Bài 1: LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1.1. Khái niệm lũy thừa

1.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương.

Với $a$ là số thực tùy ý, lũy thừa bậc $n$ của a là tích của $n$ thừa số $a$.

${{a}^{n}}=underbrace{a.a……a}_{n}$($n$ thừa số).

Với $ane 0.$ thì  ${{a}^{0}}=1{{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}$

Ta gọi $a$ là cơ số, $n$ là mũ số. Và chú ý ${{0}^{0}}$ và ${{0}^{-n}}$ không có nghĩa.

1.1.2. Một số tính chất của lũy thừa

• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

${{a}^{alpha }}cdot {{a}^{beta }}={{a}^{alpha +beta }};$ $frac{{{a}^{alpha }}}{{{a}^{beta }}}={{a}^{alpha -beta }};$ ${{({{a}^{alpha }})}^{beta }}={{a}^{alpha .beta }} ;$ ${{(ab)}^{alpha }}={{a}^{alpha }}cdot {{b}^{alpha }};$

${{left( frac{a}{b} right)}^{alpha }}=frac{{{a}^{alpha }}}{{{b}^{alpha }}};$ ${{left( frac{a}{b} right)}^{-alpha }}={{left( frac{b}{a} right)}^{alpha }}cdot $

• Nếu $a>1$ thì ${{a}^{alpha }}>{{a}^{beta }}Leftrightarrow alpha >beta $;     
• Nếu $0<a<1$ thì ${{a}^{alpha }}>{{a}^{beta }}Leftrightarrow alpha <beta $.
• Với mọi $0<a<b$, ta có:

${{a}^{m}}<{{b}^{m}}Leftrightarrow m>0$

${{a}^{m}}>{{b}^{m}}Leftrightarrow m<0$

 Chú ý:

• Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
• Khi xét lũy thừa với số mũ $0$ và số mũ nguyên âm thì cơ số $a$ phải khác $0$.
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số $a$ phải dương.

1.2. Phương trình ${{x}^{n}}=b.$

Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình ${{x}^{n}}=b$ như sau:

• Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực $b$, phương trình có nghiệm duy nhất.

• Trường hợp n chẵn:

• Với $b<0$, phương trình vô nghiệm.
• Với $b=0$, phương trình có một nghiệm $x=0.$
• Với $b>0$, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là $sqrt[n]{b}$, còn giá trị âm là $-sqrt[n]{b}$. 

1.3. Một số tính chất của căn bậc $n$

Với $a,bin mathbb{R};nin {{mathbb{N}}^{*}}$, ta có:

• $sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=,a,forall a$      
• $sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,forall a$
• $sqrt[2n]{ab}=sqrt[2n]{a}cdot sqrt[2n]{b},forall abge 0$
•  _{$sqrt[2n+1]{ab}=sqrt[2n+1]{a}cdot sqrt[2n+1]{b},forall a,b$}
• $sqrt[2n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[2n]{a}}{sqrt[2n]{b}},forall abge 0,bne 0$
• $sqrt[2n+1]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[2n+1]{a}}{sqrt[2n+1]{b}},forall a,forall bne 0$
• $sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{left( sqrt[n]{a} right)}^{m}},forall a>0$, $n$ nguyên dương, $m$ nguyên
• $sqrt[n]{sqrt[m]{a}}=sqrt[nm]{a},forall age 0$, $n$,$m$nguyên dương
• Nếu $frac{p}{n}=frac{q}{m}$ thì $sqrt[n]{{{a}^{p}}}=sqrt[m]{{{a}^{q}}},,forall a>0,m,n$nguyên dương $p,q$ nguyên

Đặc biệt: $sqrt[n]{a}=sqrt[mcdot n]{{{a}^{m}}}$

1.4. Hàm số lũy thừa

1.4.1. Khái niệm

Xét hàm số $y={{x}^{alpha }}$, với $alpha $ là số thực cho trước.

Hàm số $y={{x}^{alpha }}$, với $alpha in mathbb{R}$, được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý.

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y={{x}^{alpha }}$ tùy thuộc vào giá trị của $alpha $. Cụ thể.

• Với $alpha $ nguyên dương, tập xác định là $mathbb{R}.$
• Với $alpha $ nguyên âm hoặc bằng $0$, tập xác định là $mathbb{R}backslash left{ 0 right}.$
• Với $alpha $ không nguyên, tập xác định $left( 0;+infty  right).$

1.4.2. Khảo sát hàm số lũy thừa $y={{x}^{alpha }}$

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y={{x}^{alpha }}$ luôn chứa khoảng $left( 0;+infty  right)$ với mọi $alpha in mathbb{R}.$ Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số $y={{x}^{alpha }}$ trên khoảng này.

Đồ thị của hàm số lũy thừa $y = {x^alpha }$ luôn đi qua điểm $Ileft( {1;1} right).$

1.5. Khảo sát hàm số mũ $y = {a^x},begin{array}{*{20}{c}}
{}&{left( {a > 0,a ne 1} right)}
end{array}$.