Bài 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

4.1. Định nghĩa.

Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên tập $D.$

• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=fleft( x right)$ trên $D$ nếu:

$left{ begin{array}{l}
f(x) le M,forall x in D\
exists {x_0} in D,f({x_0}) = M
end{array} right.$

•     Số  gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = fleft( x right)$ trên D nếu:   $left{ begin{array}{l}
  f(x) ge m,forall x in D\
  exists {x_0} in D,f({x_0}) = m
  end{array} right.$. Kí hiệu: $m = mathop {min }limits_{x in D} {kern 1pt} f(x)$.

4.2.  Phương pháp tìm GTLN,GTNN

4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

• Bước 1: Tính ${f}’left( x right)$ và tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}in D$ mà tại đó ${f}’left( x right)=0$ hoặc hàm số không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

• Bước 1: 

• Hàm số đã cho $y=fleft( x right)$ xác định và liên tục trên đoạn $left[ a;b right].$
• Tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}$ trên khoảng $left( a;b right)$, tại đó ${f}’left( x right)=0$ hoặc ${f}’left( x right)$ không xác định.

• Bước 2:  Tính $fleft( a right),fleft( {{x}_{1}} right),fleft( {{x}_{2}} right),…,fleft( {{x}_{n}} right),fleft( b right).$
• Bước 3:  Khi đó:

• $underset{left[ a,b right]}{mathop{text{max}}},fleft( x right)=text{max}left{ fleft( {{x}_{1}} right),fleft( {{x}_{2}} right),…,fleft( {{x}_{n}} right),fleft( a right),fleft( b right) right}.$
• $underset{left[ a,b right]}{mathop{text{min}}},fleft( x right)=text{min}left{ fleft( {{x}_{1}} right),fleft( {{x}_{2}} right),…,fleft( {{x}_{n}} right),fleft( a right),fleft( b right) right}.$

4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

• Bước 1: Tính đạo hàm ${f}'(x)$.
• Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm ${{x}_{i}}in (a;b)$ của phương trình ${f}'(x)=0$ và tất cả các điểm ${{alpha }_{i}}in (a;b)$ làm cho ${f}'(x)$ không xác định.
• Bước 3. Tính $A=underset{xto {{a}^{+}}}{mathop{lim }},f(x)$, $B=underset{xto {{b}^{-}}}{mathop{lim }},f(x)$, $f({{x}_{i}})$, $f({{alpha }_{i}})$.
• Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận $M=underset{(a;b)}{mathop{max }},f(x)$, $m=underset{(a;b)}{mathop{min }},f(x)$.

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Chú ý:                

•  Nếu $y = fleft( x right)$ đồng biến trên $left[ {a;b} right]$ thì $left{ begin{array}{l}
  mathop {min }limits_{left[ {a;b} right]} fleft( x right) = fleft( a right)\
  mathop {max }limits_{left[ {a;b} right]} fleft( x right) = fleft( b right)
  end{array} right.$.
• Nếu $y = fleft( x right)$ nghịch biến trên $left[ {a;b} right]$ thì $left{ begin{array}{l}
  mathop {min }limits_{left[ {a;b} right]} f(x) = fleft( b right)\
  mathop {max }limits_{left[ {a;b} right]} f(x) = fleft( a right)
  end{array} right..$
• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.