=frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}$ liên tục trên đoạn $left[ alpha ;beta  right]$)

  • Bằng ph­ương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm $A$ và $B$ sao cho:        

              $frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{A(a{{x}^{2}}+bx+c)’}{a{{x}^{2}}+bx+c}+frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}$$=frac{A(2ax+b)}{a{{x}^{2}}+bx+c}+frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}$       

  • Ta có I= $intlimits_{alpha }^{beta }{{}}$$frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx=intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{A(2ax+b)}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx+intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx$

Tích phân $intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{A(2ax+b)}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx$  = $Aleft. ln ,left| a{{x}^{2}}+bx+c right|  right|_{alpha }^{beta }$

Tích phân $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}$   thuộc dạng 2.

 5.1.4. Dạng 4

$I=intlimits_{a}^{b}{frac{P(x)}{Q(x)}dx}$ với $Pleft( x right)$ và $Qleft( x right)$ là đa thức của $x$.

  • Nếu bậc của $Pleft( x right)$ lớn hơn hoặc bằng bậc của $Qleft( x right)$ thì dùng phép chia đa thức.
  • Nếu bậc của $Pleft( x right)$ nhỏ hơn bậc của $Qleft( x right)$ thì có thể xét các trường hợp:
  • Khi $Qleft( x right)$ chỉ có nghiệm đơn ${{alpha }_{1}},{{alpha }_{2}},…,{{alpha }_{n}}$thì đặt

$frac{P(x)}{Q(x)}=frac{{{A}_{1}}}{x-{{alpha }_{1}}}+frac{{{A}_{2}}}{x-{{alpha }_{2}}}+…+frac{{{A}_{n}}}{x-{{alpha }_{n}}}$.

  • Khi  $Qleft( x right)$có nghiệm đơn và vô nghiệm

 $Q(x)=left( x-alpha  right)left( {{x}^{2}}+px+q right),Delta ={{p}^{2}}-4q<0$ thì đặt

$frac{P(x)}{Q(x)}=frac{A}{x-alpha }+frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+px+q}.$

  • Khi $Qleft( x right)$có nghiệm bội

$Q(x)=(x-alpha ){{(x-beta )}^{2}}$ với a ¹ b thì đặt

$frac{P(x)}{Q(x)}=frac{{{A}_{{}}}}{x-{{alpha }_{{}}}}+frac{B}{x-beta }+frac{C}{{{left( x-beta  right)}^{2}}}$.

$Q(x)={{(x-alpha )}^{2}}{{(x-beta )}^{3}}$ với a ¹ b thì đặt

$frac{P(x)}{{{(x-alpha )}^{2}}{{(x-beta )}^{3}}}=frac{A}{{{(x-alpha )}^{2}}}+frac{B}{(x-alpha )}+frac{C}{{{(x-beta )}^{3}}}+frac{D}{{{(x-beta )}^{2}}}+frac{E}{x-beta }$

5.2. Tích phân hàm vô tỉ

$intlimits_{a}^{b}{R(x,,f(x))dx}$         Trong đó $Rleft( x,text{ }fleft( x right) right)$ có dạng:

  • $Rleft( x,sqrt{frac{a-x}{a+x}} right)$ Đặt $x=acos2t,text{ }tin left[ 0;,frac{pi }{2} right]$
  • $Rleft( x,sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} right)$ Đặt $x=left| a right|sin t$ hoặc $x=left| a right|cos t$
  • $Rleft( x,sqrt[n]{frac{ax+b}{cx+d}} right)$ Đặt $t=sqrt[n]{frac{ax+b}{cx+d}}$
  • $Rleft( x,fleft( x right) right)=frac{1}{(ax+b)sqrt{alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma }}$ Với $left( alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma  right)’=text{ }kleft( ax+b right)$

            Đặt $t=sqrt{alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma }$, hoặc Đặt $t=frac{1}{ax+b}$

  • $Rleft( x,sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} right)$ Đặt $x=left| a right|tan t$, $tin left[ -frac{pi }{2};,frac{pi }{2} right]$
  • $Rleft( x,sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} right)$ Đặt $x=frac{left| a right|}{cos x}$, $~tin [0;,pi ]backslash left{ frac{pi }{2} right}$
  • $Rleft( sqrt[{{n}_{1}}]{x};sqrt[{{n}_{2}}]{x};…;sqrt[{{n}_{i}}]{x} right)$ Gọi $k=BSCNNleft( {{n}_{1}};{{n}_{2}};…;{{n}_{i}} right)$ . Đặt $x={{t}^{k}}$

5.2.1. Dạng 1

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{1}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{2}}+bx+c}}dxquad left( ane 0 right)}$

Từ :${rm{f(x) = a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c = aleft[ {{{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)}^2} – frac{Delta }{{4{a^2}}}} right] Rightarrow left{ begin{array}{l}
x + frac{b}{{2a}} = u\
frac{{sqrt Delta  }}{{2a}} = K
end{array} right. leftrightarrow du = dx$

Khi đó ta có  :

  • Nếu $Delta <0,a>0Rightarrow f(x)=aleft( {{u}^{2}}+{{k}^{2}} right)Leftrightarrow sqrt{f(x)}=sqrt{a}.sqrt{{{u}^{2}}+{{k}^{2}}}$ (1)
  • Nếu $Delta  = 0 Rightarrow f(x) = a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
    a > 0\
    sqrt {f(x)}  = sqrt a left| {x + frac{b}{{2a}}} right| = sqrt a .left| u right|
    end{array} right.$ (2)
  • Nếu : $Delta >0$.
  • Với $a>0$ : $f(x)=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)Leftrightarrow sqrt{f(x)}=sqrt{a}.sqrt{left( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)}$ (3)
  • Với $a<0$ : $f(x)=-aleft( {{x}_{1}}-x right)left( {{x}_{2}}-x right)Leftrightarrow sqrt{f(x)}=sqrt{-a}.sqrt{left( {{x}_{1}}-x right)left( {{x}_{2}}-x right)}$(4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

  • Phương pháp :

* Trường hợp : $Delta <0,a>0Rightarrow f(x)=aleft( {{u}^{2}}+{{k}^{2}} right)Leftrightarrow sqrt{f(x)}=sqrt{a}.sqrt{{{u}^{2}}+{{k}^{2}}}$

Khi đó đặt :$sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c}  = t – sqrt a .x$

$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
bx + c = {t^2} – 2sqrt a x\
x = alpha  to t = {t_0},x = beta  to t = {t_1}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = frac{{{t^2} – c}}{{b + 2sqrt a }};dx = frac{2}{{left( {b + 2sqrt a } right)}}tdt\
t – sqrt a .x = t – sqrt a frac{{{t^2} – c}}{{b + 2sqrt a }}
end{array} right.$

* Trường hợp :

$Delta  = 0 Rightarrow f(x) = a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a > 0\
sqrt {f(x)}  = sqrt a left| {x + frac{b}{{2a}}} right| = sqrt a .left| u right|
end{array} right.$

Khi đó : $I = intlimits_alpha ^beta  {frac{1}{{sqrt a left| {x + frac{b}{{2a}}} right|}}dx = frac{1}{{sqrt a }}intlimits_alpha ^beta  {frac{1}{{left| {x + frac{b}{{2a}}} right|}}dx = left[ begin{array}{l}
frac{1}{{sqrt a }}ln left( {x + frac{b}{{2a}}} right)left| {begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array}} right.:x + frac{b}{{2a}} > 0\
 – frac{1}{{sqrt a }}ln left( {x + frac{b}{{2a}}} right)left| {begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array}} right.:x + frac{b}{{2a}} < 0
end{array} right.} } $

* Trường hợp : $Delta  > 0,a > 0$. Đặt : $sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c}  = sqrt {aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)}  = left[ begin{array}{l}
left( {x – {x_1}} right)t\
left( {x – {x_2}} right)t
end{array} right.$

* Trường hợp : $Delta  > 0,a < 0$. Đặt : $sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c}  = sqrt {aleft( {{x_1} – x} right)left( {{x_2} – x} right)}  = left[ begin{array}{l}
left( {{x_1} – x} right)t\
left( {{x_2} – x} right)t
end{array} right.$

5.2.2. Dạng 2

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{mx+n}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{2}}+bx+c}}dxquad left( ane 0 right)}$

  • Phương pháp :
  • Bước 1:

Phân tích $f(x)=frac{mx+n}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}=frac{A.dleft( sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c} right)}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}+frac{B}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}quad left( 1 right)$

  • Bước 2:

Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số $A,B$

  • Bước 3:

Giải hệ tìm $A,B$ thay vào (1)

  • Bước 4 :

Tính$I = 2Aleft( {sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c} } right)left| {begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array} + Bintlimits_alpha ^beta  {frac{1}{{sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c} }}dx} } right.$(2)

Trong đó  $intlimits_alpha ^beta  {frac{1}{{sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^2} + bx}  + c}}dxquad left( {a ne 0} right)} $ đã biết cách tính ở trên

5.2.3. Dạng 3

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{1}{left( mx+n right)sqrt{text{a}{{text{x}}^{2}}+bx}+c}dxquad left( ane 0 right)}$

  • Phương pháp :
  • Bước 1:  

Phân tích : $frac{1}{left( mx+n right)sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}=frac{1}{mleft( x+frac{n}{m} right)sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}$. (1)

  • Bước 2:

  Đặt :$frac{1}{y} = x + frac{n}{m} Rightarrow left{ begin{array}{l}
y = frac{1}{{x + t}}left( {t = frac{n}{m}} right) to dy =  – frac{1}{{x + t}}dx\
x = frac{1}{y} – t Rightarrow {rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c = a{left( {frac{1}{y} – t} right)^2} + bleft( {frac{1}{y} – t} right) + c
end{array} right.$

  • Bước 3:  

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : $I=pm intlimits_{alpha ‘}^{beta ‘}{frac{dy}{sqrt{L{{y}^{2}}+My+N}}}$. Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .

5.2.4. Dạng 4

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{Rleft( x;y right)dx=}intlimits_{alpha }^{beta }{Rleft( x;sqrt[m]{frac{alpha x+beta }{gamma x+delta }} right)dx}$

( Trong đó : $Rleft( x;y right)$ là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và $alpha ,beta ,gamma ,delta $ là các hằng số đã biết )

  • Phương pháp :
  • Bước 1:  

Đặt : $t=sqrt[m]{frac{alpha x+beta }{gamma x+delta }}$ (1)

  • Bước 2:  

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng $x=varphi left( t right)$

  • Bước 3:  

Tính vi phân hai vế : $dx=varphi ‘left( t right)dt$ và đổi cận

  • Bước 4:  

Tính : $intlimits_{alpha }^{beta }{Rleft( x;sqrt[m]{frac{alpha x+beta }{gamma x+delta }} right)dx}=intlimits_{alpha ‘}^{beta ‘}{Rleft( varphi left( t right);t right)varphi ‘left( t right)dt}$

5.3. Tích phân hàm lượng giác

5.3.1. Một số công thức lượng giác

5.3.1.1. Công thức cộng

$cos (apm b)=cos a.cos b~mp sin a.sin b$            

$sin (apm b)=sin a.cos bpm sin b.cos a$         

$tan (apm b)=frac{tan apm tan b}{1mp tan a.tan b}$

5.3.1.2. Công thức nhân đôi

$cos 2a={{cos }^{2}}a{{sin }^{2}}a=2{{cos }^{2}}a1=12{{sin }^{2}}a=frac{1-{{tan }^{2}}a}{1+{{tan }^{2}}a}$

$sin 2a=2sin a.cos a=frac{2tan a}{1+{{tan }^{2}}a}$    ;    $tan 2a = frac{{2{rm{tana}}}}{{1 – {{tan }^2}a}}$                                               $cos 3alpha  = 4{cos ^3}alpha  – 3cos alpha $              ;         $sin 3alpha  = 3sin alpha  – 4{sin ^3}alpha $

5.3.1.3. Công thức hạ bậc

 

5.3.1.4. Công thức tính theo $operatorname{t}$

         Với $t = frac{{tan alpha }}{2}$   Thì $sin alpha  = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$  ;  $cos alpha  = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ ; $tan alpha  = frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$

5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích

        

 

Công thức thường dùng:

 begin{array}{l}
{cos ^4}alpha  + {sin ^4}alpha  = frac{{3 + cos 4alpha }}{4}\
{cos ^6}alpha  + {sin ^6}alpha  = frac{{5 + 3cos 4alpha }}{8}
end{array}

Hệ quả:

begin{array}{l}
cos alpha  + sin alpha  = sqrt 2 cos left( {alpha  – frac{pi }{4}} right) = sqrt 2 sin left( {alpha  + frac{pi }{4}} right)\
cos alpha  – sin alpha  = sqrt 2 cos left( {alpha  + frac{pi }{4}} right) =  – sqrt 2 sin left( {alpha  – frac{pi }{4}} right)
end{array}

5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

  • Nếu gặp $I = intlimits_a^b {f(sin x).cos xdx} $ ta đặt t = sinx.
  • Nếu gặp dạng $I = intlimits_a^b {f(cos x).sin xdx} $ ta đặt t = cosx.
  • Nếu gặp dạng$I = intlimits_a^b {f(tan x)frac{{dx}}{{{{cos }^2}x}}} $ ta đặt t = tanx.
  • Nếu gặp dạng $I = intlimits_a^b {f(cot x)frac{{dx}}{{{{sin }^2}x}}} $ ta đặt t = cotx.

5.3.2.1. Dạng 1

${I_1} = intlimits_a^b {{{(sin x)}^n}dx;} {I_1} = {I_2} = intlimits_a^b {{{(cos x)}^n}dx} $

* Phương pháp

  • Nếu $n$ chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
  • Nếu $n=3$ thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi
  • Nếu $3n$ lẻ $(n=2p+1)$ thì thực hiện biến đổi:

5.3.2.2. Dạng 2

$I = int {{{sin }^m}x{{cos }^n}xdx} ,,,,,,left( {m,n in N} right)$    

* Phương pháp

    • Trường hợp 1: $m,n$ là các số nguyên

a. Nếu $m$ chẵn, $n$ chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu $m$ chẵn, $n$ lẻ $(n=2p+1)$ thì biến đổi:

c. Nếu $m$ lẻ $left( m=2p+1 right)$, $n$ chẳn thì biến đổi:

d. Nếu $m$ lẻ, $n$ lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

    • Nếu $m,n$ là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt $u=sinx$

 (*)

 Tích phân (*) tính được Û 1 trong 3 số$frac{{m + 1}}{2};frac{{n – 1}}{2};frac{{m + k}}{2}$ là số nguyên

5.3.2.3. Dạng 3

${I_1} = int {{{(tan x)}^n}dx;{I_2} = int {{{(cot x)}^n}dx} } $$(nin N).$

 

Bài Viết cùng chủ đề

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *