Bài 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

2.1. Phương pháp đổi biến

2.1.1. Đổi biến dạng 1

Nếu : $int{f $x$ dx=F $x$ +C}$ và với $u=varphi left $t r i g h t$ $ là hàm số có đạo hàm thì :

$int{f $u$ du=F $v a r p h i (t$ )+C}$

2.1.1.1. Phương pháp chung

Bước 1: Chọn $x=varphi left $t r i g h t$ $, trong đó $varphi left $t r i g h t$ $ là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: Lấy vi phân hai vế : $dx=varphi ‘left $t r i g h t$ dt$
Bước 3: Biến đổi : $f $x$ dx=fleft $v a r p h i l e f t (t r i g h t) r i g h t$ varphi ‘left $t r i g h t$ dt=gleft $t r i g h t$ dt$
Bước 4: Khi đó tính : $int{f $x$ dx=int{g $t$ dt=G $t$ +C}}$.

2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu	Cách chọn
$sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$	Đặt $x=left\| a right\|sint$; với $tin left $- f r a c p i 2; f r a c p i 2 r i g h t$ .$hoặc $x=left\| a right\|cost$; với $tin left $0; p i r i g h t$ .$
$sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$	Đặt $x=frac{left\| text{a} right\|}{text{sint}}.$; với $tin left $- f r a c p i 2; f r a c p i 2 r i g h t$ backslash left{ 0 right}$ hoặc $x=frac{left\| a right\|}{cost}$ với $tin left $0; p i r i g h t$ backslash left{ frac{pi }{2} right}.$
$sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$	Đặt $x=left\| a right\|tant$; với $tin left $- f r a c p i 2; f r a c p i 2 r i g h t$ .$hoặc $x=left\| a right\|cot t$ với $tin left $0; p i r i g h t$ .$
$sqrt{frac{a+x}{a-x}}.$ hoặc $sqrt{frac{a-x}{a+x}}.$	Đặt $x=acos2t$
$sqrt{left $x - a r i g h t$ left $b - x r i g h t$ }$	Đặt $x=a+ $b a$ si{{n}^{2}}t$
$frac{1}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$	Đặt $x=atant$ ; với $tin left $- f r a c p i 2; f r a c p i 2 r i g h t$ .$

2.1.2. Đổi biến dạng 2

Nếu hàm số f $x$ liên tục thì đặt $x=varphi left $t r i g h t$ $. Trong đó $varphi left $t r i g h t$ $ cùng với đạo hàm của nó $$ v a r p h i ‘ l e f t (t r i g h t$ $ là những hàm số liên tục) thì ta được :

$int{f $x$ dx=int{fleft $v a r p h i l e f t (t r i g h t) r i g h t$ varphi ‘left $t r i g h t$ dt=int{g $t$ dt=G $t$ +C}}}$.

2.1.2.1. Phương pháp chung

Bước 1: Chọn t=$varphi left $x r i g h t$ $. Trong đó $varphi left $x r i g h t$ $ là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: Tính vi phân hai vế : $dt=varphi ‘left $t r i g h t$ dt$.
Bước 3: Biểu thị : $f $x$ dx=fleft $v a r p h i l e f t (t r i g h t) r i g h t$ varphi ‘left $t r i g h t$ dt=g $t$ dt$.
Bước 4: Khi đó : $I=int{f $x$ dx}=int{g $t$ dt=G $t$ +C}$

2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :

Dấu hiệu	Cách chọn
Hàm số mẫu số có	$t$ là mẫu số
Hàm số : $fleft $x; s q r t v a r p h i l e f t (x r i g h t) r i g h t$ $	$t=sqrt{varphi left $x r i g h t$ }$
Hàm $fleft $x r i g h t$ =frac{a.operatorname{s}text{inx+b}text{.cosx}}{c.operatorname{s}text{inx+d}text{.cosx+e}}$	$t=tan frac{x}{2};left $c t e x t o s f r a c t e x t x t e x t 2 n e 0 r i g h t$ $
Hàm $fleft $x r i g h t$ =frac{1}{sqrt{left $x + a r i g h t$ left $x + b r i g h t$ }}$	Với : $x+a>0$ và $x+b>0$. Đặt : $t=sqrt{x+a}+sqrt{x+b}$ Với $x+a<0$ và $x+b<0$. Đặt : $t=sqrt{-x-a}+sqrt{-x-b}$

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Nếu u $x$ , v $x$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

$int{u $x$ .v' $x$ dx=u $x$ .v $x$ -int{v $x$ .u' $x$ dx}}$

Hay $int{udv=uv-int{vdu}}$ $v ớ i $ d u = u l e f t (x r i g h t$ dx,~dv=vleft $x r i g h t$ dx$ )

2.2.1. Phương pháp chung

Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : $I=int{f $x$ dx=int{{{f}_{1}} $x$ .{{f}_{2}} $x$ dx}}$
Bước 2: Đặt : $left{ begin{array}{l}
u = {f_1} $x$ \
dv = {f_2} $x$
end{array} right. to left{ begin{array}{l}
du = f{‘_1} $x$ dx\
v = int {{f_2} $x$ dx}
end{array} right.$
Bước 3: Khi đó : $int{u.dv=u.v-int{v.du}}$

2.2.2. Các dạng thường gặp

2.2.2.1. Dạng 1

$I = int {P $x$ } left{ {left. begin{array}{l}
sin x\
cos x\
{e^x}
end{array} right}} right..dx$. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = P $x$ \
dv = left{ {left. begin{array}{l}
sin x\
cos x\
{e^x}
end{array} right}} right..dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
u’.du = P' $x$ dx\
v = left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x\
{e^x}
end{array} right}} right.
end{array} right.$

Vậy: $I = P $x$ left{ begin{array}{l}
– cos x\
sin x\
{e^x}
end{array} right}$- $int {left{ begin{array}{l}
– cos x\
sin x\
{e^x}
end{array} right}.P' $x$ dx} $

2.2.2.2. Dạng 2

$I = int {P $x$ .ln xdx} $. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = ln x\
\
dv = P $x$ dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{1}{x}dx\
v = int {P $x$ dx} = Q $x$
end{array} right.$

Vậy $I = lnx.Qleft $x r i g h t$ = int {Q $x$ .frac{1}{x}dx} $

2.2.2.3. Dạng 3

$I = intlimits_{}^{} {{e^x}left{ {left. begin{array}{l}
sin x\
cos x
end{array} right}} right.dx} $. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = {e^x}\
dv = left{ {left. begin{array}{l}
sin x\
cos x
end{array} right}} right..dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = {e^x}dx\
v = left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x
end{array} right}} right.
end{array} right.$

Vậy I = $I = {e^x}left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x
end{array} right}} right.$- $int {left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x
end{array} right}} right.} {e^x}dx$

Bằng phương pháp tương tự ta tính được $int {left{ {left. begin{array}{l}
– cos x\
sin x
end{array} right}} right.} {e^x}dx$ sau đó thay vào I

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

2.1. Phương pháp đổi biến

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Bài Viết cùng chủ đề

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 31 – Đs

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 30

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 29

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 28

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 26

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 25

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 24

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 23

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 22

Để lại một bình luận Hủy