2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
2.1. Phương pháp đổi biến
2.1.1. Đổi biến dạng 1
Nếu : $int{f(x)dx=F(x)+C}$ và với $u=varphi left( t right)$ là hàm số có đạo hàm thì :
$int{f(u)du=F(varphi (t))+C}$
2.1.1.1. Phương pháp chung
- Bước 1: Chọn $x=varphi left( t right)$, trong đó $varphi left( t right)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp .
- Bước 2: Lấy vi phân hai vế : $dx=varphi ‘left( t right)dt$
- Bước 3: Biến đổi : $f(x)dx=fleft[ varphi left( t right) right]varphi ‘left( t right)dt=gleft( t right)dt$
- Bước 4: Khi đó tính : $int{f(x)dx=int{g(t)dt=G(t)+C}}$.
2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
|
Dấu hiệu |
Cách chọn |
|
$sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ |
Đặt $x=left| a right|sint$; với $tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right].$hoặc $x=left| a right|cost$; với $tin left[ 0;pi right].$ |
|
$sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$ |
Đặt $x=frac{left| text{a} right|}{text{sint}}.$; với $tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right]backslash left{ 0 right}$ hoặc $x=frac{left| a right|}{cost}$ với $tin left[ 0;pi right]backslash left{ frac{pi }{2} right}.$ |
|
$sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ |
Đặt $x=left| a right|tant$; với $tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right).$hoặc $x=left| a right|cot t$ với $tin left( 0;pi right).$ |
|
$sqrt{frac{a+x}{a-x}}.$ hoặc $sqrt{frac{a-x}{a+x}}.$ |
Đặt $x=acos2t$ |
|
$sqrt{left( x-a right)left( b-x right)}$ |
Đặt $x=a+(ba)si{{n}^{2}}t$ |
|
$frac{1}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ |
Đặt $x=atant$ ; với $tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right).$ |
2.1.2. Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt $x=varphi left( t right)$. Trong đó $varphi left( t right)$ cùng với đạo hàm của nó ($varphi ‘left( t right)$ là những hàm số liên tục) thì ta được :
$int{f(x)dx=int{fleft[ varphi left( t right) right]varphi ‘left( t right)dt=int{g(t)dt=G(t)+C}}}$.
2.1.2.1. Phương pháp chung
- Bước 1: Chọn t=$varphi left( x right)$. Trong đó $varphi left( x right)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp .
- Bước 2: Tính vi phân hai vế : $dt=varphi ‘left( t right)dt$.
- Bước 3: Biểu thị : $f(x)dx=fleft[ varphi left( t right) right]varphi ‘left( t right)dt=g(t)dt$.
- Bước 4: Khi đó : $I=int{f(x)dx}=int{g(t)dt=G(t)+C}$
2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :
|
Dấu hiệu |
Cách chọn |
|
Hàm số mẫu số có |
$t$ là mẫu số |
|
Hàm số : $fleft( x;sqrt{varphi left( x right)} right)$ |
$t=sqrt{varphi left( x right)}$ |
|
Hàm $fleft( x right)=frac{a.operatorname{s}text{inx+b}text{.cosx}}{c.operatorname{s}text{inx+d}text{.cosx+e}}$ |
$t=tan frac{x}{2};left( ctext{os}frac{text{x}}{text{2}}ne 0 right)$ |
|
Hàm $fleft( x right)=frac{1}{sqrt{left( x+a right)left( x+b right)}}$ |
Với : $x+a>0$ và $x+b>0$.
Với $x+a<0$ và $x+b<0$. Đặt : $t=sqrt{-x-a}+sqrt{-x-b}$ |
2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
$int{u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)-int{v(x).u'(x)dx}}$
Hay $int{udv=uv-int{vdu}}$ ( với $du=uleft( x right)dx,~dv=vleft( x right)dx$ )
2.2.1. Phương pháp chung
- Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : $I=int{f(x)dx=int{{{f}_{1}}(x).{{f}_{2}}(x)dx}}$
- Bước 2: Đặt : $left{ begin{array}{l}
u = {f_1}(x)\
dv = {f_2}(x)
end{array} right. to left{ begin{array}{l}
du = f{‘_1}(x)dx\
v = int {{f_2}(x)dx}
end{array} right.$ - Bước 3: Khi đó : $int{u.dv=u.v-int{v.du}}$
2.2.2. Các dạng thường gặp
2.2.2.1. Dạng 1
$I = int {P(x)} left{ {left. begin{array}{l}
sin x\
cos x\
{e^x}
end{array} right}} right..dx$. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = P(x)\
dv = left{ {left. begin{array}{l}
sin x\
cos x\
{e^x}
end{array} right}} right..dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
u’.du = P'(x)dx\
v = left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x\
{e^x}
end{array} right}} right.
end{array} right.$
Vậy: $I = P(x)left{ begin{array}{l}
– cos x\
sin x\
{e^x}
end{array} right}$- $int {left{ begin{array}{l}
– cos x\
sin x\
{e^x}
end{array} right}.P'(x)dx} $
2.2.2.2. Dạng 2
$I = int {P(x).ln xdx} $. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = ln x\
\
dv = P(x)dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{1}{x}dx\
v = int {P(x)dx} = Q(x)
end{array} right.$
Vậy $I = lnx.Qleft( x right) = int {Q(x).frac{1}{x}dx} $
2.2.2.3. Dạng 3
$I = intlimits_{}^{} {{e^x}left{ {left. begin{array}{l}
sin x\
cos x
end{array} right}} right.dx} $. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = {e^x}\
dv = left{ {left. begin{array}{l}
sin x\
cos x
end{array} right}} right..dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = {e^x}dx\
v = left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x
end{array} right}} right.
end{array} right.$
Vậy I = $I = {e^x}left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x
end{array} right}} right.$- $int {left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x
end{array} right}} right.} {e^x}dx$
Bằng phương pháp tương tự ta tính được $int {left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x
end{array} right}} right.} {e^x}dx$ sau đó thay vào I
