Câu 38: Đáp án C
Ta có: $\dfrac{9{{a}^{3}}+a}{b+1}=\sqrt{3b+2}\Leftrightarrow 9{{a}^{3}}+a=\left( b+1 \right)\sqrt{3b+2}$
Đặt $t=\sqrt{3b+2}\Rightarrow b=\dfrac{{{t}^{2}}-2}{3}\Rightarrow $ $9{{a}^{3}}+a=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{3}t\Leftrightarrow 27{{a}^{3}}+3a={{t}^{3}}+t\Leftrightarrow {{\left( 3a \right)}^{3}}+3a={{t}^{3}}+t$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{u}^{3}}+u\left( u\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f'\left( u \right)=3{{u}^{2}}+1>0\,\,\forall u\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( u \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Khi đó: $f\left( 3a \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow t=3a\Rightarrow \sqrt{3b+2}=3a\Leftrightarrow b=\dfrac{9{{a}^{2}}-2}{3}$
Suy ra $S=6a-3{{a}^{2}}+\dfrac{2}{3}=-3{{\left( a-1 \right)}^{2}}+\dfrac{11}{3}\le \dfrac{11}{3}$
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức $S=6a-b$ là $\dfrac{11}{3}$
Câu 39: Đáp án A
Mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz tại M, N, P có phương trình $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Vì N thuộc mặt phẳng (P) $\Rightarrow \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow bc=2\left( b+c \right).$
Câu 40: Đáp án C
Ta có: $\frac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{\frac{{AM}}{{AA'}} + \frac{{BN}}{{BB'}} + \frac{{CP}}{{CC'}}}}{3} = \frac{{\frac{1}{2} + 2.\frac{2}{3}}}{3} = \frac{{11}}{{18}}{V_{ABC.MNP}} = \frac{{11}}{{18}}6{a^3} = \frac{{11}}{3}{a^3}$
Câu 41: Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng
+ Đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ${{x}_{1}}\left( -1;0 \right),{{x}_{2}}\left( 0;1 \right),{{x}_{3}}\left( 2;3 \right)$
Và $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ $-\xrightarrow{{}}+$ khi đi qua ${{x}_{1}},{{x}_{3}}\Rightarrow $ Hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại
+ Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;{{x}_{1}} \right),$ đồng biến trên $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\Rightarrow $ (1) sai
+ Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {{x}_{2}};{{x}_{3}} \right)$ (chứa khoảng $(1;2)$), đồng biến trên khoảng $\left( {{x}_{3}};5 \right)$ (chứa khoảng $(3;5)$) $\Rightarrow \left( 2 \right),\left( 3 \right)$ đúng
Vậy mệnh đề 2,3 đúng và 1, 4 sai.
Câu 42: Đáp án A
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $\Rightarrow y\left( 0 \right)=d<0$
Ta có $y' = 3a{x^2} + 3bx + c,y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{c}{{3a}}
\end{array} \right..$ Mà $y'>0,\forall x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\Rightarrow a<0$
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}.{x_2} < 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \frac{{2b}}{{3a}} > 0\\
\frac{c}{{3a}} < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b > 0\\
c < 0
\end{array} \right..$
Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$.
Câu 43: Đáp án D
Ta có $f'\left( x \right)=-{{e}^{x}}.{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow -\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}={{e}^{x}}\Leftrightarrow \int{-\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}}dx=\int{{{e}^{x}}}dx\Leftrightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}={{e}^{x}}+C$
Mà $f\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( 0 \right)}={{e}^{0}}+C\Leftrightarrow C+1=2\Rightarrow C=1\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{e}^{x}}+1}$
Do đó $f'\left( x \right)=-\dfrac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( \ln 2 \right)=-\dfrac{2}{9}$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $2x+9y-2\ln 2-3=0$
Câu 44: Đáp án C
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình $y=4-{{x}^{2}}$ và trục hoành
Suy ra $\int\limits_{-2}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{32}{3}{{m}^{2}}$
Gọi điểm $C\left( {a;0} \right),a > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
D\left( { - a;0} \right)\\
B\left( {a;4 - {a^2}} \right),A\left( { - a;4 - {a^2}} \right)
\end{array} \right.$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích ABCD, suy ra ${{S}_{1}}=AB.BC=2a.\left( 4-{{a}^{2}} \right){{m}^{2}}$
Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích có hoa văn, suy ra ${{S}_{2}}=S-{{S}_{1}}$
${{S}_{2}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi ${{S}_{1}}$ lớn nhất
Xét hàm số $f\left( a \right)=2a\left( 4-{{a}^{2}} \right),a\in \left( 0;4 \right)$
Ta có $f'\left( a \right)=8-6{{a}^{2}}\Rightarrow f'\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Xét bảng biến thiên hàm số $f\left( a \right)$ với $a\in \left( 0;4 \right)$
Suy ra $\underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( a \right)=f\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}\Rightarrow {{S}_{1}}\left( \max \right)=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}{{m}^{2}}.$ Suy ra ${{S}_{2}}\left( \min \right)=\dfrac{32}{3}-\dfrac{32\sqrt{3}}{9}\approx 4,51{{m}^{2}}$
Suy ra số tiền cần bằng 902.000 đồng
Câu 45: Đáp án B
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}\xrightarrow{{}}g'\left( x \right)=2f'\left( x \right)-2\left( 1-x \right);g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=1-x$
Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ cắt đường thẳng $y=1-x$ tại $x=-4;x=-1;x=-2$
Đồng thời $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ $-$ sang + khi đi qua $x=-1\xrightarrow{{}}\underset{\left[ -4;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$
Câu 46: Đáp án B
Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{19}{2}{{x}^{2}}+30x+m-20$ trên $\left[ 0;2 \right],$ có $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
Tính $f\left( 0 \right)=m-20;f\left( 2 \right)=m+6\xrightarrow{{}}\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\left\{ \left| m-20 \right|;\left| m+6 \right| \right\}$
TH1. Với $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \left| {m - 20} \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m - 20} \right| \ge \left| {m + 6} \right|\\
\left| {m - 20} \right| \le 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 7\\
- 20 \le m - 20 \le 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 7$
TH2. Với $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \left| {m + 6} \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m - 20} \right| \le \left| {m + 6} \right|\\
\left| {m + 6} \right| \le 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge 7\\
- 20 \le m + 6 \le 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow 7 \le m \le 14$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z},$ ta được $m=\left\{ 0;1;2;...;14 \right\}\xrightarrow{{}}\sum{m}=105$
Câu 47: Đáp án D
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow $ Tập hợp điểm M là đường tròn (C) có tâm $I\left( 4;3 \right),$ bán kính $R=\sqrt{5}$
Ta có $P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left| x+2+yi \right|}^{2}}-{{\left| x+\left( y-1 \right)i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}$
$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3\xrightarrow{{}}\left( \Delta \right):4x+2y+3-P=0$
Ta cần tìm P sao cho đường thẳng $\left( \Delta \right)$ và đường tròn (C) có điểm chung $\Leftrightarrow d\left( I,\Delta \right)\le R$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.3+2.4+3-P \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-P \right|\le 10\Leftrightarrow -10\le 23-P\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33$
Do đó, $\max P=33.$ Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + 2y - 30 = 0\\
{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = - 5
\end{array} \right.$
Vậy $\left| z \right|=5\sqrt{2}$
